人教版14.2.1 平方差公式教案設(shè)計(jì)-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

[教學(xué)設(shè)計(jì)思路]
本節(jié)課的整個(gè)教學(xué)程序是這樣的：首先，學(xué)生通過(guò)復(fù)習(xí)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)平方差公式的計(jì)算規(guī)律，進(jìn)而產(chǎn)生應(yīng)用的愿望。通過(guò)對(duì)規(guī)律驗(yàn)證過(guò)程的體驗(yàn)，使學(xué)生進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，又應(yīng)用于實(shí)踐的道理。在公式的應(yīng)用過(guò)程中，學(xué)生們將遇到挑戰(zhàn)，轉(zhuǎn)化思想、整體化思想在這里成為解題的關(guān)鍵。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生開(kāi)始嘗試對(duì)研究的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，開(kāi)展自主探究。同時(shí)，教師適當(dāng)介入，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是把握知識(shí)的本質(zhì)——公式的結(jié)構(gòu)。在練習(xí)中采取分層測(cè)試的方式，使得不同的學(xué)生都有所收獲，有效的維護(hù)學(xué)生的求知欲與自信心?？傊?，整個(gè)教學(xué)過(guò)程圍繞著 “實(shí)踐中觀察、發(fā)現(xiàn)——產(chǎn)生猜想——驗(yàn)證猜想——獲得新知——實(shí)踐應(yīng)用” 這一過(guò)程展開(kāi)的。
一、教材分析（本課在教材中的地位、作用和意義）：
乘法公式實(shí)際是兩個(gè)特殊的多項(xiàng)式相乘及其所得的結(jié)果，由于在數(shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常用到，就把它們作為公式?！镀椒讲罟健肥窃趯W(xué)生已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘法之后，自然過(guò)渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，體現(xiàn)教材從一般到特殊的意圖，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例.教材為學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中獲得數(shù)學(xué)的思想方法、能力、素質(zhì)提供了良好的契機(jī)，對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡(jiǎn)便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡(jiǎn)、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法。因此，平方差公式在教材中有承上啟下的作用，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)感和抽象概括能力有著重要的作用，同時(shí)，在利用公式過(guò)程中，所反映出的轉(zhuǎn)化思想、整體化思想以及應(yīng)用意識(shí)，都將對(duì)學(xué)生產(chǎn)生潛移默化的影響，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著積極的作用。
因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中也具有很重要地位，是初中階段的第一個(gè)公式，也是最基本、用途最廣泛的公式之一，可以說(shuō)，它是構(gòu)建學(xué)生代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生化歸、換元、整體的數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造性。是構(gòu)建學(xué)生有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)體系并形成相應(yīng)技能的重要內(nèi)容。
二、學(xué)情分析：
1．學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的有關(guān)內(nèi)容，并經(jīng)歷了用字母表示數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，有了一定的符號(hào)感．經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期的培養(yǎng)，學(xué)生已經(jīng)具備了小組合作、交流的能力．學(xué)生剛學(xué)過(guò)多項(xiàng)式的乘法，已具備學(xué)習(xí)并運(yùn)用平方差公式的知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過(guò)創(chuàng)造問(wèn)題情境，讓學(xué)生承擔(dān)任務(wù)，在探究相應(yīng)問(wèn)題中，建立并運(yùn)用公式，從而使拓展學(xué)生知識(shí)技能結(jié)構(gòu)成為可能．通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的探究，學(xué)生已感受到多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的重要性，同時(shí)，具備了對(duì)式的運(yùn)算基礎(chǔ)“快”“準(zhǔn)”的積極心理，學(xué)生已具備學(xué)習(xí)公式的知識(shí)與技能結(jié)構(gòu)，通過(guò)新課程教學(xué)的實(shí)施，培養(yǎng)學(xué)生具有獨(dú)立探索、合作交流的習(xí)慣．
