初中數(shù)學(xué)華師大版九年級(jí)上學(xué)期 第24章 24.3.1 銳角三角函數(shù)一、單選題（共4題）1.如圖，有兩張矩形紙片ABCD和EFGH、AB=EF=2cm，BC=FG=8cm，把紙片ABCD交叉疊放在紙片EFGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點(diǎn)D與點(diǎn)G重合，當(dāng)兩張紙片交叉所成的角最小α時(shí)，tanα等于（   ）   A.                                        B.                                        C.                                        D. 2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，菱形 的頂點(diǎn) 與原點(diǎn) 重合，頂點(diǎn) 落在 軸的正半軸上，對(duì)角線 、 交于點(diǎn) ，點(diǎn) 、 恰好都在反比例函數(shù) 的圖象上，則 的值為（    ）  A.                                         B.                                         C. 2                                        D. 3.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，已知AB=m，∠BAC=∠α，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（   ）   A. ∠BDC=∠α                    B. BC=m·tanα                    C. AO=                     D. BD= 4.如圖，在 中， ，則 sinB 的值為（    ）A.                                   B.                                   C.                                   D. 二、填空題（共3題）5.如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值等于________.  6.如圖，在矩形ABCD中， ， ，H是AB的中點(diǎn)，將 沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則 ________.  7.在 Rt△ABC中， ， ，則 ________．    三、計(jì)算題（共2題）8.計(jì)算： 9.先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式（ - ）÷ 的值，其中x=4tan45°+2cos30°．    四、綜合題（共2題；共21分）10.如圖,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,-4),B(0,-4),C(1,-1)   （1）請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中,畫出線段BC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的線段B1C1：    （2）請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中,過點(diǎn)C畫一條直線CD,  將△ABC分成面積相等的兩部分,與線段AB相交于點(diǎn)D,寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)（3）若另有一點(diǎn)P(-3,-3),連接PC,則tan∠BCP= ________ 。    11.在△ABC中，∠ABC＝90°， ，M是BC上一點(diǎn)，連接AM                      （1）如圖1，若n＝1，N是AB延長線上一點(diǎn)，CN與AM垂直，求證：BM＝BN    （2）過點(diǎn)B作BP⊥AM  ， P為垂足，連接CP并延長交AB于點(diǎn)Q  ① 如圖2，若n＝1，求證： ② 如圖3，若M是BC的中點(diǎn)，直接寫出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）
答案解析部分一、單選題1. D   解：由圖形繞著點(diǎn)D選擇可知，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，α角度最小且重疊部分為平行四邊形，設(shè)BC與FD交于點(diǎn)M，如圖，   依題可得：EF=CD=2，∠F=∠C=90°，∠EMF=∠DMC=α，∴△EFM≌△DCM（AAS），∴FM=CM，EM=DM，設(shè)CM=FM=x，則DM=8-x，在Rt△ABC中，∵CM2+CD2=DM2  ， ∴x2+22=（8-x）2  ， 解得：x= ，tanα= .故答案為：D.【分析】由圖形繞著點(diǎn)D選擇可知，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，α角度最小且重疊部分為平行四邊形，設(shè)BC與FD交于點(diǎn)M，根據(jù)全等三角形的判定AAS可得△EFM≌△DCM，由全等三角形性質(zhì)得FM=CM，EM=DM，設(shè)CM=FM=x，則DM=8-x，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理列出方程，解之得CD長，再由銳角三角函數(shù)正切定義即可求得答案.2. A   解：設(shè) ， ， ∵ 點(diǎn)為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，∴ ， ， ，∴ ，把 代入 得 ，∴ ，∵四邊形 為菱形，∴ ，∴ ，解得 ，∴ ，在 中， ，∴ .故答案為：A. 【分析】設(shè) ， ，根據(jù)菱形的四邊相等得出根據(jù)菱形的性質(zhì)得出， ， ，根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，用含m,t的式子表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式得出 ，根據(jù)勾股定理建立方程求解得出,利用等量代換即可簡(jiǎn)化點(diǎn)M的坐標(biāo)，在 中，根據(jù)正切函數(shù)的定義由， 進(jìn)而即可得出 的值 。