課后素養(yǎng)落實(shí)(四十一)　函數(shù)的零點(diǎn) (建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)y＝x2－bx＋1有一個(gè)零點(diǎn)，則b的值為(　　)A．2   B．－2  C．±2   D．3C　[因?yàn)楹瘮?shù)有一個(gè)零點(diǎn)，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.]2．函數(shù)f(x)＝2x－的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　)A．(1，＋∞)   B．C．   D．B　[由f(x)＝2x－，得f ＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，∴f ·f(1)<0.∴零點(diǎn)所在區(qū)間為.]3．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為(　　)A．，0   B．－2,0C．   D．0D　[當(dāng)x≤1時(shí)，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；當(dāng)x>1時(shí)，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函數(shù)的零點(diǎn)為0，故選D.]4．若函數(shù)y＝f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對(duì)應(yīng)值表：x123456y－52812－5－10則函數(shù)y＝f(x)在x∈[1,6]上的零點(diǎn)至少有(　　)A．1個(gè)   B．2個(gè)C．3個(gè)   D．4個(gè)B　[由表得f(1)f(2)<0，f(4)f(5)<0，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，所以函數(shù)在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，在(4,5)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)y＝f(x)在x∈[1,6]上的零點(diǎn)至少有兩個(gè)．]5．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零點(diǎn)依次為a，b，c，則(　　)A．a<b<c   B．c<b<a C．c<a<b   D．b<a<cA　[在同一直角坐標(biāo)系下分別畫(huà)出函數(shù)y＝2x，y＝log3x，y＝－的圖象，如圖，觀察它們與y＝－x的交點(diǎn)可知a<b<c，故選A.]二、填空題6．函數(shù)f(x)＝零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．2　[x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3，x＝1(舍去)，∴f(x)在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn)；x＞0時(shí)，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上遞增，f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0.∵f(1)·f(e3)＜0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，f(x)在R上有2個(gè)零點(diǎn)．]7．設(shè)x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，則k＝________.2　[令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上遞增，∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，∴f(x)在(2,3)內(nèi)有解，∴k＝2.]8．奇函數(shù)f(x)，偶函數(shù)g(x)的圖象分別如圖(1)，(2)所示，函數(shù)f(g(x))，g(f(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為m，n，則m＝________，n＝________.　                 圖(1)　　　　　　　　圖(2)7　3　[由題中函數(shù)圖象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f ＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7個(gè)零點(diǎn)，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3個(gè)零點(diǎn)．即n＝3.]三、解答題9．判斷函數(shù)f(x)＝ln x＋x2－3的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．[解]　法一(圖象法)：函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程為ln x＋x2－3＝0，所以原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝ln x與y＝3－x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一坐標(biāo)系下，作出兩函數(shù)的圖象(如圖)．由圖象知，函數(shù)y＝3－x2與y＝ln x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，從而ln x＋x2－3＝0有一個(gè)根，即函數(shù)y＝ln x＋x2－3有一個(gè)零點(diǎn)．法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的圖象在(1,2)上是不間斷的，所以f(x)在(1,2)上必有零點(diǎn)，又f(x)在(0，＋∞)上是遞增的，所以零點(diǎn)只有一個(gè)．10．已知y＝f(x)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－2x.(1)寫(xiě)出函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，求a的取值范圍．[解]　(1)當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，－x∈(0，＋∞)，∵y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，∴f(x)＝(2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值為－1；當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值為1.∴據(jù)此可作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象得，若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，則a的取值范圍是(－1,1)．1．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點(diǎn)是(　　)A．－1和   B．1和－C．和   D．－和B　[∵函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零點(diǎn)為1和－，故選B.]2．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值可能是(　　)A．－1   B．1  C．－2   D．2ABD　[函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝－x－a有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，－a≤1，解得a≥－1.]3．已知函數(shù)f(x)＝|lg x|－a，a>0有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則x1＋x2的取值范圍是________．(2，＋∞)　[設(shè)函數(shù)f(x)＝|lg x|－a，a>0有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且0<x1<1<x2，∴x1＋x2＝10－a＋10a>2，即x1＋x2的取值范圍是(2，＋∞)．]4．已知函數(shù)f(x)＝其中k≥0.(1)若k＝2，則f(x)的最小值為________；(2)若關(guān)于x的函數(shù)y＝f(f(x))有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．(1)－1　(2)[0,1)　[(1)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x＋2在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，則f(x)>2；當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－1在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(x)≥f(0)＝－1.則f(x)的最小值為－1.(2)令f(x)＝t，則y＝f(t)．當(dāng)k∈[0,1)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖①所示．圖①則f(t)＝0?t＝1，則函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝1有兩個(gè)交點(diǎn)，則k∈[0,1)滿(mǎn)足題意．當(dāng)k∈[1，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖②所示．圖②則f(t)＝0?t＝1，則函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝1只有一個(gè)交點(diǎn)，則k∈[1，＋∞)不滿(mǎn)足題意．綜上，k∈[0,1)．]已知函數(shù)f(x)＝4x－a·2x＋1＋1.(1)若函數(shù)f(x)在x∈上有最大值－8，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在x∈上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]　(1)由題知f(x)＝4x－a·2x＋1＋1＝(2x)2－2a·2x＋1，因?yàn)?/span>x∈，所以令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，對(duì)稱(chēng)軸為t＝a，當(dāng)a≤時(shí)，f(t)max＝f(4)＝17－8a＝－8，解得a＝(舍)，當(dāng)a>時(shí)，f(t)max＝f(1)＝2－2a＝－8，解得a＝5，所以a＝5.(2)由(1)知f(x)＝(2x)2－2a·2x＋1，令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，對(duì)稱(chēng)軸為t＝a.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x∈上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以f ＝t2－2at＋1的圖象在上與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以解得a＝1，或者f ·f ≤0，即≤0，整理解得≤a≤，當(dāng)a＝時(shí)，f ＝t2－2at＋1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故舍，綜上，<a≤或a＝1.  

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

7.4 三角函數(shù)應(yīng)用

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