2．學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生已熟練掌握了冪的運(yùn)算和整式乘法，但在進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，常常會(huì)弄錯(cuò)某些項(xiàng)的符號(hào)及漏項(xiàng)等問(wèn)題，學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義學(xué)生的理解，當(dāng)公式中a、b是式時(shí)，要把它括號(hào)再平方。因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并運(yùn)用變式訓(xùn)練揭示公式的本質(zhì)特征，以加深學(xué)生對(duì)公式的理解．本節(jié)課關(guān)注學(xué)生對(duì)公式的探索過(guò)程，有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，讓學(xué)生經(jīng)歷“引入→形式→理解→應(yīng)用→深化公式”的知識(shí)發(fā)生過(guò)程，并有條理地表達(dá)自己的思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和符號(hào)感，真正理解公式的來(lái)源、本質(zhì)和應(yīng)用。
經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的整式學(xué)習(xí)，學(xué)生們基本上掌握了多項(xiàng)式的乘法的方法，進(jìn)一步學(xué)習(xí)它的特殊形式——公式，是激發(fā)學(xué)生求知欲的良好時(shí)機(jī)。公式的出現(xiàn)，為學(xué)生在繁瑣的運(yùn)算中辟出了一條新路。
教法與學(xué)法：
（一）教法分析
1、讓學(xué)生了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用平方差公式解決問(wèn)題.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習(xí)中，對(duì)發(fā)生的錯(cuò)誤做具體分析，加深學(xué)生對(duì)公式的理解。
2、采用啟發(fā)式、探索式教學(xué)方法,整個(gè)探究學(xué)習(xí)的過(guò)程充滿了師生之間、學(xué)生之間的交流和互動(dòng)，體現(xiàn)了教師是教學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體。以創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生的興趣；合作探究得出公式，領(lǐng)會(huì)公式的結(jié)構(gòu)特征；多媒體演示及討論理解幾何意義，達(dá)到形象直觀化的視覺(jué)效果以突破難點(diǎn)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣.同時(shí)，讓學(xué)生在公式的運(yùn)用中積累解題的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)成功的喜悅。
(二)學(xué)法分析
在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析多項(xiàng)式乘法及其結(jié)果的基礎(chǔ)上，逐步完成平方差公式的符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的互化，領(lǐng)會(huì)一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，最終能正確運(yùn)用公式，從而落實(shí)重點(diǎn)。學(xué)生積極參與、大膽猜想、自主探索和合作交流。
平方差公式教學(xué)設(shè)計(jì)
【課題】 14.2.1 平方差公式
【教材】人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)
【課時(shí)安排】 2個(gè)課時(shí).
【教學(xué)對(duì)象】八年級(jí)（上）學(xué)生.
【授課教師】湖北省赤壁市車站學(xué)校李道生
一、教學(xué)目標(biāo)
1、經(jīng)歷平方差公式的探索過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力、歸納能力；在計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能用符號(hào)表達(dá)，體驗(yàn)符號(hào)運(yùn)算對(duì)證明猜想的作用，享受數(shù)學(xué)符號(hào)表示運(yùn)算規(guī)律的簡(jiǎn)捷美，從而體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔美,培養(yǎng)他們的合情推理和歸納的能力以及在解決問(wèn)題過(guò)程中與他人合作交流的重要性.同時(shí)，讓學(xué)生在公式的運(yùn)用中積累解題的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)成功的喜悅.培養(yǎng)學(xué)生的建模思想和抽象思維能力，感受換元和化歸的思想。
2、理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征與本質(zhì)特征----形變質(zhì)不變，即“結(jié)構(gòu)特征的不變性，字母形式的可變性”；掌握平方差公式：(a+b) (a-b)＝ a2-b2，達(dá)到正用公式的水平，形成正向產(chǎn)生式：
“﹙□+△﹚﹙□– △﹚”→“□2 – △2”.
