2020-2021學(xué)年上海市建平中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．函數(shù)的大致圖像為（    ）．A． B．4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，所以可以排除A,B選項(xiàng)，再根據(jù)時，即可判斷.【詳解】，，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A,B選項(xiàng)錯誤；又時，，，C選項(xiàng)錯誤，故選：D.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)．2．若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（    ）．A．-1 B．0 C．1 D．不唯一【答案】C【分析】直接利用偶函數(shù), ,代入x=1即可求出a.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),所以,即,解得: a=1故選:C【點(diǎn)睛】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用:(1)一般用或;(2)有時為了計(jì)算簡便,我們可以對x取特殊值: 或.3．已知，則的值為（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)公式直接求解.【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式得，即，又，，，故選：B.4．已知，函數(shù)的值域是，有下列結(jié)論：①當(dāng)時，；                  ②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；                ④當(dāng)時，；其中正確結(jié)論的序號是（    ）．A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D【分析】先對分段函數(shù)去絕對值討論單調(diào)性，作出和的圖象，時，由圖可得的范圍，可判斷①；當(dāng)時先求出的值域，進(jìn)而可判斷時，必有解，即可得的范圍，可判斷②③；當(dāng)時，先計(jì)算在的值域，即可得的范圍，進(jìn)而可得的范圍可判斷④，可得正確答案.【詳解】當(dāng)時，，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時取得最大值為，作出的圖象如圖所示：     對于①：令可得或，當(dāng)時，若值域?yàn)?/span>，則，故①不正確對于②：當(dāng)時，當(dāng)時，，而 ，若值域?yàn)?/span>，則時，必有解，即，解得，所以，故②不正確；對于③：由②知，當(dāng)時，，故③正確；對于④：當(dāng)時，在單調(diào)遞增，此時最小值為，最大值為，要使得值域?yàn)?/span>，由圖知，故④正確；綜上所述：③④正確，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是由函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性作出的圖象，對于分段函數(shù)其值域應(yīng)為兩段函數(shù)值域的并集，利用數(shù)形結(jié)合的思想可求參數(shù)的范圍.  二、填空題5．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>________．【答案】【分析】由題意得到求解可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得到，即，解得，即所求函數(shù)定義為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求具體函數(shù)的定義域，常見函數(shù)定義域：1偶次根式要求被開方式大于等于零，2分式要求分母不等于零，3對數(shù)的真數(shù)大于零，4零指數(shù)冪底數(shù)大于零等.6．已知集合，，則________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域及不等式，求出集合與，進(jìn)而求得.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義域可知，，，即，又，故，即，故，故答案為：【點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個先決條件．7．已知函數(shù)，若函數(shù)在是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，由題中條件，得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得或，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：8．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．【答案】【分析】先求函數(shù)定義域，其次將原函數(shù)分解為兩個初等函數(shù)，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判別方法 “同增異減”來下結(jié)論.【詳解】定義域?yàn)?/span>，由題意，設(shè)，則函數(shù)的對稱軸為，單調(diào)遞減區(qū)間為，因?yàn)?/span>是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，方法步驟：首先確定函數(shù)的定義域，其次將原函數(shù)分解為兩個初等函數(shù)，然后在分別確定兩個初等函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性一致是增函數(shù)，單調(diào)性相反是減函數(shù)，即“同增異減”來下結(jié)論.9．對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過一個定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)和函數(shù)圖像平移變換得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)圖像可以通過向左平移個單位得，再將圖像上的點(diǎn)向上平移個單位得到，且指數(shù)函數(shù)（且）恒過定點(diǎn)，所以函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點(diǎn).故答案為：10．如圖是一個地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點(diǎn)與之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角，當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為________．【答案】70【分析】過A作AE⊥CP于E,過B作BF⊥DQ于F,可得AE和BF的長,再由AB=16,即可求解.【詳解】如圖所示,過A作AE⊥CP于E,過B作BF⊥DQ于F,則在Rt△ACE中,,同理 BF=27(cm)又點(diǎn)A與B之間的距離為16(cm),∴通過閘機(jī)的物體的最大寬度為27+16+27=70(cm)故答案為:70.【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：(1)求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字(圖形)語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)求解應(yīng)用性問題時，不僅要考慮函數(shù)本身的定義域，還要結(jié)合實(shí)際問題理解自變量的取值范圍．11．已知函數(shù)，則的反函數(shù)為________．【答案】【分析】先反解，然后將與進(jìn)行交換，求出原函數(shù)的值域即為反函數(shù)的定義域，即可求解.【詳解】當(dāng)時，，所以，交換與可得，由，可得，所以的反函數(shù)為，故答案為：.12．已知、都是正數(shù)，且，則的最小值為________．【答案】5【分析】根據(jù)基本不等式，得到，求解即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>、都是正數(shù)，且，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則，解得或（舍）所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.13．