章末綜合測評(七)　三角函數(shù) (滿分：150分　時間：120分鐘)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是(　　)A．y＝sin x   B．y＝cos xC．y＝sin   D．y＝cosD　[正、余弦函數(shù)的周期為T＝，故選D.]2．已知弧長為π cm的弧所對的圓心角為，則這條弧所在的扇形面積為(　　)A． cm2   B．π cm2  C．2π cm2   D．4π cm2C　[弧長為π的弧所對的圓心角為，所以r＝＝4(cm)，所以扇形面積為S＝lr＝×π×4＝2π(cm2)．]3．已知點 P(3,4) 在角α的終邊上，則cos的值為(　　)A．   B．－  C．   D．－D　[因為點 P(3,4) 在角α的終邊上，所以|OP|＝＝5，cos＝－sin α＝－，故選D.]4．代數(shù)式sin(－330°)cos 390°的值為(　　)A．－   B．  C．－   D．B　[sin(－330°)·cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝×＝.]5．已知tan＝，則tan＝(　　)A．   B．－  C．   D．－B　[tan＝tan＝－tan＝－.]6．設(shè)A是△ABC的一個內(nèi)角，且sin A＋cos A＝，則這個三角形是(　　)A．銳角三角形   B．鈍角三角形C．等邊三角形   D．等腰直角三角形B　[將sin A＋cos A＝兩邊平方得sin2A＋2sin Acos A＋cos2A＝，故sin Acos A＝－.因為0＜A＜π，所以sin A＞0，cos A＜0，即A是鈍角．]7．如圖，單擺離開平衡位置O的位移s(單位：cm)和時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系為s＝6sin，則單擺在擺動時，從開始到第一次回到平衡位置所需要的時間為(　　) A. s   B. sC. s   D.1 sC　[由題意得，s＝0, 即6sin＝0(t>0)，所以2πt＋＝kπ(k∈N*)，t＝－(k∈N*)，所以t的最小正值為 s ，故選C.]8．設(shè)a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，則(　　)A．a>c>b   B．c>b>aC．c>a>b   D．b>c>aA　[sin ＝sin＝－sin ＝sin ＝cos ，cos ＝cos＝cos＝cos ，∵y＝cos x在上是減函數(shù)，∴cos >cos >cos ，即a>c>b.]二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．若α是第二象限的角，則下列各式中一定成立的是(　　)A.tan α＝－B.＝sin α－cos αC．cos α＝－D.＝sin α＋cos αBC　[由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，知tan α＝，故A錯；因為α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符號不確定，所以＝＝sin α－cos α，故B、C正確，D錯. 故選BC.]10．將函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列關(guān)于g(x)說法錯誤的是(　　)A．最大值為1，圖象關(guān)于直線x＝對稱B．在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)D．周期是π，圖象關(guān)于點對稱BCD　[∵將函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)y＝g(x)＝sin＝cos 2x的圖象，關(guān)于g(x)，顯然它是偶函數(shù)，最大值為1，周期為＝π，故B不正確；由于當x＝時，g(x)＝1，為最大值，故g(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，故A正確；由于在上，2x∈，g(x)沒有單調(diào)性，故C錯誤；由于當x＝時，g(x)＝－≠0，故g(x)的圖象不關(guān)于點對稱，故D不正確．]11．定義：角θ與φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝，則稱θ與φ“廣義互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能與角α“廣義互余”的是(　　)A．sin β＝   B．cos(π＋β)＝C．tan β＝   D．tan β＝AC　[∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝，若α＋β＝，則β＝－α.A中sin β＝sin＝cos α＝±，故A符合條件；B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－，故B不符合條件；C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±， 即C符合條件；D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合條件．故選AC.]12．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象經(jīng)過點，且在區(qū)間上單調(diào)，則 ω , φ 可能的取值為(　　)A．ω＝2，φ＝－   B．ω＝2，φ＝－C．ω＝6，φ＝   D．ω＝6，φ＝BC　[對于A，f(x)＝sin，f ＝sin＝sin ＝1，圖象不過點，不合題意；對于B, f(x)＝sin，f＝sin＝sin ＝，圖象過點，令2x－∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，所以f(x)＝sin在區(qū)間上單調(diào)遞增；對于C, f(x)＝sin，f ＝sin＝sin＝，圖象過點，令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，所以f(x)＝sin在區(qū)間上單調(diào)遞減；對于D，f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝，圖象過點，令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，當k＝1，x∈，所以f(x)＝sin在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，不合題意. 故選BC.]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，則tan α＝________.