課后素養(yǎng)落實(四十三) 幾個函數(shù)模型的比較 (建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(多選題)當a>1時，其中正確的結論是(　　)A．指數(shù)函數(shù)y＝ax，當a越大時，其函數(shù)值的增長越快B．指數(shù)函數(shù)y＝ax，當a越小時，其函數(shù)值的增長越快C．對數(shù)函數(shù)y＝logax，當a越大時，其函數(shù)值的增長越快D．對數(shù)函數(shù)y＝logax，當a越小時，其函數(shù)值的增長越快AD　[結合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象可知AD正確．]2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當2<x<4時，有(　　)A．y1>y2>y3　　　　　　B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2  D．y2>y3>y1B　[在同一平面直角坐標系內畫出這三個函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)內，從上到下圖象依次對應的函數(shù)為y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]3．某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y(萬公頃)關于年數(shù)x(年)的函數(shù)關系較為近似的是(　　)A．y＝0.2x   B．y＝(x2＋2x)C．y＝   D．y＝0.2＋log16xC　[將x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分別代入驗算可知較為近似的是y＝.]4．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DC　[小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.故選C.]5．某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是(　　)A．y＝2x－2   B．y＝xC．y＝log2x   D．y＝(x2－1)D　[法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5,3.5,4.5,6，基本上是逐漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.法二：比較四個函數(shù)值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，經檢驗易知選D.]二、填空題6．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xln x在區(qū)間(0，＋∞)上增長較快的一個是________ .y＝x2　[當x變大時，x比ln x增長要快，∴x2要比xln x增長的要快．]7．三個變量y1，y2，y3隨變量x的變化情況如表：x1.003.005.007.009.0011.00y151356251 7153 6456 655y25292452 18919 685177 149y35.006.106.616.957.207.40其中關于x呈對數(shù)函數(shù)型變化的變量是________，呈指數(shù)函數(shù)型變化的變量是________，呈冪函數(shù)型變化的變量是________．y3　y2　y1　[根據(jù)三種模型的變化特點，觀察表中數(shù)據(jù)可知，y2隨著x的增大而迅速增加，呈指數(shù)函數(shù)型變化，y3隨著x的增大而增大，但變化緩慢，呈對數(shù)函數(shù)型變化，y1相對于y2的變化要慢一些，呈冪函數(shù)型變化．]8．生活經驗告訴我們，當水注入容器(設單位時間內進水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化，在圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應________；B對應________；C對應________；D對應________．A　　　　　B　　　　C　　　  　D(1)　　　　(2)　　　(3)　 　　(4)(4)　(1)　(3)　(2)　[A容器下粗上細，水高度的變化先慢后快，故與(4)對應；B容器為球形，水高度變化為快—慢—快，應與(1)對應；C，D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應是直線型，但C容器細，D容器粗，故水高度的變化為：C容器快，與(3)對應，D容器慢，與(2)對應．]三、解答題9．函數(shù)f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的圖象如圖所示，試分別指出各曲線對應的函數(shù)，并比較三個函數(shù)的增長差異(以1，a，b，c，d，e為分界點)．[解]　由指數(shù)爆炸、對數(shù)增長、冪函數(shù)增長的差異可得曲線C1對應的函數(shù)是f(x)＝1.1x，曲線C2對應的函數(shù)是h(x)＝x，曲線C3對應的函數(shù)是g(x)＝ln x＋1.由題圖知，當x<1時，f(x)>h(x)>g(x)；當1<x<e時，f(x)>g(x)>h(x)；當e<x<a時，g(x)>f(x)>h(x)；當a<x<b時，g(x)>h(x)>f(x)；當b<x<c時，h(x)>g(x)>f(x)；當c<x<d時，h(x)>f(x)>g(x)；當x>d時，f(x)>h(x)>g(x)．10．某地西紅柿從2月1日起開始上市，通過市場調查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100 kg)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時間t(天)60100180種植成本Q(元/100 kg)11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿的種植成本Q與上市時間t的變化關系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你選取的函數(shù)，回答下列問題：(1)求西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)；(2)求最低種植成本．[解]　根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)不單調，所以Q＝at2＋bt＋c，且開口向上．(1)函數(shù)圖象的對稱軸方程為t＝－＝＝120，所以西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是120.(2)將表格中的數(shù)據(jù)代入Q＝at2＋bt＋c，得解得所以Q＝0.01t2－2.4t＋224，所以最低種植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．1．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為(　　) 　　           A　　　　B　　 　　C　　　　DD　[設該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中的圖象，故選D.]2．(多選題)某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關系的圖象如圖所示，假設其關系為指數(shù)函數(shù)，給出的下列說法正確的是(　　)A．此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2B．在第5個月時，野生水葫蘆的面積就會超過30 m2C．野生水葫蘆從4 m2蔓延到12 m2只需1.5個月D．設野生水葫蘆蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的時間分別為t1，t2，t3，則有t1＋t2＝t3ABD　[易知該指數(shù)函數(shù)的解析式為f(x)＝2x，所以A正確；當x＝5時，f(5)＝32>30，所以B正確；由f(x1)＝2x1＝4和f(x2)＝2x2＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C錯誤；設2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，則t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，則t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正確．]3．若已知16<x<20，利用圖象可判斷出x和log2x的大小關系為________．x>log2x　[作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的圖象，如圖所示：由圖象可知，在(0,4)內，x>log2x；x＝4或x＝16時，x＝log2x；在(4,16)內，x<log2x；在(16,20)內，x>log2x.]4．已知某工廠生產某種產品的月產量y與月份x滿足關系y＝a·0.5x＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產該產品分別為1萬件、1.5萬件．則此廠3月份該產品的產量為________萬件．1.75　[∵y＝a·0.5x＋b，且當x＝1時，y＝1，當x＝2時，y＝1.5，則有解得∴y＝－2×0.5x＋2.當x＝3時，y＝－2×0.125＋2＝1.75(萬件)．]某鞋廠從今年1月份開始投產，并且前四個月的產量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件．由于產品質量好，款式受歡迎，前幾個月的產品銷售情況良好．為了使推銷員在推銷產品時，接受訂單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產量．以這四個月的產品數(shù)據(jù)為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬產品的月產量y與月份x的關系，模擬函數(shù)有三個備選：①一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，③指數(shù)型函數(shù)m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)．廠里分析，產量的增加是由于工人生產熟練和理順了生產流程．廠里也暫時不準備增加設備和工人，假如你是廠長，將會采用什么辦法估計以后幾個月的產量？[解]　將已知前四個月的月產量y與月份x的關系記為A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．①對于一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)，將B，C兩點的坐標代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.所以f(1)＝1.1，與實際誤差為0.1，f(4)＝1.4，與實際誤差為0.03.②對于二次函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，將A，B，C三點的坐標代入，得解得故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，與實際誤差為0.07，③對于指數(shù)型函數(shù)m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)，將A，B，C三點的坐標代入，得解得故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，與實際誤差為0.02.比較上述3個模擬函數(shù)的優(yōu)劣，既要考慮到剩余點的誤差值最小，又要考慮生產的實際問題，比如增產的趨勢和可能性，可以認為m(x)最佳，一是誤差值最小，二是由于新建廠，開始隨著工人技術、管理效益逐漸提高，一段時間內產量明顯上升，但到一定時期后，設備不更新，那么產量必然要趨于穩(wěn)定，而m(x)恰好反映了這種趨勢，因此選用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4來估計以后幾個月的產量比較接近客觀實際．  

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