2.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別.
1.掌握正方形的判定,并會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.
①有一組鄰邊相等的平行四邊形②四條邊都相等的四邊形③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形
①有一個(gè)角是直角的平行四邊形②有三個(gè)角是直角的四邊形③對(duì)角線相等的平行四邊形
請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)一個(gè)四邊形,要求它既是矩形又是菱形.
由正方形的定義可知, 正方形既是有一組鄰邊相等的矩形,又是有一個(gè)角為直角的菱形.
有_____________________________的___________叫做正方形.
一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角
通過(guò)以上回憶,你覺(jué)得什么樣的四邊形是正方形呢?
1、要使一個(gè)菱形成為正方形需要增加的條件是( ).
2、要使一個(gè)矩形成為正方形需添加的條件是( ).
3、要使一個(gè)平行四邊形成為正方形需要增加的條件是:( )
有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角
如何判定一個(gè)四邊形是正方形呢?
判定一個(gè)四邊形為正方形的主要依據(jù)是定義,途徑有兩條:
(1)先證它是矩形,再證它有一組鄰邊相等;
(2)先證它是菱形,再證它有一個(gè)角為直角.
下列三個(gè)圖形都是正方形,你能說(shuō)明為什么嗎?
有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.
既是菱形又是矩形的四邊形是正方形.
兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.
兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.
有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.
既是矩形又是菱形的四邊形是正方形.
1.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形. 2.四條邊都相等的四邊形是正方形.3.對(duì)角線垂直的平行四邊形是正方形.4.對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.5.四條邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形.6.對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形.
例1、如圖,△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB, DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分別為E,F. 求證: 四邊形CFDE是正方形.
證明:∵ CD平分∠ACB, DE⊥BC, DF⊥AC,∴ DE=DF(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等).∵ ∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°,∴ 四邊形CFDE是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形),∴ 四邊形CFDE是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形).
例2、求證:對(duì)角線垂直平分且相等的四邊形是正方形.  
已知:如圖,四邊形ABCD中對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且AC=BD,AO=CO, BO=DO,AC⊥BD. 求證:四邊形ABCD是正方形.
證明:∵AO=CO,BO=DO, ∴四邊形ABCD是平行四邊形,又AC=BD, ∴平行四邊形ABCD是矩形, 又∵AC⊥BD, ∴平行四邊形ABCD是菱形,即四邊形ABCD是正方形.
小結(jié):正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形. 要判定一個(gè)四邊形是正方形,基本思路就是證明這個(gè)四邊形既是菱形又是矩形,從而得到這個(gè)四邊形是正方形.
1.已知:如圖點(diǎn)A′,B′,C′,D′分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn),并且A A′=BB′=CC′=DD′,求證:四邊形A′B′C′D′是正方形.
①由已知正方形證三角形全等;②證菱形;③再證直角; ④是正方形.
證明:過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB,垂足為G.
∵AD是∠CAB的平分線, DE⊥AC,DG⊥AB,
∵ DE⊥AC,DF⊥BC, ∴∠DEC=∠DFC=90°,
∴四邊形CEDF是矩形,又DE=DF,
∴四邊形CEDF是正方形.
2.在直角三角形中,∠C=90°,∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D.DE⊥AC,DF⊥BC.求證:四邊形CEDF為正方形.
(1)下列判斷中正確的是( ) A.四邊相等的四邊形是正方形 B.四角相等的四邊形是正方形 C.對(duì)角線垂直的平行四邊形是正方形 D.對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
(2)在四邊形ABCD中O是對(duì)角線的交點(diǎn),能判定這個(gè)四邊形是正方形的是( ) A.AC = BD,AB∥CD,AB=CD B.AD∥BC,∠A =∠C C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
(3)下列說(shuō)法不正確的是( )A.一組鄰邊相等的矩形是正方形B.對(duì)角線相等的菱形是正方形C.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形D.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形【解析】選D.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,不一定是正方形.
2.如圖,四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),(1)請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀?并說(shuō)明為什么.(2)要使四邊形EFGH為正方形,那么四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)該有怎樣的情況?
【解析】(1)四邊形EFGH是平行四邊形. 連接AC,∵E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC,EF= AC,同理HG∥AC,HG= AC,∴EF HG,∴四邊形EFGH是平行四邊形.(2)四邊形ABCD的對(duì)角線垂直且相等.
3.將一個(gè)菱形繞兩條對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°,所得圖形與原來(lái)的圖形重合,此時(shí)的菱形是正方形嗎?為什么?
解析:是正方形,此菱形的對(duì)角線相等

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18.2.3 正方形

版本: 人教版

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