－　[因為sin α＋cos α＝①，兩邊平方得1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，因為α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α＝＝＝＝②，聯(lián)立①②得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝－.]14．已知tan α＝2，則＝________.　[＝＝＝＝.]15．已知函數(shù)y＝asin ＋b在x∈上的值域為[－5,1]，則a＋b的值為________．1或－5　[由題意知a≠0.∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈.當a＞0時，解得當a＜0時，解得綜上，a＝4，b＝－3或a＝－4，b＝－1.所以a＋b＝1或－5.]16．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的圖象如圖所示，則ω＝_______，f ＝________.(本題第一空2分，第二空3分)3　0　[由圖象知T＝π，∴T＝，A＝2，又∵T＝，∴ω＝3，將點代入y＝2sin(3x＋φ)得：sin＝0，取φ＝－π，∴f(x)＝2sin，∴f ＝2sin＝2sin π＝0.]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(1)已知角α的終邊經(jīng)過點P(4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α終邊上一點P到x軸的距離與到y軸的距離之比為3∶4，求2sin α＋cos α的值．[解]　(1)∵r＝＝5，∴sin α＝＝－，cos α＝＝，∴2sin α＋cos α＝－＋＝－.(2)當點P在第一象限時，sin α＝，cos α＝，2sin α＋cos α＝2；當點P在第二象限時，sin α＝，cos α＝－，2sin α＋cos α＝；當點P在第三象限時，sin α＝－，cos α＝－，2sin α＋cos α＝－2；當點P在第四象限時，sin α＝－，cos α＝，2sin α＋cos α＝－.18．(本小題滿分12分)已知f(α)＝.(1)化簡f(α)；(2)若α是第三象限的角，且cos＝，求f(α)的值．[解]　(1)f(α)＝＝＝－cos α.(2)因為cos＝－sin α，所以sin α＝－.又α是第三象限的角，所以cos α＝－＝－.所以f(α)＝.19．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝.(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．[解]　(1)因為x＝是函數(shù)y＝f(x)圖象的對稱軸．所以sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)．又因為－π<φ<0，所以φ＝－.(2)由(1)知φ＝－，則f(x)＝sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)＝sin的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)．20．(本小題滿分12分)如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)動一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑為40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請回答下列問題：(1)求出你與地面的距離y(米)與時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當你第4次距離地面60.5米時，用了多長時間？[解]　(1)可以用余弦函數(shù)來表示該函數(shù)的關(guān)系式，由已知，可設(shè)y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期為12分鐘可知，當t＝6時，摩天輪第1次到達最高點，即此函數(shù)第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.所以y＝40.5－40cost(t≥0)．(2)設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時，第t0分鐘時距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或8.所以t＝8分鐘時，第2次距地面60.5米，故第4次距離地面60.5米時，用了12＋8＝20(分鐘)．21．(本小題滿分12分)已知f(x)＝2sin(0<ω<1)，直線x＝是函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移個單位長度得到的，若g＝，α∈，求tan的值．[解]　(1)由于直線x＝是函數(shù)f(x)＝2sin的圖象的一條對稱軸，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，所以f(x)＝2sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．(2)由題意可得g(x)＝2sin，即g(x)＝2cos ，由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝.又α∈，故<α＋<.所以sin＝，所以tan＝＝.22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一系列對應值如下表：x－f(x)－1131－113(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求出函數(shù)f(x)的一個解析式；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，若函數(shù)y＝f(kx)(k＞0)的周期為，當x∈時，方程f(kx)＝m恰有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．[解]　(1)設(shè)f(x)的最小正周期為T，得T＝－＝2π.由T＝，得ω＝1.又解得令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z.又|φ|＜，解得φ＝－，∴f(x)＝2sin＋1.(2)∵函數(shù)y＝f(kx)＝2sin＋1的周期為，又k＞0，∴k＝3.令t＝3x－，∵x∈，∴t∈.如圖，sin t＝s在上有兩個不同的解的條件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈時恰有兩個不同的解的條件是m∈[＋1，3)，即實數(shù)m的取值范圍是[＋1,3)．  

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7.2 三角函數(shù)概念

版本： 蘇教版 (2019)

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