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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　動(dòng)力學(xué)中的板塊問(wèn)題

[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.建立板塊模型的分析方法.2.能運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律處理板塊問(wèn)題．

1．模型概述：一個(gè)物體在另一個(gè)物體上，兩者之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)．問(wèn)題涉及兩個(gè)物體、多個(gè)過(guò)程，兩物體的運(yùn)動(dòng)速度、位移間有一定的關(guān)系．
2．解題方法
(1)明確各物體對(duì)地的運(yùn)動(dòng)和物體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況，確定物體間的摩擦力方向．
(2)分別隔離兩物體進(jìn)行受力分析，準(zhǔn)確求出各物體在各個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度(注意兩過(guò)程的連接處加速度可能突變)．
(3)物體之間的位移(路程)關(guān)系或速度關(guān)系是解題的突破口．求解中應(yīng)注意聯(lián)系兩個(gè)過(guò)程的紐帶，即每一個(gè)過(guò)程的末速度是下一個(gè)過(guò)程的初速度．
3．常見的兩種位移關(guān)系
滑塊從木板的一端運(yùn)動(dòng)到另一端的過(guò)程中，若滑塊和木板同向運(yùn)動(dòng)，則滑離木板的過(guò)程中滑塊的位移與木板的位移之差等于木板的長(zhǎng)度；若滑塊和木板相向運(yùn)動(dòng)，滑離木板時(shí)滑塊的位移和木板的位移大小之和等于木板的長(zhǎng)度．
特別注意：運(yùn)動(dòng)學(xué)公式中的位移都是對(duì)地位移．
4．注意摩擦力的突變
當(dāng)滑塊與木板速度相同時(shí)，二者之間的摩擦力通常會(huì)發(fā)生突變，由滑動(dòng)摩擦力變?yōu)殪o摩擦力或者消失，或者摩擦力方向發(fā)生變化，速度相同是摩擦力突變的一個(gè)臨界條件．

一、地面光滑的板塊問(wèn)題
如圖1所示，在光滑的水平地面上有一個(gè)長(zhǎng)為0.64 m、質(zhì)量為4 kg的木板A，在木板的左端有一個(gè)大小不計(jì)、質(zhì)量為2 kg的小物體 B，A、B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.2，當(dāng)對(duì)B施加水平向右的力F＝10 N時(shí)，求：(g取10 m/s2)

圖1
(1)A、B的加速度各為多大？
(2)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間可將B從木板A的左端拉到右端？
答案　(1)1 m/s2　3 m/s2　(2)0.8 s
解析　(1)A、B間的摩擦力Ff＝μmBg＝4 N
以B為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得：
F－Ff＝mBaB，
則aB＝＝3 m/s2
以A為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得：
Ff′＝mAaA，
由牛頓第三定律得Ff′＝Ff
解得aA＝1 m/s2.
(2)設(shè)將B從木板的左端拉到右端所用時(shí)間為t，A、B在這段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移分別為xA和xB，其關(guān)系如圖所示

則有xA＝aAt2
xB＝aBt2
xB－xA＝L
聯(lián)立解得t＝0.8 s.
(2020·湘潭市高一期末)如圖2所示，物塊A、木板B的質(zhì)量分別為mA＝5 kg，mB＝10 kg，不計(jì)A的大小，木板B長(zhǎng)L＝4 m．開始時(shí)A、B均靜止．現(xiàn)使A以水平初速度v0從B的最左端開始運(yùn)動(dòng)．已知A與B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.3，水平地面光滑，g取10 m/s2.

圖2
(1)求物塊A和木板B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的加速度的大?。?br /> (2)若A剛好沒(méi)有從B上滑下來(lái)，求A的初速度v0的大?。?br /> 答案　(1)3 m/s2　1.5 m/s2　(2)6 m/s
解析　(1)分別對(duì)物塊A、木板B進(jìn)行受力分析可知，A在B上向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a1，則有
a1＝＝3 m/s2
木板B向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a2，則有
a2＝＝1.5 m/s2.
(2)由題意可知，A剛好沒(méi)有從B上滑下來(lái)，則A滑到B最右端時(shí)的速度和B的速度相同，設(shè)為v，則有
v＝v0－a1t
v＝a2t
位移關(guān)系：L＝t－t
解得v0＝6 m/s.

