2021學年7.2 三角函數(shù)概念教案-教案下載-教習網(wǎng)

三角函數(shù)是繼指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)之后學習的函數(shù),它是一種重要的基本初等函數(shù),是解決實際問題的重要工具。在初中,學生已學過銳角三角函數(shù),知道直角三角形中銳角三角函數(shù)等于相應(yīng)邊長的比值。隨著角的概念的推廣,任意角的三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集(角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合)到另一個實數(shù)集(角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構(gòu)成的集合)的對應(yīng)關(guān)系。認識它需要借助單位圓、角的終邊以及兩者的交點這些幾何圖形的直觀幫助,這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,由銳角三角函數(shù)到坐標表示的銳角三角函數(shù),直至得到任意角的三角函數(shù)的定義,體現(xiàn)了合情推理的思想方法。
1.教學重點：任意角的三角函數(shù)（正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)）的定義；
2.教學難點：任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程。
1．弧度和角度互化：
(1)－eq \f(2π,3)＝________；
(2)－270°＝________.
答案：(1)－120° (2)－eq \f(3π,2)
2．半徑為1 cm，圓心角為eq \f(5π,6)的弧長為________ cm.
答案：eq \f(5π,6)
3．若α＝－4，則α所在的象限為________．
答案：第二象限
4．把角－690°化為2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式為________．
答案：－4π＋eq \f(π,6)
知識點一任意角的三角函數(shù)
使銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P，作PM⊥x軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|＝r.
思考1 角α的正弦、余弦、正切分別等于什么？
答案 sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
思考2 對確定的銳角α，sin α，cs α，tan α的值是否隨P點在終邊上的位置的改變而改變？
答案不會．因為三角函數(shù)值是比值，其大小與點P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．
思考3 在思考1中，當取|OP|＝1時，sin α，cs α，tan α的值怎樣表示？
答案 sin α＝y(tǒng)，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x).
梳理 (1)單位圓
在直角坐標系中，我們稱以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓．
(2)定義
在平面直角坐標系中，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，記作sin_α，
即sin α＝y(tǒng)；
②x叫做α的余弦，記作cs_α，即cs α＝x；
③eq \f(y,x)叫做α的正切，記作tan_α，即tan α＝eq \f(y,x) (x≠0)．
對于確定的角α，上述三個值都是唯一確定的．故正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)．
知識點二正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號
思考根據(jù)三角函數(shù)的定義，你能判斷正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各象限的符號嗎？
答案由三角函數(shù)定義可知，在平面直角坐標系中，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．當α為第一象限角時，y>0, x>0，故sin α>0，cs α>0，tan α>0，同理可得當α在其他象限時三角函數(shù)值的符號，如圖所示．
梳理記憶口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知識點三三角函數(shù)的定義域
思考正切函數(shù)y＝tan x為什么規(guī)定x∈R且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z?
答案當x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z時，角x的終邊在y軸上，此時任取終邊上一點P(0，yP)，因為eq \f(yP,0)無意義，因而x的正切值不存在．所以對正切函數(shù)y＝tan x，必須要求x∈R且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
梳理正弦函數(shù)y＝sin x的定義域是R；余弦函數(shù)y＝cs x的定義域是R；正切函數(shù)y＝tan x的定義域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
知識點四三角函數(shù)線
思考1 在平面直角坐標系中，任意角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作PM⊥x軸，過點A(1,0)作單位圓的切線，交α的終邊或其反向延長線于點T，如圖所示，結(jié)合三角函數(shù)的定義，你能得到sin α，cs α，tan α與MP，OM，AT的關(guān)系嗎？
答案 sin α＝MP，cs α＝OM，tan α＝AT.
思考2 三角函數(shù)線的方向是如何規(guī)定的？
答案方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值，反之，為負值．
思考3 三角函數(shù)線的長度和方向各表示什么？
答案長度等于三角函數(shù)值的絕對值，方向表示三角函數(shù)值的正負．
梳理
典型例題
類型一三角函數(shù)定義的應(yīng)用
命題角度1 已知角α終邊上一點的坐標求三角函數(shù)值
例1 已知θ終邊上一點P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，求sin θ，tan θ.
解由題意知r＝|OP|＝eq \r(x2＋9)，
由三角函數(shù)定義得cs θ＝eq \f(x,r)＝eq \f(x,\r(x2＋9)) .
又∵cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，∴eq \f(x,\r(x2＋9))＝eq \f(\r(10),10)x.
∵x≠0，∴x＝±1.
當x＝1時，P(1,3)，
此時sin θ＝eq \f(3,\r(12＋32))＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝eq \f(3,1)＝3.
當x＝－1時，P(－1,3)，
此時sin θ＝eq \f(3,\r(?－1?2＋32))＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝eq \f(3,－1)＝－3.
反思與感悟 (1)已知角α終邊上任意一點的坐標求三角函數(shù)值的方法
在α的終邊上任選一點P(x，y)，設(shè)P到原點的距離為r(r>0)，則sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).當已知α的終邊上一點求α的三角函數(shù)值時，用該方法更方便．
(2)當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論．
變式1：已知角α的終邊過點P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cs α的值．
解 r＝eq \r(?－3a?2＋?4a?2)＝5|a|.
①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，
∴2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1.
②若a0)上時，取終邊上一點P(4，－3)，
所以點P到坐標原點的距離r＝|OP|＝5，
所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3,5)＝－eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4).
所以sin α－3cs α＋tan α＝－eq \f(3,5)－eq \f(12,5)－eq \f(3,4)＝－eq \f(15,4).
當角α的終邊在射線y＝－eq \f(3,4)x(x