在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習(xí)中，對(duì)發(fā)生的錯(cuò)誤做具體分析，加深學(xué)生對(duì)公式的理解.通過(guò)練習(xí)滲透數(shù)學(xué)中的“整體思想”與“配湊思想”，提高同學(xué)們解決問(wèn)題的能力。 ?
3、在拼圖游戲中對(duì)平方差公式有一個(gè)直觀的幾何解釋，會(huì)用幾何圖形說(shuō)明公式的意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)際，高于實(shí)際，運(yùn)用于實(shí)際的科學(xué)價(jià)值與文化價(jià)值。
二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：經(jīng)歷探索并歸納平方差公式的過(guò)程，理解公式的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征，能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明公式及其特點(diǎn)，靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算。
難點(diǎn)：1.利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋平方差公式，從實(shí)際中抽象出字母符號(hào)式子的符號(hào)化的過(guò)程，發(fā)展觀察、歸納、概括等能力。
2.平方差公式的本質(zhì)：形變質(zhì)不變，即“結(jié)構(gòu)特征的不變性，字母形式的可變性”(強(qiáng)調(diào)平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)特征的不變性，字母形式的可變性；指出學(xué)習(xí)此公式的用途；通過(guò)問(wèn)題進(jìn)一步化解?結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性?這一難點(diǎn)，并為下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)埋下伏筆)
3.理解公式中字母的廣泛含義
(預(yù)計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)上的困難：（1）對(duì)于平方差公式（a+b）（a-b）= a2-b2，引入是為了簡(jiǎn)化多項(xiàng)式乘法，沒(méi)有這種認(rèn)識(shí)之前，學(xué)生對(duì)左右兩邊都是多項(xiàng)式的“公式”還不認(rèn)可，這會(huì)增加教學(xué)的困難.（2）數(shù)學(xué)公式都有其產(chǎn)生的背景、引入的目的、形成的過(guò)程和自身的結(jié)構(gòu)特征，這些教材上是無(wú)法一一闡述的.我們教學(xué)時(shí)往往不去刻意創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情景，營(yíng)造公式產(chǎn)生的氛圍，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷公式的探索過(guò)程，而是照本宣科，生搬硬套，過(guò)于直接的教學(xué)不利于化解難點(diǎn).（3）數(shù)學(xué)公式中字母的高度概括性、廣泛應(yīng)用性及換元思想的滲透，對(duì)八年級(jí)學(xué)生的思維水平還難適應(yīng)，（a+b）（a-b）= a2-b2；（1+2x）（1-2x）= 1-4x2；（-4a-1）（4a-1）=1-16a2 都是用平方差公式，102×98也能用平方差公式，使得習(xí)慣于機(jī)械模仿和解題程序化的學(xué)生思維受阻，造成困難.
基于以上情況，我們把教學(xué)難點(diǎn)定為：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋平方差公式，從實(shí)際中抽象出字母符號(hào)式子的符號(hào)化的過(guò)程，發(fā)展觀察、歸納、概括等能力)
關(guān)鍵：對(duì)于平方差公式的推導(dǎo)，我們可以通過(guò)教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察、?總結(jié)、猜想，然后得出結(jié)論來(lái)突破；抓住平方差公式的本質(zhì)特征，是正確應(yīng)用公式來(lái)計(jì)算的關(guān)鍵．教學(xué)方法采用“情境──探究──猜想──歸納──驗(yàn)證──應(yīng)用──拓展”的教學(xué)方法，讓學(xué)生在觀察、猜想中總結(jié)出平方差.
