章末綜合測(cè)評(píng)(三)　不等式(滿(mǎn)分：150分　時(shí)間：120分鐘)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則下列不等式成立的是(　　)A．a2>b2 B．ac2<bc2C．a＋c>b＋c D．<C　[∵1>－2，但是<不成立，故D不正確；∵－1>－2，但是(－1)2>(－2)2不成立，故A不正確；∵a>b，∴a＋c>b＋c，C正確；c＝0時(shí)，0＝ac2<bc2＝0，不成立，故B不正確．]2．不等式＞1的解集是(　　)A．{x|x＜－2} B．{x|－2＜x＜1}C．{x|x＜1} D．{x|x∈R}A　[＞1可化為－1＞0，整理可得＞0，即x＋2＜0，解得x＜－2，解集為{x|x＜－2}．]3．設(shè)A＝＋，其中a，b是正實(shí)數(shù)，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，則A與B的大小關(guān)系是(　　)A．A≥B B．A>BC．A<B D．A≤BB　[∵a，b都是正實(shí)數(shù)，且a≠b，∴A＝＋>2＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，∴A>B.]4．不等式|x|(1－2x)>0的解集為(　　)A．(－∞，0)∪ B．C． D．A　[當(dāng)x≥0時(shí)，原不等式即為x(1－2x)>0，所以0<x<；當(dāng)x<0時(shí)，原不等式即為－x(1－2x)>0，所以x<0，綜上，原不等式的解集為(－∞，0)∪，故選A.]5．已知＋＝1(x>0，y>0)，則x＋y的最小值為(　　)A．1 B．2C．4 D．8D　[∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.]6．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1<x<2}，則不等式2x2＋bx＋a<0的解集為(　　)A. B．C. D．A　[由題意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．由根與系數(shù)的關(guān)系得?∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.解得－1<x<.]7．若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．a≥2或a≤－3 B．a＞2或a≤－3C．a＞2 D．－2＜a＜2C　[原不等式可化為(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，顯然a＝－2時(shí)不等式不恒成立，所以要使不等式對(duì)于任意的x均成立，必須有a＋2＞0，且Δ＜0，即解得a＞2.]8．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地費(fèi)用與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站距離成反比，而每月貨物的運(yùn)輸費(fèi)用與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站距離成正比．如果在距離車(chē)站10 km處建倉(cāng)庫(kù)，則土地費(fèi)用和運(yùn)輸費(fèi)用分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站(　　)A．5 km處 B．4 km處C．3 km處 D．2 km處A　[設(shè)車(chē)站到倉(cāng)庫(kù)距離為x，土地費(fèi)用為y1，運(yùn)輸費(fèi)用為y2，由題意得y1＝，y2＝k2x，∵x＝10時(shí)，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝，∴費(fèi)用之和為y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝5時(shí)取等號(hào)．]二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．已知0＜a＜b，且a＋b＝4，則(　　)A．b>2B．存在a，b，使得(a＋1)(b＋1)＝9C. 0<a<2D．a2＋b2>8ACD　[由0＜a＜b，且a＋b＝4得a<4－a，b>4－b，所以0<a<2，b>2，所以A、C正確，因?yàn)?/span>≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取“＝”，所以D正確；又a＋b＝4，所以ab<2，所以(a＋1)(b＋1)＝a＋b＋ab＋1<9，所以B錯(cuò)誤；故選ACD.]10．若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a＋b＝1，則下列選項(xiàng)中正確的是(　　)A．ab有最大值B．＋有最小值C．＋有最小值4D．a2＋b2有最小值AC　[∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＋a＋b≥1＋2，所以≤，∴ab≤，A正確.＋≥2，＋的最小值不是.B錯(cuò)誤.＋＝＝≥4，∴＋有最小值4.∴C正確．a2＋b2≥2ab,2ab≤，∴a2＋b2的最小值不是，D錯(cuò)誤．]11．若不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集是[－3,4]的子集，則實(shí)數(shù)a的取值可能是(　　)A．－3 B．2  C．－5 D．5AB　[關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0化為(x－1)(x－a)<0，其解集是[－3,4]的子集．當(dāng)a＝1時(shí)，不等式(x－1)2<0，其解集為空集，符合題意．當(dāng)1<a≤4時(shí)，不等式的解集為{x|1<x<a}符合題意．當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為{x|a<x<1}應(yīng)滿(mǎn)足a≥－3.當(dāng)a>4時(shí)，不等式的解集為{x|1<x<a}此時(shí)不滿(mǎn)足．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－3,4]．]12．設(shè)a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)A．a＋b有最小值2(＋1)B．a＋b有最大值(＋1)2C．ab有最大值3＋2D．ab有最小值3＋2AD　[∵a>1，b>1，∴a＋b≥2，當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．∴1＝ab－(a＋b)≤ab－2，解得≥＋1，∴ab≥(＋1)2＝3＋2，∴ab有最小值3＋2.∵ab≤2，當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．∴1＝ab－(a＋b)≤2－(a＋b)，∴(a＋b)2－4(a＋b)≥4，[(a＋b)－2]2≥8，解得a＋b－2≥2，即a＋b≥2(＋1)，∴a＋b有最小值2(＋1)．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知不等式x2－ax－b<0的解集為(2,3)，則不等式bx2－ax－1>0的解集為________．　[方程x2－ax－b＝0的根為2,3.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：a＝5，b＝－6.所以不等式為6x2＋5x＋1<0，解得不等式的解集為.]14．已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立．