二、地面不光滑的板塊問(wèn)題
如圖3所示，物塊A、木板B的質(zhì)量均為m＝10 kg，不計(jì)A的大小，木板B長(zhǎng)L＝3 m．開始時(shí)A、B均靜止．現(xiàn)使A以水平初速度v0從B的最左端開始運(yùn)動(dòng)．已知A與B、B與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1＝0.3和μ2＝0.1，g取10 m/s2.

圖3
(1)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，A、B的加速度各是多大？
(2)若A剛好沒(méi)有從B上滑下來(lái)，則A的初速度v0為多大？
答案　(1)3 m/s2　1 m/s2　(2)2 m/s
解析　(1)分別對(duì)物塊A、木板B進(jìn)行受力分析可知，A在B上向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a1，則有
a1＝＝3 m/s2
木板B向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a2，則有
a2＝＝1 m/s2
(2)由題意可知，A剛好沒(méi)有從B上滑下來(lái)，則A滑到B最右端時(shí)的速度和B的速度相同，設(shè)為v，則有：
時(shí)間關(guān)系：t＝＝
位移關(guān)系：L＝t－t
解得v0＝2 m/s.
如圖4所示，質(zhì)量M＝1 kg、長(zhǎng)L＝4 m的木板靜止在粗糙的水平地面上，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1＝0.1，在木板的左端放置一個(gè)質(zhì)量m＝1 kg、大小可以忽略的鐵塊，鐵塊與木板上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2＝0.4，某時(shí)刻起在鐵塊上加一個(gè)水平向右的恒力F＝8 N，g取10 m/s2，求：

圖4
(1)加上恒力F后鐵塊和木板的加速度大小；
(2)鐵塊經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)木板的最右端，此時(shí)木塊的速度多大？
(3)當(dāng)鐵塊運(yùn)動(dòng)到木板最右端時(shí)，把鐵塊拿走，木板還能繼續(xù)滑行的距離．
答案　(1)4 m/s2　2 m/s2　(2)2 s　4 m/s　(3)8 m
解析　(1)以鐵塊為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得
F－μ2mg＝ma1，
以木板為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得
μ2mg－μ1(M＋m)g＝Ma2
代入數(shù)據(jù)解得鐵塊的加速度大小a1＝4 m/s2
木板的加速度大小a2＝2 m/s2
(2)設(shè)鐵塊運(yùn)動(dòng)到木板的最右端所用時(shí)間為t，
則此過(guò)程鐵塊的位移為x1＝a1t2
木板的位移為x2＝a2t2
兩者的位移關(guān)系為L(zhǎng)＝x1－x2，
即L＝a1t2－a2t2
代入數(shù)據(jù)解得t＝2 s或t＝－2 s(舍去)
此時(shí)木板的速度
v＝a2t＝4 m/s.
(3)拿走鐵塊后木板做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為
a3＝μ1g＝0.1×10 m/s2＝1 m/s2，
則木板還能繼續(xù)滑行的距離
x3＝＝ m＝8 m.








訓(xùn)練1　地面光滑的板塊問(wèn)題

1.(多選)如圖1所示，質(zhì)量為m1的足夠長(zhǎng)木板靜止在光滑水平地面上，其上放一質(zhì)量為m2的木塊．t＝0時(shí)刻起，給木塊施加一水平恒力F.分別用a1、a2和v1、v2表示木板、木塊的加速度和速度大小，下列圖中可能符合運(yùn)動(dòng)情況的是(　　)

圖1

答案　AC
解析　木塊和木板可能保持相對(duì)靜止，一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小相等，故A正確；木塊可能相對(duì)于木板向前滑動(dòng)，即木塊的加速度a2大于木板的加速度a1，都做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故B、D錯(cuò)誤，C正確．
2．(2020·寧夏育才中學(xué)高一上學(xué)期期末)如圖2所示，質(zhì)量為M＝1 kg的足夠長(zhǎng)木板靜止在光滑水平面上，現(xiàn)有一質(zhì)量m＝0.5 kg的小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))以v0＝3 m/s的初速度從左端沿木板上表面沖上木板，帶動(dòng)木板一起向前滑動(dòng)．已知滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.1，重力加速度g取10 m/s2.求：