3. C   解：A.∵矩形ABCD， ∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）,∴∠BDC=∠BAC=α，故正確，A不符合題意；B.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴tanα= ，∴BC=AB·tanα=mtanα，故正確，B不符合題意；C.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴cosα= ，∴AC= = ，∴AO= AC= 故錯(cuò)誤，C符合題意；D.∵矩形ABCD，∴AC=BD，由C知AC= = ，∴BD=AC= ，故正確，D不符合題意；故答案為：C.【分析】A.由矩形性質(zhì)和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB,根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得∠BDC=∠BAC=α，故A正確；B.由矩形性質(zhì)得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)正切函數(shù)定義可得BC=AB·tanα=mtanα，故正確；C.由矩形性質(zhì)得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)余弦函數(shù)定義可得AC= = ，再由AO= AC即可求得AO長，故錯(cuò)誤；D.由矩形性質(zhì)得AC=BD，由C知AC= = ，從而可得BD長，故正確；4. D   解：過點(diǎn)A作 ，垂足為D，如圖所示． 在 中， ，；在 中， ，，．故答案為：D． 【分析】過點(diǎn)A作 ，垂足為D，如圖所示．利用解直角三角形可求出CD=1，根據(jù)勾股定理可求出AD=， 從而求出BD=CB-CD=3，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的長，利用三角函數(shù)定義可求出sinB=的值.二、填空題5. 解:過點(diǎn)P作PQ⊥AD，垂足為Q， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，∴PQ=PD?sin∠QDP= PD，∴ =BP+PQ，∴當(dāng)點(diǎn)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí) 有最小值，∴ 的最小值為 。故答案為：3 。 
【分析】過點(diǎn)P作PQ⊥AD，垂足為Q，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行得出DC//AB，根據(jù)二直線平行，同位角相等得出∠QDP=∠DAB=60°，然后根據(jù)正弦函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值，由PQ=PD?sin∠QDP表示出PQ，故 =BP+PQ，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出當(dāng)點(diǎn)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí) 有最小值，根據(jù)正切函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值得出的最小值為 。6. 解：如圖，連接PB，交CH于E， 由折疊可得，CH垂直平分BP， ，又∵H為AB的中點(diǎn)，∴ ，∴ ，∴ ， ，又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，又∵ 中， ，∴ 。故答案為： 。 【分析】如圖，連接PB，交CH于E，由折疊可得，CH垂直平分BP， ，進(jìn)而根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得出， 根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和得出 ；根據(jù)同位角相等，二直線平行得出 ，根據(jù)二直線平行同位角相等得出， 進(jìn)而根據(jù)正切函數(shù)的定義及等角的同名三角函數(shù)值相等得出結(jié)論。7. 解：在 中， ， 故答案為： ． 
【分析】根據(jù)sinA=計(jì)算即可.三、計(jì)算題8. 解：原式 =-1+3-1-6=-5【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、二次根式的性質(zhì)、0指數(shù)的意義、特殊銳角三角函數(shù)值分別化簡(jiǎn)，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序及法則即可算出答案。9. 解：原式=
=
=
=
x=
原式=
   【分析】先將分式的分子分母能分解因式的先分解因式，將括號(hào)里的分式減法進(jìn)行通分計(jì)算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，約分化簡(jiǎn)，同時(shí)將x的值進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入求值。四、綜合題10. （1）解:如圖，作出線段  標(biāo)字母B1和C1 
（2）解：畫出直線CD  寫出D(-1,-4)
（3）1   （3）連接PB， ∵B(0,-4),C(1,-1) P(-3,-3) ，
∴PB2=10，PC2=20，CB2=10，
∴PB2+BC2=PC2  ，
∴△BPC是等腰直角三角形，
∴∠PCB=45°，
∴tan∠BCP=1.
【分析】（1）先確定點(diǎn)B、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的位置，然后連接即得線段B1C1.
（2）如圖，取AB的中點(diǎn)D畫出直線CD即可，根據(jù)位置寫出D點(diǎn)坐標(biāo).
（3）連接BP，根據(jù)勾股定理的逆定理得出△BPC是等腰直角三角形，可得∠PCB=45°，從而求出tan∠BCP的值.11. （1）證明：如圖1中，延長AM交CN于點(diǎn)D
 