已知，，則用、的代數(shù)式表示________．【答案】【分析】由已知條件可得，代入中化簡即可求值.【詳解】由可得，即，由可得，所以，故答案為：.14．當(dāng)，時，則的取值范圍是________．【答案】【分析】由已知推出，，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，，即，因此，所以，令，，任取，則，因?yàn)?/span>，所以，，因此，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)單調(diào)性求取值范圍，熟記函數(shù)單調(diào)性的定義，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.15．如圖所示，已知函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)、和函數(shù)上的點(diǎn)，線段平行于軸，三角形為正三角形時，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為________．【答案】4【分析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入，化簡整理，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，則，所以.故答案為：16．已知函數(shù)，函數(shù)，如果恰好有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】求出函數(shù)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】，，由，得，設(shè)，若，則，，則，若，則，，則，若，則，，則，即，作出的圖象如圖，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由圖象知要使有兩個零點(diǎn)，即有四個根，則滿足或，故答案為：【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)． 三、解答題17．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先由誘導(dǎo)公式，將所求式子化簡，再計(jì)算即可；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，構(gòu)造齊次式，由弦化切，即可得出結(jié)果.【詳解】（1），所以；（2）因?yàn)?/span>，所以.18．設(shè)函數(shù)是上的奇函數(shù)．（1）求的值，并求函數(shù)的反函數(shù)解析式；（2）若為正實(shí)數(shù)，解關(guān)于的不等式．【答案】（1），，；（2）當(dāng)，；當(dāng)，．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，由求出，再驗(yàn)證即可確定的值，得到函數(shù)解析式，從而可得反函數(shù)的解析式；（2）由（1），結(jié)合所求不等式，得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，所以，則，此時，所以，則為奇函數(shù)，所以；令，則，即，當(dāng)時，顯然不成立，所以，則，所以，則，即函數(shù)的反函數(shù)解析式為；（2）由（1）可得，所以不等式可化為，因?yàn)閷?shù)函數(shù)是增函數(shù)，則，所以，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上，當(dāng)，；當(dāng)，．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解含參數(shù)的對數(shù)型不等式問題時，一般需要先根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，將原不等式化簡，再討論參數(shù)的取值范圍，即可分別求解.19．某校數(shù)學(xué)建模小組研究發(fā)現(xiàn)：在40分鐘的一節(jié)課中，高一年級學(xué)生注意力指標(biāo)與學(xué)生聽課時間（單位：分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為．（1）在上課期間的前13分鐘內(nèi)（包括第13分鐘），求注意力的最大指標(biāo)；（2）根據(jù)研究結(jié)果表明，當(dāng)注意力指標(biāo)大于80時，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果最佳，現(xiàn)有一節(jié)40分鐘課，其核心內(nèi)容為連續(xù)的20分鐘，問：教師是否能夠安排核心內(nèi)容的時間段，使得學(xué)生在核心內(nèi)容的這段時間內(nèi)，學(xué)習(xí)效果均在最佳狀態(tài)？【答案】（1）最大值82；（2）能安排．【分析】（1）根據(jù)題意，選擇函數(shù)解析式利用二次函數(shù)求最值；（2）學(xué)生的學(xué)習(xí)效果最佳，要求注意力指標(biāo)大于80，只需解不等式S>80即可．【詳解】（1）當(dāng)時，．∴當(dāng)t=12時，S=82最大．即注意力的最大指標(biāo)為82．（2）①當(dāng)時， 解得又∵；②當(dāng)時，，解得 ．綜上：的解集為而．所有教師能夠安排核心內(nèi)容的時間段，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)效果均在最佳狀態(tài)．【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：(1)求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)求解應(yīng)用性問題時，不僅要考慮函數(shù)本身的定義域，還要結(jié)合實(shí)際問題理解自變量的取值范圍．20．已知冪函數(shù)是奇函數(shù)，且在為嚴(yán)格增函數(shù)．（1）求的值，并確定的解析式；（2）求，的最值，并求出取得最值時的取值．【答案】（1），；（2）時取到最小值為；時，取得最大值13．【分析】（1）由單調(diào)遞增得出，又，得或，再根據(jù)函數(shù)奇偶性即可得出結(jié)果；（2）化簡函數(shù)為，令可得，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù) ，在為增函數(shù)，所以，即，解得，又，所以或，當(dāng)時，，滿足，因此是奇函數(shù)；當(dāng)時， ，顯然是偶函數(shù)，不符合題意；所以，；（2）因?yàn)?/span>，所以，令，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即，時；因?yàn)?/span>，當(dāng)時，即，時.【點(diǎn)睛】本題主要考查由冪函數(shù)奇偶性求參數(shù)與函數(shù)解析式，以及求復(fù)合函數(shù)的最值，熟記函數(shù)奇偶性，以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于?？碱}型.21．已知函數(shù)，記．（1）解不等式：；（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求的取值范圍；（3）記（其中、均為實(shí)數(shù)），若對于任意的，均有，求、的值．【答案】（1）；（2）；（3），．【分析】（1）由題意，將所求不等式化為，因式分解后，即可得解集；（2）根據(jù)，利用換元法，求解最值，即可求解的取值范圍；（3）根據(jù)(其中，均為實(shí)數(shù))，，均有，建立關(guān)系即可求解，的值．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以由可得即為，即有，解得，即解集為；（2）存在實(shí)數(shù)，使得成立，即為，設(shè)，在遞增，可得，，即有，則，設(shè)，，即有，在上遞增，可得，所以.（3），令，，，若對于任意的，均有，即對任意，，，即，則，即，解得，所以，解得．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：處理由二次型不等式在給定區(qū)間內(nèi)恒成立求參數(shù)的問題時，一般根據(jù)二次函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，確定最值，得到關(guān)于參數(shù)的不等式組，求解即可. 

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