數(shù)列專題九：數(shù)列求和（奇偶項(xiàng)討論）一、必備秘籍有關(guān)數(shù)列奇偶項(xiàng)的問題是高考中經(jīng)常涉及的問題，解決此類問題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(比)等．本專題主要研究與數(shù)列奇偶項(xiàng)有關(guān)的問題，并在解決問題中讓學(xué)生感悟分類討論等思想在解題中的有效運(yùn)用.因此，在數(shù)列綜合問題中有許多可通過構(gòu)造函數(shù)來解決．二、例題講解1．已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（Ⅰ）等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，，，成等比數(shù)列，化為，解得．。（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．。  當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，． 感悟升華（核心秘籍）  此類型難度較大；在討論的時(shí)候特別注意分清楚為奇數(shù)；為偶數(shù)時(shí)最后一項(xiàng)到底加到哪里停止；  三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，對任意的正整數(shù)n，有，和 ①由①得 ②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減求和等，屬于中等題.2．（2021·河西·天津市新華中學(xué)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，（i）求證；（ii）對任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合題中所給的條件，列出等量關(guān)系式，求得首項(xiàng)、公差和公比，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）（i）根據(jù)題意，求得，之后利用作差比較法求得結(jié)果；（ii）利用分組求和法和錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）為等差數(shù)列，，所以，，所以，即，所以；為等比數(shù)列，，因?yàn)?/span>，所以，解得，所以；（2）（i），，所以；（ii），所以，設(shè)的前項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)和為，，，，兩式相減得，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，解題方法如下：（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求相關(guān)量，之后確定其通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列公差的相關(guān)公式求得，之后利用作差比較法求得結(jié)果；（3）利用分組求和法和錯(cuò)位相減法對數(shù)列求和.3．（2021·遼寧高三月考）已知等差數(shù)列中，.（1）求；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，所以兩式相減可得公差，將公差代入即可得；（2）求出的通項(xiàng)公式，利用分組求和以及等差和等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）由題得，所以，兩式相減可得：，所以所以可得：；（2）由（1）知：，所以，.4．（2021·湖南衡陽市八中高三其他模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.（1）求；（2）將數(shù)列分組：，記第組的和為.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求數(shù)列前項(xiàng)的和.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)n=1時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，根據(jù)，作差整理，即可求得.（2）（i）根據(jù)題意，可得，根據(jù)（1）可得表達(dá)式，代入整理可得；（ii）根據(jù)（i）可得，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，令n=1，所以，因?yàn)?/span> ①，當(dāng)時(shí)， ②，①-②得：，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，當(dāng)符合上式，所以.（2）（i）由題意可知，，，， 所以，而所以；（ii）由（i）可得所以【點(diǎn)睛】難點(diǎn)在于：將數(shù)列分組后，根據(jù)規(guī)律，總結(jié)出，在結(jié)合等差數(shù)列求和公式，化簡求值即可，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.5．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三其他模擬）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比，，，數(shù)列滿足且，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）將和中的所有項(xiàng)按從小到大的順序排列組成新數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，求．【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)已知條件求出、的值，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，求出、的值，可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分析可知數(shù)列的前項(xiàng)中，有項(xiàng)，有項(xiàng)，利用分組求和法可求得的值；（3）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）由，兩式作差可得，即，，則，，解得，所以，，解得，所以，.因?yàn)?/span>，故數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列的公差為，由于，可得，，，所以，；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列的前項(xiàng)中，有項(xiàng)，有項(xiàng)，所以，；（3），，設(shè)，則，則，兩式作差可得，因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，，若．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若 ，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依題意分別求出等差數(shù)列的公差d和等比數(shù)列的公比q即可求得通項(xiàng)；（2）求出，分組之后用裂項(xiàng)法和公式法求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．因?yàn)?/span>，所以.依題意得，即，解得或（舍）．∴．（2）由（1）可得．∴．∴設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛： 本題第（2）問考查的核心是裂項(xiàng)求和，使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，是，的等比中項(xiàng)，數(shù)列滿足：對任意的，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)的和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由基本量法列出關(guān)于和公差的方程組，解得，得通項(xiàng)公式，求出后可得；（2）把的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和可得．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得，化簡得，因?yàn)?/span>，所以，，所以，，因?yàn)?/span>，所以；（2）由（1）知，所以.【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列， （1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列的前項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法；（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相間等特征時(shí)可能用并項(xiàng)求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和．8．（2021·浙江高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若求.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，得，利用累乘法即可求得的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法，其中偶數(shù)項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解，奇數(shù)項(xiàng)用等差求和公式求解即可．【詳解】（1）由，得， 當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，則.易得，符合， 所以；（2）由（1）知記①，則①，得②， ①－②得，，則. 因此；【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和；(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和；(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．9．（2021·天津河西·高三三模）已知數(shù)列滿足，，，，且，，成等比數(shù)列.（1）求的值和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）。【分析】（1）由遞推關(guān)系，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，根據(jù)已知條件求，進(jìn)而分別討論n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式即可.（2）由（1）寫出通項(xiàng)，將其奇偶項(xiàng)并項(xiàng)得，最后應(yīng)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由題設(shè)知：，而，，，∴，即，，即，又，∴，整理得，，即可得，∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，則，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，，則，綜上，.（2）由（1）知：，∴數(shù)列的前項(xiàng)和中，，∴，，∴，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，由于數(shù)列奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式不同，由奇偶并項(xiàng)，將其轉(zhuǎn)化為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.10．（2021·天津和平·高三月考）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求滿足條件的最小正整數(shù)，使得對不等式恒成立；（3）對任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）先利用等差數(shù)列求和公式列方程組求出，從而可求出，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，從而可求出；（2）由，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而可求得結(jié)果；（3）由題意可得，，然后利用錯(cuò)位相減法求即可【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為.由，得：解得：所以.又由，得：解得所以.（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，滿足條件的最小正整數(shù)，（3）由（1）-（2）可得：所以設(shè)的前項(xiàng)和為，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查錯(cuò)位相減法求和，第（3）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分奇偶項(xiàng)分別求和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題
 

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