∵AM⊥CN，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝∠CBN=90°，
∴∠BAM＋∠AMB＝90°，∠BCN＋∠CMD＝90°，
∵∠AMB＝∠CMD，
∴∠BAM＝∠BCN，
∵
∴AB=BC
在△ABM和△CBN中

∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM＝BN．

（2）①證明：如圖2中，過點(diǎn)C作CH∥AB交BP的延長線于H．
 
∴∠ABC+∠BCH=90°
∵∠ABC=90°
∴∠BCH=∠ABC=90°
∵BP⊥AM，
∴∠BPM＝90°，
∴∠MPB＋∠AMB＝90°，∠MPB＋∠H＝90°， 
∴∠AMB＝∠H，
∵
∴AB＝BC，
在△ABM和△BCH中

∴△ABM≌△BCH（AAS）
∴BM＝CH，
∵CH∥BQ，
∴
∴
②如圖3中，過點(diǎn)C作CD∥AB交BP的延長線于D，作CE⊥BD于E．

∵點(diǎn)M時(shí)BC的中點(diǎn)
∴BC=2CM
設(shè)CM=m，則BC＝2m，
則AB＝2mn．
∵AB：BC=n
∴AB=2mn，
∵∠DCB=∠ABM=90°，∠D=∠AMB
∴△BCD∽△ABM
∴
解之：CD＝，
在Rt△BCD中，BD＝
∵m＞0，n＞0
∴BD＝
在Rt△AMB中
AM＝,
∵S△AMB=AM?BP＝AB?BM，
∴PB＝=
∵S△BCD=BD?CE＝CD?BC，
∴CE＝
∵CE⊥BD，PM⊥BD，
∴CE∥PM，
∴BM：CM=BP：PE
∵CM＝BM，
∴BP=PE
∴PE=
∵∠BPQ＝∠CPE，
∴tan∠BPQ＝tan∠CPE
在Rt△PCE中，


∴ 【分析】 （1） 如圖1中，延長AM交CN于點(diǎn)D，利用垂直的定義及余角的性質(zhì)，可證得∠BAM＝∠BCN，由n=1，可知AB=BC，再利用ASA證明△ABM≌△CBN，然后利用全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論。
（2）①證明：如圖2中，過點(diǎn)C作CH∥AB交BP的延長線于H，利用平行線的性質(zhì)，可知∠BCH=∠ABC，利用余角的性質(zhì)，可證∠AMB＝∠H，由n=1可得到AB=BC，再利用AAS證明△ABM≌△BCH，從而可得到MB=CH，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出對(duì)應(yīng)相等成比例，繼而可證得結(jié)論；②如圖3中，過點(diǎn)C作CD∥AB交BP的延長線于D，作CE⊥BD于E，利用線段中點(diǎn)的定義可知BC=2CM，設(shè)CM為m，由AB：BC=n可表示出BC、AB，再證明△BCD∽△ABM，利用相似三角形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出CD，在Rt△BCD和Rt△AMB中，利用勾股定理求出BD，AM，根據(jù)同一個(gè)直角三角形的面積相等，分別求出PB、CE，再利用平行線分線段成比例，可知BP=PE，就可得到PE的長，根據(jù)對(duì)頂角相等，可證∠BPQ＝∠CPE，然后在Rt△PCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義，可求出tan∠BPQ。                            

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