數(shù)列 專題六 ：數(shù)列求和（分組法、倒序相加法） 一、必備秘籍 1、倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和. 2、分組求和法，如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法. 二、例題講解 1．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù),,,求. 【答案】 【分析】 由已知條件推導(dǎo)出，因此，由此能求出結(jié)果. 【詳解】 函數(shù)， ， 可得， 即有： ， 又， 可得： ， ， 即有. 故答案為：. 2．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)），利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得的值。 【答案】2020 【分析】 先證得，利用倒序相加法求得表達(dá)式的值. 【詳解】 解：由題意可知， 令S= 則S= 兩式相加得， ． 故填： 【點(diǎn)睛】 本題考查借助倒序相加求函數(shù)值的和，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是找到的規(guī)律． 3．（2021·全國(guó)）已知等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng).數(shù)列滿足，且.. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立等量關(guān)系，求解，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，分組求和即可. 【詳解】 解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為 因?yàn)椋?所以. 因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)， 所以， 即， 解得 所以. （2）因?yàn)椋?所以為等差數(shù)列. 因?yàn)椋?所以公差. 故. 所以 三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí) 1．（2020·陜西渭南市·（文））已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，求。 【答案】 【分析】 根據(jù)函數(shù)滿足，利用倒序相加法求出，再求前20項(xiàng)和. 【詳解】 因?yàn)楹瘮?shù)滿足， ①， ②， 由①②可得，， 2．（2021·威遠(yuǎn)中學(xué)校高三月考（文））已知函數(shù)，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則值是多少？． 【答案】 【詳解】 試題分析：因?yàn)?，所以．因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即．設(shè) ①，又＋…＋ ②，①+②，得，所以． 考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的性質(zhì)；2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；3、數(shù)列求和． 【知識(shí)點(diǎn)睛】如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和（都相等，為定值），可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法．如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的． 3．（2021·廣西柳州市·高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列為等差數(shù)列，，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【答案】（1）;（2） 【分析】 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,利用基本量代換列方程組即可求出首項(xiàng)和公差，寫出通項(xiàng)公式； （2）用分組求和法求和. 【詳解】 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d. 因?yàn)?, 所以，， 解得：. 所以 （2）由（1）可得：. 所以 4．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，且，，成等比數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，用首項(xiàng)和公差表示已知條件，化簡(jiǎn)后解方程組求得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式； （2）由（1）可得通項(xiàng)公式，采用分組求和的方法，對(duì)的兩個(gè)部分分別采用等比數(shù)列求和、等差數(shù)列的求和公式求和，進(jìn)而得到. 【詳解】 （1）設(shè)等差數(shù)列公差為， ①， ，，成等比數(shù)列得：,整理得：, ∵，∴②, 由①②解得：，， （2）由（1）得：,由于為常數(shù),∴數(shù)列為公比為的等比數(shù)列， . 【點(diǎn)睛】 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式，等比數(shù)列的求和公式，數(shù)列求和中的分組求和,注意兩點(diǎn)：一是求首項(xiàng)和公差時(shí)的方程組要先化簡(jiǎn)再消元求解更簡(jiǎn)便，而是要注意當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，數(shù)列為公比為的等比數(shù)列. 5．（2021·貴州黔東南苗族侗族自治州·凱里一中高三三模（文））已知數(shù)列滿足：. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1），；（2），. 【分析】 （1）利用與的關(guān)系，即可求出的通項(xiàng)公式； （2），利用分組求和即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和. 【詳解】 解：（1）當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，① ，② ①-②得， ， 當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)公式， ，. （2）， ，. 6．（2021·全國(guó)（理））已知在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，且. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為。 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由條件求得公差，寫出通項(xiàng)公式； （2）求出通項(xiàng)公式，利用分組求和求得，且單增，找到符合的最小n值即可. 【詳解】 （1）由等差數(shù)列性質(zhì)知，，則， 故公差， 故 （2）由（1）知， 7．（2021·四川高三月考（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且，，是等差數(shù)列的前三項(xiàng). （1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）設(shè)出公比，根據(jù)已知列出式子即可求得公比，即可求得和的通項(xiàng)公式； （2）分別利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式分組求和即可. 【詳解】 解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為， 則由題可知，∴ ∴或，∵，∴， ∴， ∵的前三項(xiàng)分別是8，16，24，∴. （2）∵， ∴， ∴. 8．（2021·全國(guó)高三二模）已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，，且是和的等差中項(xiàng). （1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解即可； （2）根據(jù)（1）可得，分組求和即可求解. 【詳解】 （1）設(shè)為數(shù)列的公差，為數(shù)列的公比， 由題意得，即， 解得或，∵數(shù)列各項(xiàng)均為正，所以，即. ∴. ，解得， ∴ （2）由（1）得：， 所以 . 所以. 9．（2021·南京市秦淮中學(xué)高三開學(xué)考試）已知 ()，，是函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是. （1）求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值； （2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）證明見解析；（2）Sm＝ 【分析】 （1）先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x1＋x2＝1，再代入化簡(jiǎn)求得y1＋y2＝，即證得結(jié)果； （2）先求，再利用倒序相加法求，兩者相加得結(jié)果. 【詳解】 （1）證明：∵P1P2的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為， ∴＝，∴x1＋x2＝1. ∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數(shù)y＝f(x)的圖像上的兩點(diǎn)， ∴y1＝，y2＝， ∴y1＋y2＝＋ ＝ ＝ ＝＝＝， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為＝. ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值. （2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am ＝ 令 由（1）知＋＝.(k＝1，2，3，…，m－1) ∴倒序相加得∴2S＝ (m－1)，∴S＝ (m－1). 又f（1）＝＝， ∴Sm＝S＋f（1）＝ (m－1)＋＝. 【點(diǎn)睛】 本題考查利用指數(shù)性質(zhì)運(yùn)算、利用倒序相加法求和，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題. 10．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)總有，數(shù)列滿足分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式. 【答案】； 【分析】 利用的關(guān)系即可容易得到；根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，利用倒序相加法即可求得. 【詳解】 當(dāng) 當(dāng) 時(shí)滿足上式，故 ； ∵=1∴ ∵ ① ∴ ② ∴①②，得 【點(diǎn)睛】 本題考查利用的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬綜合基礎(chǔ)題. 11．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，函數(shù)對(duì)任意的都有，數(shù)列滿足…. （1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求. 【答案】（1），（2） 【分析】 （1）利用與之間的關(guān)系即可求得；根據(jù)的函數(shù)性質(zhì)，利用倒序相加法即可容易求得； （2）由（1）中所求，即可求得，利用錯(cuò)位相減法即可求得. 【詳解】 （1）因?yàn)榧?當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， ，即 是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為， ； 因?yàn)椋? 故…. …. ①+②，得， （2）因?yàn)椋? …. ① … ② ①－②得… 則， 故. 【點(diǎn)睛】 本題考查利用的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用錯(cuò)位相減法和倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和，涉及等比數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算，屬綜合中檔題. 感悟升華（核心秘籍） 倒序相加法特點(diǎn)：距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，多考選擇填空題，與函數(shù)，數(shù)列向結(jié)合。 感悟升華（核心秘籍）  分組求和法適用：，從而進(jìn)行分組；此類型考試難度容易，注意精確計(jì)算。

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