三、教學(xué)過(guò)程
1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題
（1）速算王比拼：智力搶答
1. 21×19 2.103×97
3. 26×24 4. 55×45 5. 32×28
大家都在筆算，但有人能一口清，快速心算出來(lái)，他是用什么方法心算的呢？
（通過(guò)“速算王的絕招”這一故事的情境創(chuàng)設(shè)，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲，順利引入新課）
2. 探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)
問(wèn)題1：這一組算式有什么共同特征，你能用統(tǒng)一的形式表示嗎？
【生】這里的兩個(gè)數(shù)相加都是整十或整百的數(shù)（21+19=40；103+97=200；26+24 =），都可以表示成兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差的形式：（20+1）（20-1）；（100+3）（100-3）；（25+1）（25-1）；（50+5）（50-5）；（30+2）（30-2）
問(wèn)題2：如果我們用字母表示這兩個(gè)數(shù)，比如用字母a，b分別表示這兩個(gè)數(shù)，那么以上各個(gè)算式，可以用字母表示成什么形式？
【生】（a+b）（a-b）
【師】這是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的形式，利用多項(xiàng)式乘法法則，大家計(jì)算一下，結(jié)果是什么形式？
【生】（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2
【師】根據(jù)上面用字母a，b表示的算式的一般形式右邊的結(jié)果，大家再回過(guò)頭來(lái)，計(jì)算上面的智力搶答題：
【生】1. 21×19=（20+1）（20-1）=202-12=399 ； 2.103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991 ；3. 26×24=（25+1）（25-1）=252-12=624 ； 4. 55×45（=50+5）（50-5）=502-52=2475 ； 5. 32×28=（30+2）（30-2）=302-22=896
3.數(shù)形結(jié)合，幾何說(shuō)理
問(wèn)題3：在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，然后把剩余的兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，你能用這兩個(gè)圖形的面積說(shuō)明（a+b）（a-b）=a2-b2的正確性嗎？
如圖：在邊長(zhǎng)為a的大正方形的一角剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形。
（1）圖中的陰影部分（即余下部分）的面積是__________
［生］剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，余下圖形的面積，即陰影部分的面積為(a2－b2).
（2）你能否將陰影部分拼成一個(gè)完整的長(zhǎng)方形圖案嗎？
［生］把剩下的圖形(即上圖陰影部分)先剪成兩個(gè)長(zhǎng)方形(沿上圖虛線剪開(kāi))，我們可以注意到，上面的大長(zhǎng)方形寬是(a－b),長(zhǎng)是a;下面的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)是(a－b),寬是b.我們可以將兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)更大長(zhǎng)方形，是由于大長(zhǎng)方形的寬和小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)都是(a－b),我們可以將這兩個(gè)邊重合，這樣就拼成了一個(gè)如圖1－24所示的圖形(陰影部分)，它的長(zhǎng)和寬分別為(a+b)，(a－b)，面積為(a+b)(a－b).
（3）比較上面兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？
［生］割補(bǔ)不改變圖形面積的大小,這兩部分面積應(yīng)該是相等的，即
(a+b)(a－b)=a2－b2.
