課后素養(yǎng)落實(四十二)　用二分法求方程的近似解 (建議用時：40分鐘)一、選擇題1．用二分法求函數f(x)＝x3＋5的零點可以取的初始區(qū)間是(　　)A．[－2,1]   B．[－1,0]C．[0,1]   D．[1,2]A　[∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，∴可以取區(qū)間[－2,1]作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算．]2．下列函數中，有零點但不能用二分法求零點近似值的是(　　)①y＝3x2－2x＋5；②y＝③y＝＋1，x∈(－∞，0)；④y＝x2＋4x＋8.A．①③   B．②  C．④   D．②④C　[由y＝x2＋4x＋8知此函數的判別式Δ＝0，故無法用二分法求零點近似值．]3．若函數f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.437 5)＝0.162f(1.406 25)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根(精確度為0.05)可以是(　　)A．1.25       B．1.375  C．1.42       D．1.5C　[由表格可得，函數f(x)＝x3＋x2－2x－2的零點在(1.406 25,1.437 5)之間．結合選項可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根(精確度為0.05)可以是1.42.故選C.]4．用二分法求函數f(x)＝2x＋3x－7在區(qū)間[0,4]上的零點近似值，取區(qū)間中點2，則下一個存在零點的區(qū)間為(　　)A．(0,1)       B．(0,2)C．(2,3)   D．(2,4)B　[因為f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零點在區(qū)間(0,2)內．]5．(多選題)已知函數f(x)在區(qū)間(0，a)上有唯一的零點(a>0)，在用二分法尋找零點的過程中，依次確定了零點所在的區(qū)間為，，，則下列說法中錯誤的是(　　)A．函數f(x)在區(qū)間內一定有零點B．函數f(x)在區(qū)間或內一定有零點C．函數f(x)在內無零點D．函數f(x)在區(qū)間或內有零點，或零點是ABC　[由已知及二分法求函數零點的原理，可知，f(0)·f <0，又的中點為，∴下一步可能f(0)·f <0，或f ·f <0或f ＝0，故D正確．]二、填空題6．函數f(x)＝x2＋ax＋b有零點，但不能用二分法求出，則a，b的關系是________．a2＝4b　[∵函數f(x)＝x2＋ax＋b有零點，但不能用二分法，∴函數f(x)＝x2＋ax＋b圖象與x軸有且僅有一個交點．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.]7．為了求函數f(x)＝2x＋3x－7的一個零點，某同學利用計算器得到自變量x和函數f(x)的部分對應值，如下表所示：x1.251.312 51.3751.437 51.51.562 5f(x)－0.871 6－0.578 8－0.281 30.210 10.328 430.641 15則方程2x＋3x＝7的近似解(精確到0.1)可取________．1.4　[由題表知f(1.375)·f(1.437 5)<0，且1.437 5和1.375精確到0.1均為1.4，所以方程的一個近似解可取為1.4.]8．二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6可以判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在的區(qū)間是________．(－3，－1)和(2,4)　[由表格可得二次函數f(x)的對稱軸為x＝，a>0.由f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0，可得f(x)的零點所在區(qū)間為(－3，－1)和(2,4)，即方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在的區(qū)間是(－3，－1)和(2,4)．]三、解答題9．確定函數f(x)＝x＋x－4的零點所在的區(qū)間．[解]　設y1＝x，y2＝4－x，則f(x)的零點個數即y1與y2的交點個數，作出兩函數圖象，如圖：由圖知，y1與y2在區(qū)間(0,1)內有一個交點，當x＝4時，y1＝－2，y2＝0，所以f(4)＜0，當x＝8時，y1＝－3，y2＝－4，所以f(8)＝1＞0，所以在(4,8)內兩曲線又有一個交點．故函數f(x)的兩零點所在的區(qū)間為(0,1)，(4,8)．10．利用計算器，求方程x2－6x＋7＝0的近似解．