圖2
(1)滑塊在木板上滑動(dòng)過(guò)程中，木板受到的摩擦力Ff的大小和方向；
(2)滑塊在木板上滑動(dòng)過(guò)程中，滑塊相對(duì)于地面的加速度a的大??；
(3)滑塊與木板達(dá)到的共同速度v的大?。?br /> 答案　(1)0.5 N　方向水平向右　(2)1 m/s2 　(3)1 m/s
解析　(1)木板所受摩擦力為滑動(dòng)摩擦力：Ff＝μmg＝0.5 N，方向水平向右
(2)由牛頓第二定律得：μmg＝ma
解得：a＝1 m/s2
(3)以木板為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得：μmg＝Ma′
可得出木板的加速度a′＝0.5 m/s2
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，滑塊和木板達(dá)到共同速度v，則滿足：
對(duì)滑塊：v＝v0－at
對(duì)木板：v＝a′t
由以上兩式聯(lián)立解得：滑塊和木板達(dá)到的共同速度v＝1 m/s.
3.如圖3所示，一質(zhì)量M＝0.2 kg的長(zhǎng)木板靜止在光滑的水平地面上，另一質(zhì)量m＝0.2 kg的小滑塊以v0＝1.2 m/s的速度從長(zhǎng)木板的左端滑上長(zhǎng)木板，已知小滑塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4，g取10 m/s2，滑塊始終沒(méi)有滑離長(zhǎng)木板，求：

圖3
(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，小滑塊與長(zhǎng)木板速度相等；
(2)從小滑塊滑上長(zhǎng)木板到小滑塊與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止，小滑塊運(yùn)動(dòng)的距離為多少．
答案　(1)0.15 s　(2)0.135 m
解析　(1)根據(jù)牛頓第二定律得
μmg＝ma1
μmg＝Ma2
解得a1＝4 m/s2，a2＝4 m/s2
小滑塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，而木板做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有v0－a1t＝a2t
解得t＝0.15 s.
(2)小滑塊與長(zhǎng)木板速度相等時(shí)相對(duì)靜止，從小滑塊滑上長(zhǎng)木板到兩者相對(duì)靜止，經(jīng)歷的時(shí)間為t＝0.15 s，這段時(shí)間內(nèi)小滑塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，由x＝v0t－a1t2，解得x＝0.135 m.

4．(2020·廣東高一期末)如圖4甲所示，長(zhǎng)木板A靜止在光滑水平面上，另一物體B(可看作質(zhì)點(diǎn))以水平速度v0＝3 m/s滑上長(zhǎng)木板A的上表面．由于A、B間存在摩擦，之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A、B的速度隨時(shí)間變化情況如圖乙所示．g取10 m/s2，下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖4
A．長(zhǎng)木板A、物體B所受的摩擦力均與運(yùn)動(dòng)方向相反
B．A、B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5
C．長(zhǎng)木板A的長(zhǎng)度可能為L(zhǎng)＝0.8 m
D．長(zhǎng)木板A的質(zhì)量是物體B的質(zhì)量的兩倍
答案　D
解析　由題意可得，長(zhǎng)木板A所受摩擦力方向與運(yùn)動(dòng)方向相同，物體B所受的摩擦力方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，故A錯(cuò)誤；對(duì)B受力分析，由牛頓第二定律有：μmBg＝mBaB，aB＝||＝ m/s2＝2 m/s2，解得：μ＝0.2，故B錯(cuò)誤；物體B未滑出長(zhǎng)木板A，臨界條件為當(dāng)A、B具有共同速度時(shí)，B恰好滑到A的右端，速度—時(shí)間圖線與時(shí)間軸圍成的面積表示位移，則：Lmin＝xB－xA＝ m＝1.5 m，故C錯(cuò)誤；對(duì)A受力分析，有：μmBg＝mAaA，aA＝＝ m/s2＝1 m/s2，聯(lián)立解得：＝2，故D正確．
5．(多選)如圖5甲所示，長(zhǎng)木板B固定在光滑水平面上，可視為質(zhì)點(diǎn)的物體A靜止疊放在B的最左端．現(xiàn)用F＝6 N的水平力向右拉A，經(jīng)過(guò)5 s A運(yùn)動(dòng)到B的最右端，且其v－t圖像如圖乙所示．已知A、B的質(zhì)量分別為1 kg、4 kg，A、B間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取10 m/s2.下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖5
A．A的加速度大小為0.5 m/s2
B．A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4
C．若B不固定，B的加速度大小為1 m/s2
D．若B不固定，A運(yùn)動(dòng)到B的最右端所用的時(shí)間為5 s
答案　BCD
解析　根據(jù)v－t圖像可知，物體A的加速度大小為：
aA＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A錯(cuò)誤；
以A為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律可得：
F－μmAg＝mAaA
代入數(shù)據(jù)得：μ＝0.4，故B正確；
若B不固定，B的加速度大小為：
aB＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正確；
由題圖乙知，木板B的長(zhǎng)度為：
l＝×5×10 m＝25 m；
若B不固定，設(shè)A運(yùn)動(dòng)到B的最右端所用的時(shí)間為t，根據(jù)題意可得：
aAt2－aBt2＝l
代入數(shù)據(jù)解得：t＝5 s
故D正確．
6.如圖6所示，有一塊木板A靜置在光滑且足夠大的水平地面上，木板質(zhì)量M＝4 kg，長(zhǎng)L＝2 m，木板右端放一小滑塊B并處于靜止?fàn)顟B(tài)，小滑塊質(zhì)量m＝1 kg，其尺寸遠(yuǎn)小于L.小滑塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.4.(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取10 m/s2)