觀察思考，發(fā)現(xiàn)新知
問(wèn)題4：觀察等式(a+b)(a－b)=a2－b2的形式，你看到了什么？
引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，可介紹觀察的方法：有序觀察，局部觀察（把握細(xì)節(jié)），整體觀察（抓住關(guān)鍵），如從左到右的順序，觀察漢字“明”，可看到日與月，它們組成漢字“明”
［生］（1）看到等式出現(xiàn)兩數(shù)和，兩數(shù)差，兩個(gè)數(shù)的平方差，兩數(shù)和乘以兩數(shù)差，及它們之間的相等關(guān)系，等式的左右兩邊都是圍繞著兩個(gè)數(shù)展開(kāi)運(yùn)算的。
（2）看到計(jì)算結(jié)果簡(jiǎn)單（四項(xiàng)差變成兩項(xiàng):(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2）。
（3）看到等式兩邊都有整齊對(duì)稱的特點(diǎn): (a+b)|(a-b)=a2|-b2
問(wèn)題5：看到等式以上特點(diǎn)，你有什么感覺(jué)與想法？
［生］（1）有一種“二”的感覺(jué)（這里是指成雙成對(duì)的意思，采取詼諧的說(shuō)法，感覺(jué)更強(qiáng)烈）；有一種“萬(wàn)變不離其宗”的感覺(jué)；有一種“生成”的感覺(jué)（對(duì)同一現(xiàn)象，不同人的感覺(jué)有時(shí)是不同的，不一定都準(zhǔn)確，但產(chǎn)生感覺(jué)是非常重要的，盡管感覺(jué)有時(shí)說(shuō)不清道不明）；有一種“好事成雙”的感覺(jué)；有一種“陰陽(yáng)合一”的感覺(jué)；有一種“并駕齊驅(qū)”的感覺(jué)。
（2）有一種“簡(jiǎn)單”的感覺(jué)。
（3）有一種”對(duì)稱美”的感覺(jué)。
［師］跟著感覺(jué)走，有感覺(jué)就會(huì)有興趣，就會(huì)思考其中的奧秘?？茖W(xué)上的許多重要發(fā)現(xiàn)，就是科學(xué)家對(duì)觀察到的現(xiàn)象產(chǎn)生強(qiáng)烈感覺(jué)而去研究發(fā)現(xiàn)的。從感性到理性，才是科學(xué)的態(tài)度。
觀察以上等式整齊對(duì)稱的特點(diǎn)，特別是運(yùn)算結(jié)果的簡(jiǎn)單性，感覺(jué)以上形式的多項(xiàng)式乘法，值得我們探索研究，總結(jié)規(guī)律。
5.剖析公式，總結(jié)規(guī)律
［師］上面，我們看到等式(a+b)(a－b)=a2－b2整齊對(duì)稱，結(jié)果（平方差）簡(jiǎn)單易記的特點(diǎn)．因此，如果我們把具有以上特殊形式的等式作為公式，熟記入心，那么以后見(jiàn)到類似特殊形式的多項(xiàng)式相乘，就可以直接運(yùn)用公式寫(xiě)出結(jié)果，不需要運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則“項(xiàng)項(xiàng)相乘”這一復(fù)雜過(guò)程了，這就是我們研究以上特殊關(guān)系的多項(xiàng)式乘法的價(jià)值所在。
上面，我們已經(jīng)看到等式(a+b)(a－b)=a2－b2的特點(diǎn)及作為公式使用的原因，為了更好的運(yùn)用此公式簡(jiǎn)化多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，我們必須剖析公式，總結(jié)規(guī)律。
（1）取名：在總結(jié)規(guī)律之前，先給它取個(gè)名稱，以便稱呼它，根據(jù)公式右邊的特點(diǎn)，我們給它取名“平方差公式”。
(a+b)(a－b)=a2－b2
（2）你能用文字語(yǔ)言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？
［生］兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.
