章末復(fù)習(xí)課 一、不等式的性質(zhì)及應(yīng)用1．不等式的性質(zhì)常用來(lái)比較大小、判斷與不等式有關(guān)的命題的真假和證明不等式，防止由于考慮不全面出現(xiàn)錯(cuò)誤，有時(shí)也可結(jié)合特殊值法求解．2．通過(guò)不等式的性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)．例1　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關(guān)系是(　　)A．A≤B   B．A≥BC．A<B或A>B   D．A>B答案　B解析　∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝a2＋b2－ab＝2＋b2≥0，∴A≥B.(2)若a>b，x>y，下列不等式正確的是(　　)A．a＋x<b＋yB．ax>byC．|a|x≥|a|yD．(a－b)x<(a－b)y答案　C解析　因?yàn)楫?dāng)a≠0時(shí)，|a|>0，不等式兩邊同乘以一個(gè)大于零的數(shù)，不等號(hào)方向不變；當(dāng)a＝0時(shí)，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.反思感悟　不等式性質(zhì)的應(yīng)用方法(1)作差法比較大小的關(guān)鍵是對(duì)差式進(jìn)行變形，變形的方法一般是通分、分解因式、配方等．(2)不等式真假的判斷，要依靠其適用范圍和條件來(lái)確定，舉反例是判斷命題為假的一個(gè)好方法，用特例法驗(yàn)證時(shí)要注意，適合的不一定對(duì)，不適合的一定錯(cuò)，故特例只能否定選擇項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練1　(多選)若a>0，b>0，則使a>b成立的充要條件是(　　)A．a2>b2   B．a2b>ab2C.>   D．a＋>b＋答案　ABD解析　∵a>0，b>0，∴a2>b2?(a＋b)(a－b)>0?a>b，a2b>ab2?ab(a－b)>0?a>b，A，B選項(xiàng)正確；∵a>b>0，則－＝＝<0，∴>一定不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵a>b>0?>?a＋>b＋，D選項(xiàng)正確．二、一元二次不等式的解法1．對(duì)于實(shí)數(shù)的一元二次不等式(分式不等式)首先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式(二次項(xiàng)系數(shù)為正)，然后能分解因式的變成因式相乘的形式，從而得到不等式的解集．2．借助不等式的解法，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例2　(1)不等式4x2－4x－3≤0的解集是(　　)A.∪B.C.∪D.答案　B解析　∵4x2－4x－3≤0，∴(2x－3)(2x＋1)≤0，解得－≤x≤.(2)已知x2＋ax－a≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案　－4≤a≤0解析　由題意可得Δ＝a2＋4a≤0，解得－4≤a≤0.反思感悟　對(duì)于含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對(duì)判別式分類討論，分類要不重不漏．跟蹤訓(xùn)練2　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是，(1)求a的值；(2)求不等式>a＋5的解集．解　(1)依題意，可得ax2＋5x－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得a＝－2.(2)將a＝－2代入不等式，得>3，即－3>0，整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1，則不等式的解集為{x|－2<x<－1}． 三、基本不等式及應(yīng)用1．基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的熱點(diǎn)，主要考查命題判斷、不等式證明以及求最值問(wèn)題，特別是求最值問(wèn)題往往與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，同時(shí)在基本不等式的使用條件上設(shè)置一些問(wèn)題，實(shí)際上是考查學(xué)生恒等變形的技巧，另外，基本不等式的和與積的轉(zhuǎn)化在高考中也經(jīng)常出現(xiàn)．2．借助基本不等式的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例3　(1)若0<x<2，則x(2－x)的最大值是(　　)A．2  B.  C．1  D.答案　C解析　因?yàn)?/span>0<x<2，所以2－x>0，x(2－x)≤2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．所以x(2－x)的最大值是1.(2)已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，則的最小值是________．答案　2＋4解析　x>0，y>0，且x＋3y＝1.＝＝＝＋4≥＋4＝2＋4.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y，x＋3y＝1，即y＝＝，x＝＝時(shí)取等號(hào)．的最小值是2＋4.反思感悟　利用基本不等式求最值的關(guān)注點(diǎn)(1)注意尋求已知條件與目標(biāo)函數(shù)之間的聯(lián)系．(2)利用添項(xiàng)和拆項(xiàng)的配湊方法，使積(或和)產(chǎn)生定值．特別注意“1”的代換．跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)y＝x－4＋(x>－1)，當(dāng)x＝a時(shí)，y取得最小值b，則a＝________；b＝________.答案　2　1解析　y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，因?yàn)?/span>x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2－5＝2×3－5＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)a＝2，b＝1. 四、不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1．不等式的應(yīng)用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問(wèn)題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．2．利用不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例4　某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD，公園由長(zhǎng)方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成．已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示)．(1)若設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬的比＝x(x>1)，寫出公園ABCD所占面積S與x的關(guān)系式；(2)要使公園所占面積最小，則休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)和寬該如何設(shè)計(jì)？解　(1)設(shè)休閑區(qū)的寬B1C1為a米，則長(zhǎng)A1B1為ax米，由a2x＝4 000，得a＝.則S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·＋160＝80＋4 160(x>1)．(2)80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.當(dāng)且僅當(dāng)2＝，即x＝2.5時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)a＝40，ax＝100.所以要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1應(yīng)設(shè)計(jì)為長(zhǎng)100米，寬40米．反思感悟　解決與不等式有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)審題要準(zhǔn)，初步建模．(2)設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式．(3)根據(jù)題設(shè)構(gòu)造應(yīng)用不等式的形式并解決問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練4　甲廠以x千克/小時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100元．(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3 000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn)．解　(1)根據(jù)題意，200≥3 000?5x－14－≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)設(shè)利潤(rùn)為y元，則y＝×100×＝9×104×，故x＝6千克/小時(shí)時(shí)，ymax＝457 500元． 

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