則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．(－4,2)　[∵x>0，y>0.∴＋≥8(當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取“＝”)，若＋>m2＋2m恒成立．則m2＋2m<8，解之得－4<m<2.]15．設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a>b>c，則y＝(a－c)·的最小值為________．9　[∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，y＝(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)]＝5＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)b－c＝2(a－b)，等號(hào)成立，所以y＝(a－c)的最小值為9.]16．某商品進(jìn)貨價(jià)每件50元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格(每件x元)在50＜x≤80時(shí)，每天售出的件數(shù)P＝，若想每天獲得的利潤(rùn)最多，銷(xiāo)售價(jià)格每件應(yīng)定為________元，每天獲得的利潤(rùn)最多為________元．(本題第一空2分，第二空3分)60　2 500　[設(shè)銷(xiāo)售價(jià)格定為每件x(50＜x≤80)元，每天獲得利潤(rùn)y元，則y＝(x－50)·P＝，設(shè)x－50＝t，則0＜t≤30，所以y＝＝＝≤＝2 500，當(dāng)且僅當(dāng)t＝10，即x＝60時(shí)，ymax＝2 500.]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿(mǎn)分10分)解下列不等式(組)：(1)(2)6－2x≤x2－3x<18.[解]　(1)原不等式組可化為即0<x<1，所以原不等式組的解集為{x|0<x<1}．(2)原不等式等價(jià)于即因式分解，得所以所以－3<x≤－2或3≤x<6.所以原不等式的解集為{x|－3<x≤－2或3≤x<6}．18．(本小題滿(mǎn)分12分)已知?x∈R，ax2＋2ax＋1≥0.(1)求a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式x2－x－a2＋a<0.[解]　(1)因?yàn)?/span>?x∈R，ax2＋2ax＋1≥0.①當(dāng)a＝0時(shí)，1≥0恒成立；②當(dāng)a≠0時(shí)，則解得0<a≤1.綜上，a的取值范圍為[0,1]．(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.因?yàn)?/span>0≤a≤1，所以①當(dāng)1－a>a，即0≤a<時(shí)，a<x<1－a；②當(dāng)1－a＝a，即a＝時(shí)，2<0，不等式無(wú)解；③當(dāng)1－a<a，即<a≤1時(shí)，1－a<x<a.綜上所述，當(dāng)0≤a<時(shí)，解集為(a,1－a)；當(dāng)a＝時(shí)，解集為?；當(dāng)<a≤1時(shí)，解集為(1－a，a)．19．(本小題滿(mǎn)分12分)(1)已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值；(2)已知a，b，c都為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1.求證：＋＋≥10.[解]　(1)∵2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1.又∵a>0，b>0，∴a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝18，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2b時(shí)，等號(hào)成立．由得∴當(dāng)a＝12，b＝6時(shí)，a＋b取得最小值18.(2)證明：＋＋＝＋＋＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào)．∴＋＋≥10.20．(本小題滿(mǎn)分12分)已知某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本y與年產(chǎn)量x之間的關(guān)系為y＝ax2＋2 000，且當(dāng)年產(chǎn)量是50時(shí)，總成本為4 000.(1)設(shè)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為x時(shí)平均成本為t，求t關(guān)于x的表達(dá)式；(2)求當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，平均成本最小，并求最小值．[解]　(1)將x＝50，y＝4 000代入y＝ax2＋2 000中，可得502a＋2 000＝4 000，從而a＝，于是y＝x2＋2 000.因此t＝＝x＋(x>0)．(2)因?yàn)?/span>t＝x＋≥2＝80，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝50時(shí)，上述等號(hào)成立．因此，當(dāng)年產(chǎn)量為50時(shí)，平均成本最小，且最小值為80.21．(本小題滿(mǎn)分12分)如圖所示，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18 000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，兩欄之間的中縫空間的寬度為5 cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最?。?/span>[解]　設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab＝9 000.①廣告的高為a＋20，寬為2b＋25，其中a>0，b>0.廣告的面積S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2＝18 500＋2＝24 500.當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)b＝a，代入①式得a＝120，從而b＝75.即當(dāng)a＝120，b＝75時(shí)，S取得最小值24 500  cm2.故廣告的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，可使矩形廣告的面積最?。?/span>22．(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)y＝(x≠a，a為非零常數(shù))．(1)解不等式<x；(2)設(shè)x>a時(shí)，y＝有最小值為6，求a的值．[解]　(1)∵<x，整理得(ax＋3)(x－a)<0.當(dāng)a>0時(shí)，(x－a)<0, 解集為；當(dāng)a<0時(shí)，(x－a)>0，解集為.(2)設(shè)t＝x－a，則x＝t＋a(t>0)，∴y＝＝t＋＋2a≥2＋2a＝2＋2a.當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝時(shí)，等號(hào)成立，即y有最小值2＋2a.依題意有2＋2a＝6，解得a＝1.  

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