三角函數(shù)與解三角形專題五：解三角形（實際問題）解三角形是高考重點考查的內(nèi)容之一，其命題形式多種多樣，其中基于問題情境的解三角形問題在高考中逐步成為熱點。通過具體的問題背景，考察正、余弦定理、面積公式等在問題情境中的應(yīng)用，以此來檢驗學(xué)生的核心價值，學(xué)科素養(yǎng)，關(guān)鍵能力，必備知識。本專題以單選題，多選題，填空題及解答題等形式體現(xiàn)解三角形在實際問題中的應(yīng)用。解決基于問題情境的解三角形問題，常用的解題思路是：審題、建模、研究模型、解決實際問題。解題要點：(1) 變量的確定；(2)利用正、余弦定理、面積公式等建立關(guān)于變量的方程；(3) 利用方程進行實際問題求解。1、正弦定理及其變形 2、余弦定理及其推論            3、常用的三角形面積公式（1）；（2）（兩邊夾一角）；4、基本不等式①②5．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．6．方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．7．方向角：相對于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向．(3)南偏西等其他方向角類似．二、例題講解1．（2021·山西太原五中（文））如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準備在河岸一側(cè)建造一個觀景臺，已知射線，為兩邊夾角為的公路(長度均超過3千米)，在兩條公路，上分別設(shè)立游客上下點，，從觀景臺到，建造兩條觀光線路，，測得千米，千米.（1）求線段的長度；（2）若，求兩條觀光線路與之和的最大值.【答案】（1）3千米；（2）最大值為6千米．【分析】（1），．用余弦定理，即可求出；（2）設(shè)，，用正弦定理求出，，展開，結(jié)合輔助角公式可化為，由的取值范圍，即可求解．【詳解】解：（1）在中，由余弦定理得，，，所以線段的長度為3千米；（2）設(shè)，因為，所以，在中，由正弦定理得，.所以，，因此，因為，所以.所以當(dāng)，即時，取到最大值6.所以兩條觀光線路與之和的最大值為6千米．【點睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意將實際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等．2．（2021·上海市實驗學(xué)校高三月考）如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個半圓形，其中O為圓心，直徑的長為，C，D兩點在半圓弧上，且，設(shè)；（1）當(dāng)時，求四邊形的面積.（2）若要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條由線段，，和組成的觀光道路，則當(dāng)為何值時，觀光道路的總長最長，并求出的最大值.【答案】（1）；（2）5【分析】（1）把四邊形分解為三個等腰三角形：，利用三角形的面積公式即得解；（2）利用表示（1）中三個等腰三角形的頂角，利用正弦定理分別表示，和，令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，即得解.【詳解】（1）連結(jié)，則四邊形的面積為（2）由題意，在中，，由正弦定理同理在中，，由正弦定理令時，即，的最大值為5【點睛】本題考查了三角函數(shù)和解三角形綜合實際應(yīng)用問題，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算能力，屬于較難題 必備知識 必備秘籍1、正弦定理及邊角互化必備秘籍2、余弦定理必備秘籍3、建立模型抽象成所學(xué)數(shù)學(xué)問題 感悟升華（核心秘籍）1、在解決實際問題時，通常需要設(shè)出一個角，用這個角表示出問題中所需的各個量，然后再利用如輔助角，余弦定理，可化為二次函數(shù)，求導(dǎo)等求出最值。 三、實戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·江西九江一中（理））如圖某公園有一塊直角三角形的空地，其中，，長千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域建文化景觀區(qū)，其中、、分別在、、上．設(shè)．（1）若，求的邊長；（2）當(dāng)多大時，的邊長最??？并求出最小值．【答案】（1）千米；（2）當(dāng)時，的邊長取得最小值為千米.【分析】（1）由題意易得為等邊三角形，從而可求；（2）由已知結(jié)合正弦定理及輔助角公式進行化簡即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)的邊長為千米，由得，，中，，，為等邊三角形，，故，即的邊長為；（2）設(shè)的邊長為千米，所以，，中，，，，由正弦定理得，，故，當(dāng)時取得最小值，即的邊長最小值．【點睛】方法點睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.2．（2021·上海高三二模）某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進行改造．如圖所示，平行四邊形區(qū)域為停車場，其余部分建成綠地，點在圍墻弧上，點和點分別在道路和道路上，且米，，設(shè)．（1）當(dāng)時，求停車場的面積（精確到平方米）；（2）寫出停車場面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時，停車場面積取得最大值．【答案】（1）平方米；（2），當(dāng)時，停車場面積取得最大值.【分析】（1）由正弦定理求得，再計算停車場面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）首先利用正弦定理表示，并表示化簡函數(shù)解析式，求出的最大值以及取最大值時對應(yīng)的值．