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章末綜合測(cè)評(píng)(四) 指數(shù)與對(duì)數(shù)

(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1．將eq \r(3,－2\r(2))化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其形式是( )

A．2eq \s\up12(eq \f(1,2)) B．－2eq \s\up12(eq \f(1,2))

C．2eq \s\up12(－eq \f(1,2)) D．－2eq \s\up12(－eq \f(1,2))

B [eq \r(3,－2\r(2))＝(－2eq \r(2))eq \s\up12(eq \f(1,3))＝(－2×2eq \s\up12(eq \f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,3))＝eq \s\up12(eq \f(1,3))＝－2eq \s\up12(eq \f(1,2))．故選B．]

2．若lga2 b＝c，則( )

A．a(chǎn)2b＝c B．a(chǎn)2c＝b

C．bc＝2a D．c2a＝b

B [lga2 b＝c?(a2)c＝b?a2c＝b．故選B．]

3．計(jì)算9eq \s\up12(－eq \f(3,2))的結(jié)果是( )

A．eq \f(1,27) B．18

C．36 D．eq \f(1,36)

A [9eq \s\up12(－eq \f(3,2))＝(32)eq \s\up12(－eq \f(3,2))＝3－3＝eq \f(1,27)，故選A．]

4．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，正確的是( )

A．－eq \r(x)＝(－x)eq \s\up12(eq \f(1,2)) (x≥0) B．eq \r(6,x2)＝xeq \s\up12(eq \f(1,3)) (x≤0)

C．xeq \s\up12(－eq \f(3,4))＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(3))(x>0) D．xeq \s\up12(－eq \f(1,3))＝－eq \r(3,x)(x≠0)

C [－eq \r(x)＝－xeq \s\up12(eq \f(1,2)) (x≥0)，故A錯(cuò)，eq \r(6,x2)＝－xeq \s\up12(eq \f(1,3)) (x≤0)，故B錯(cuò)，xeq \s\up12(－eq \f(1,3))＝eq \r(3,\f(1,x))(x≠0)，故D錯(cuò)，故選C．]

5．若lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，則x的值等于( )

A．1 B．0或eq \f(1,8)

C．eq \f(1,8) D．lg23

D [ 因?yàn)閘g 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝lg23．故選D．]

6．下列各式中成立的是( )

A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))eq eq \s\up12(7)＝n7meq \s\up12(eq \f(1,7)) B．eq \r(12,?－3?4)＝eq \r(3,－3)

C．eq \r(4,x3＋y3)＝(x＋y)eq \s\up12(eq \f(3,4)) D．eq \r(\r(3,9))＝eq \r(3,3)

D [eq \r(\r(3,9))＝(9eq \s\up12(eq \f(1,3)))eq \s\up12(eq \f(1,2))＝9eq \s\up12(eq \f(1,6))＝3eq \s\up12(eq \f(1,3))＝eq \r(3,3)，故選D．]

7．已知lga eq \f(1,2)＝m，lga3＝n，則am＋2n等于( )

A．3 B．eq \f(3,4)

C．9 D．eq \f(9,2)

D [由已知得am＝eq \f(1,2)，an＝3，所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝eq \f(1,2)×32＝eq \f(9,2)．故選D．]

8．已知2lga(M－2N)＝lgaM＋lgaN，則eq \f(M,N)的值為( )

A．eq \f(1,4) B．4

C．1 D．4或1

B [因?yàn)?lga(M－2N)＝lgaM＋lgaN，所以lga(M－2N)2＝lga(MN)，(M－2N)2＝MN，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(M,N)))eq \s\up12(2)－5eq \f(M,N)＋4＝0，解得eq \f(M,N)＝1(舍去)，eq \f(M,N)＝4，故選B．]

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)

9．對(duì)于下列說法，其中錯(cuò)誤說法為( )

A．零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)

B．任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式

C．以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)

D．以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)

BCD [只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N?x＝lgaN，故B錯(cuò)誤．由定義可知CD錯(cuò)誤．只有A正確．故選BCD．]

10．下列運(yùn)算正確的是( )

A．eq \r(4,a4)＝a B．lg2a2＝2lg2a

C．eq \r(3,－a3)＝－a D．(lg29)·(lg34)＝4

CD [當(dāng)a0，,x－1>0，,x－1≠1.))解得10，a≠1，b≠1)．

[解] (1)∵lg3(lg2x)＝0，∴l(xiāng)g2x＝1．∴x＝21＝2．

(2)∵lg2(lg x)＝1，∴l(xiāng)g x＝2．∴x＝102＝100．

21．(本小題滿分12分) 設(shè)M＝{0,1}，N＝{lg a,2a，a,11－a}，是否存在實(shí)數(shù)a，使M∩N＝{1}?

[解] 不存在實(shí)數(shù)a，使M∩N＝{1}．理由如下：

若lg a＝1，

則a＝10，此時(shí)11－a＝1，

從而11－a＝lg a＝1，與集合元素的互異性矛盾；

若2a＝1，則a＝0，此時(shí)lg a無意義；

若a＝1，此時(shí)lg a＝0，從而M∩N＝{0,1}，與條件不符；

若11－a＝1，則a＝10，從而lg a＝1，與集合元素的互異性矛盾．

綜上，不存在實(shí)數(shù)a，使M∩N＝{1}．

22．(本小題滿分12分)設(shè)a＝2×1 000eq \s\up12(eq \f(2,3))＋64eq \s\up12(eq \f(2,3))＋eq \r(?－2?2)．

(1)化簡(jiǎn)上式，求a的值；

(2)設(shè)集合A＝{x|x>a}，全集為R，B＝(?RA)∩N，求集合B中的元素個(gè)數(shù)．

[解] (1)原式＝2×1 000eq \s\up12(eq \f(2,3))＋64eq \s\up12(eq \f(2,3))＋2 ＝2×100＋16＋2＝218．

(2)A＝{x|x>218}，?RA＝{x|x≤218}，B＝{x|0≤x≤218，x∈N}，

所以B中元素個(gè)數(shù)為219．

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