(精確到0.1)[解]　設f(x)＝x2－6x＋7，通過觀察函數的圖象(圖略)得：f(1)＝2＞0，f(2)＝－1＜0，∴方程x2－6x＋7＝0有一根在(1,2)內，設為x1，∵f(1.5)＝0.25＞0，∴1.5＜x1＜2，又∵f ＝f(1.75)＝－0.437 5＜0，∴1.5＜x1＜1.75，如此繼續(xù)下去，得：f(1)·f(2)＜0?x1∈(1,2)，f(1.5)·f(2)＜0?x1∈(1.5,2)，f(1.5)·f(1.75)<0?x1∈(1.5,1.75)，f(1.5)·f(1.625)＜0?x1∈(1.5,1.625)，f(1.562 5)·f(1.625)<0?x1∈(1.562 5,1.625)．因為1.562 5,1.625精確到0.1的近似值都為1.6，所以方程x2－6x＋7＝0的一個近似解為1.6，用同樣的方法，可求得方程的另一個近似解為4.4.1．(多選題)下列函數中，不能用二分法求函數零點的是(　　)A．f(x)＝|x|   B．f(x)＝x2－2x＋1C．f(x)＝log3x   D．f(x)＝ex－2AB　[f(x)＝|x|存在零點0，但當x>0時f(x)>0，x<0時，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函數值非負，即f(x)＝|x|有零點，但零點兩側函數值同號，不能用二分法求零點的近似值，同理f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，所以f(1)＝0, 當x<1時，f(x)>0；當x>1時，f(x)>0，在零點兩側函數值同號，不能用二分法求零點，故選AB.]2．已知函數f(x)＝loga x＋x－b(a>0，且a≠1)．當2<a<3<b<4時，函數f(x)的零點x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝(　　)A．1   B．2C．3   D．4B　[∵2<a<3，∴f(x)＝loga x＋x－b為定義域上的增函數．f(2)＝loga 2＋2－b，f(3)＝loga 3＋3－b.∵2<a<3<b，∴lg 2<lg a<lg 3，∴<<1.又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，∴loga 2＋2－b<0，即f(2)<0.∵1<<，3<b<4，∴－1<3－b<0，∴loga 3＋3－b>0，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2.]3．用二分法求函數f(x)＝ln x＋2x－6在區(qū)間(2,3)內的零點近似值，至少經過________次二分后精確度達到0.1.4　[開區(qū)間(2,3)的長度等于1，每經過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，經過n次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?/span>，故有≤0.1，即2n≥10.則n≥4，所以至少需要操作4次．]4．用“二分法”求2x＋log2x－4＝0在區(qū)間(1,3)內的根．如果取區(qū)間的中點為x0＝2，那么下一個有根的區(qū)間是________．(1,2)　[令f(x)＝2x＋log2x－4，則f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，由零點存在定理知，f(x)在區(qū)間(1,2)內至少存在一個零點．所以，下一個有根的區(qū)間是(1,2)．]證明：方程6－3x＝2x在區(qū)間(1,2)內有唯一一個實數解，并求出該實數解．(精確到0.1)[解]　分別畫出函數y＝2x和y＝6－3x的圖象，如圖所示：在兩個函數圖象的交點處，函數值相等，因此，這個點的橫坐標就是方程6－3x＝2x的解．由函數y＝2x和y＝6－3x的圖象可以發(fā)現，方程6－3x＝2x有唯一解，記為x1，并且這個解在區(qū)間(1,2)上．設f(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次計算，得：f(1)<0，f(2)>0?x1∈(1,2)，f(1)<0，f(1.5)>0?x1∈(1,1.5)，f(1)<0，f(1.25)>0?x1∈(1,1.25)，f(1.125)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.125,1.25)，f(1.187 5)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.187 5,1.25)，f(1.218 75)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.218 75，1.25)，f(1.218 75)<0，f(1.234 375)>0?x1∈(1.218 75，1.234 375)．因為1.218 75與1.234 375精確到0.1的近似值都為1.2，所以原方程的近似解為1.2.  

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8.1 二分法與求方程近似解

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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