圖6
(1)現(xiàn)用恒力F始終作用在木板A上，為了讓小滑塊B不從木板A上滑落，求恒力F大小的范圍；
(2)其他條件不變，若恒力F大小為24 N，且始終作用在木板A上，求小滑塊B滑離木板A時(shí)的速度大?。?br /> 答案　(1)F≤20 N　(2)8 m/s
解析　(1)為了使小滑塊B不從木板A上滑落，設(shè)A、B相對(duì)靜止時(shí)的最大加速度為am，對(duì)B有：μmg＝mam
對(duì)A、B整體有：Fm＝(M＋m)am
解得：Fm＝20 N
即當(dāng)F≤20 N時(shí)小滑塊B不從木板A上滑落．
(2)當(dāng)F＝24 N時(shí)，A、B發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)
此時(shí)，對(duì)B：μmg＝maB
對(duì)A：F－μmg＝MaA
設(shè)B在A上滑行的時(shí)間為t，有：
L＝aAt2－aBt2
B滑離木板A時(shí)的速度v＝aBt
聯(lián)立解得：v＝8 m/s.


7.質(zhì)量M＝3 kg的長(zhǎng)木板放在光滑的水平面上，在水平拉力F＝11 N的作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)．如圖7所示，當(dāng)木板速度達(dá)到1 m/s時(shí)，將質(zhì)量m＝4 kg的物塊輕輕放到木板的右端．已知物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，物塊可視為質(zhì)點(diǎn)．求：(g取10 m/s2)

圖7
(1)物塊剛放在木板上時(shí)，物塊和木板的加速度大??；
(2)木板至少多長(zhǎng)，物塊才能與木板最終保持相對(duì)靜止；
(3)物塊與木板相對(duì)靜止后，物塊受到的摩擦力的大?。?br /> 答案　(1)2 m/s2　1 m/s2　(2)0.5 m　(3) N
解析　(1)放上物塊后，物塊的加速度a1＝＝μg＝2 m/s2，
木板的加速度a2＝＝1 m/s2.
(2)木板和物塊達(dá)到共同速度后保持相對(duì)靜止，
故a1t＝v0＋a2t，
解得t＝1 s，
1 s內(nèi)物塊位移x1＝a1t2＝1 m，
木板位移x2＝v0t＋a2t2＝1.5 m，
所以木板長(zhǎng)度至少為L(zhǎng)＝x2－x1＝0.5 m.
(3)物塊與木板相對(duì)靜止后，對(duì)整體，有F＝(M＋m)a，
對(duì)物塊，有Ff＝ma，
故Ff＝＝ N.
訓(xùn)練2　地面不光滑的板塊問(wèn)題(選練)
1.質(zhì)量為m0＝20 kg、長(zhǎng)為L(zhǎng)＝5 m的木板放在水平地面上，木板與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1＝0.15.質(zhì)量為m＝10 kg的小鐵塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，以v0＝4 m/s的速度從木板的左端水平?jīng)_上木板(如圖1所示)，小鐵塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2＝0.4(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g＝10 m/s2)．則下列判斷正確的是(　　)

圖1
A．木板一定靜止不動(dòng)，小鐵塊不能滑出木板
B．木板一定靜止不動(dòng)，小鐵塊能滑出木板
C．木板一定向右滑動(dòng)，小鐵塊不能滑出木板
D．木板一定向右滑動(dòng)，小鐵塊能滑出木板
答案　A
解析　木板與地面間的最大靜摩擦力為Ff1＝μ1(m0＋m)g＝45 N，小鐵塊與木板之間的最大靜摩擦力為Ff2＝μ2mg＝40 N，F(xiàn)f1>Ff2，所以木板一定靜止不動(dòng)；假設(shè)小鐵塊未滑出木板，在木板上滑行的距離為x，則v02＝2μ2gx，解得x＝2 m

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