【詳解】解：（1）在中，，，由正弦定理得，即 ，即則停車場面積（平方米），即停車場面積約為平方米．（2）在中，，．由正弦定理得，即 ，即 ．則停車場面積，即 ，其中 ．．因為，所以 ，則當(dāng)，即 時，停車場面積取得最大值．所以當(dāng)時，停車場面積取得最大值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象，利用正弦定理，正確表示，并利用三角函數(shù)正確表示停車場的面積.3．（2021·上海浦東新·華師大二附中高三月考）由于2020年1月份國內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟活動大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響.3月份復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作逐步推進，居民生活逐步恢復(fù)正常.李克強總理在6月1日考察山東煙臺一處老舊小區(qū)時提到，地攤經(jīng)濟?小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機.某商場經(jīng)營者陳某準備在商場門前“擺地攤”，經(jīng)營冷飲生意.已知該商場門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中，且在該區(qū)域內(nèi)點處有一個路燈，經(jīng)測量點到區(qū)域邊界、的距離分別為，，(為長度單位).陳某準備過點修建一條長椅（點，分別落在，上，長椅的寬度及路燈的粗細忽略不計），以供購買冷飲的人休息.（1）求點到點的距離；（2）為優(yōu)化經(jīng)營面積，當(dāng)等于多少時，該三角形區(qū)域面積最小？并求出面積的最小值.【答案】（1）；（2），面積的最小值.【分析】（1）連接，，在中，利用余弦定理求出，可求出，可得出的值，在中，利用正弦定理求出的值，進而利用勾股定理可求得；（2）利用三角形的面積公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，進而可求得面積的最小值及其對應(yīng)的的值.【詳解】解：（1）連接、，在中，，由余弦定理可得：，.在中，由余弦定理可得，.在中，，由正弦定理可得：，解得：.在直角中，，；（2），..，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.4．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知中，的對邊分別為且. （1）判斷的形狀，并求的取值范圍；（2）如圖，三角形的頂點分別在上運動，，，若直線直線 ，且相交于點，求，間距離的取值范圍.【答案】（1）為直角三角形，；（2）.【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則，將原式化簡整理，得到，推出，即可得出三角形的形狀，再將化為，結(jié)合角的范圍，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，求出值域，即可得出結(jié)果；（2）記，其中，由此得出，再由余弦定理，得出，結(jié)合三角形的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由可得，則，所以，則，所以，因此，即，則為直角三角形，；所以，所以，則，因此，因為，所以，則；（2）不妨記，其中，則，由余弦定理可得，，因為，所以，則，所以，則.【點睛】思路點睛：求解三角形中的邊長取值范圍問題時，可根據(jù)正弦定理或余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域問題，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.5．（2021·全國高三專題練習(xí)）如圖，矩形是某個歷史文物展覽廳的俯視圖，點在上，在梯形區(qū)域內(nèi)部展示文物，是玻璃幕墻，游客只能在△區(qū)域內(nèi)參觀．在上點處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控攝像頭，為監(jiān)控角，其中、在線段（含端點）上，且點在點的右下方．經(jīng)測量得知：米，米，米，．記（弧度），監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域△的面積為平方米．（1）分別求線段、關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（2）求的最小值．【答案】（1），，；（2）平方米．【分析】（1）由正弦定理求得，利用極限值求得的范圍．（2）求出的面積，利用二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡函數(shù)式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)得最小值．【詳解】解：（1）在PME中，，PE=AE-AP=4米，，，由正弦定理得，所以，同理在PNE中，由正弦定理得，所以，當(dāng)M與E重合時，；當(dāng)N與D重合時，，即，，所以；（2）PMN的面積S，因為，所以當(dāng)即時，取得最小值為所以可視區(qū)域PMN面積的最小值為平方米．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解三角形的應(yīng)用．掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵是．解題方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的邊長，面積，利用三角函數(shù)的恒等變換化函數(shù)為基本三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求最值． 
 

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