(提供充分的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述公式，教師巡回引導(dǎo)，并集思廣益。從而提高學(xué)生觀察歸納、語(yǔ)言表達(dá)、合作交流等能力，平方差公式浮出水面，培養(yǎng)了學(xué)生的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化能力，推理能力)
質(zhì)疑：根據(jù)上面的文字語(yǔ)言，我們還可寫(xiě)出下面的式子，(a+b)(a-b)=b2-a2 ， b2-a2也是這兩個(gè)數(shù)a,b的平方差，如此看來(lái)書(shū)上的文字語(yǔ)言有不嚴(yán)密之嫌。
敢于懷疑，向權(quán)威挑戰(zhàn)，才能有所發(fā)現(xiàn)有所創(chuàng)造。
［師］我們?cè)鯓永斫馕淖终Z(yǔ)言，才不會(huì)產(chǎn)生歧義呢？
自圓其說(shuō)：兩個(gè)“這”，前一個(gè)“這”是指（a-b），不是（b-a），說(shuō)明“這”暗含有“順序”的意思，由前面兩個(gè)數(shù)排列順序，（→）a + b，（→）a - b，可知，后面“這”兩個(gè)數(shù)的平方差就是（→）a 2 - b2了。（注意這里只是自圓其說(shuō)，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，課本上的文字語(yǔ)言是有漏洞的，文字語(yǔ)言的準(zhǔn)確性應(yīng)脫離外在形式獨(dú)立存在的）
［師］我們?cè)倏匆幌缕椒讲罟降淖兪剑?b+a)(a-b)=a2-b2，可見(jiàn)：平方差的順序是按兩數(shù)差的順序排列的,不是按兩數(shù)和順序排列的。
怎樣表述平方差公式，才準(zhǔn)確無(wú)誤，不會(huì)產(chǎn)生歧義呢？
［生］兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于前面被減數(shù)與減數(shù)的平方差
6.牢記結(jié)構(gòu)，套用公式
由前面的分析可看出，運(yùn)用公式，關(guān)鍵是找出兩個(gè)數(shù)a,b。注意先后順序(a是被減數(shù)，b是減數(shù)），為此，首先看公式是否是標(biāo)準(zhǔn)形式，不是標(biāo)準(zhǔn)形式要化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再找出兩數(shù)a,b.
例1：運(yùn)用平方差公式計(jì)算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ;
⑵ (b+2a)(2a-b);
(3) (-x+2y)(-x-2y).
分析：用公式的關(guān)鍵是找出兩個(gè)數(shù)a與b，化為標(biāo)準(zhǔn)形式，是準(zhǔn)確尋找a，b兩個(gè)數(shù)的前提。
（b+2a）（2a-b）
=（2a+b）（2a- b）
=(2a)2-b2
=4a2-b2
例2 計(jì)算：
⑴ 102 ×98;
⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
例2讓學(xué)生明白用平方差公式計(jì)算數(shù)字問(wèn)題的簡(jiǎn)潔性和符合公式特征的才能用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算，其余的仍然按乘法法則進(jìn)行。準(zhǔn)確運(yùn)用公式的重點(diǎn)得以實(shí)現(xiàn)。
7.平方差公式的再認(rèn)識(shí)
（1）從算術(shù)的角度認(rèn)識(shí)平方差公式
從平方差公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式(a+b)(a－b)=a2－b2及文字語(yǔ)言“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差”，我們知道，平方差公式由三部分組成：“(a+b)兩個(gè)數(shù)的和，(a－b)兩個(gè)數(shù)的差，a2－b2兩個(gè)數(shù)的平方差”，文字語(yǔ)言里出現(xiàn)的“和”與“差”，指的是算術(shù)運(yùn)算（加法或減法運(yùn)算）的結(jié)果，顯然，這是從小學(xué)算術(shù)的角度認(rèn)識(shí)平方差公式的（前面我們看到的及總結(jié)的規(guī)律都是從算術(shù)角度理解的）
（2）從代數(shù)的角度認(rèn)識(shí)平方差公式
進(jìn)入初中，我們知道，加法與減法可統(tǒng)一成加法，每一個(gè)數(shù)都包括前面的符號(hào)，（a+b）可看成a與b的和，（a-b）可看成a與-b的和，即把（a+b）與（a-b）看成兩個(gè)二項(xiàng)式。于是“兩數(shù)和×兩數(shù)差”，可看作“兩個(gè)二項(xiàng)式相乘”
這樣，從代數(shù)的角度看待平方差公式，我們可以看到平方差公式具有兩大的特征：
?結(jié)構(gòu)特征：
（a）左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；在兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同（a與a），另一項(xiàng)互為相反數(shù)（b與-b）；.（判斷依據(jù)）
（b）右邊為相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方（a2-b2）。（計(jì)算依據(jù)）
?本質(zhì)特征：
結(jié)構(gòu)特征的不變性，字母形式的可變性（公式中的a，b可以表示數(shù)，也可表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）
（通過(guò)觀察平方差公式，體驗(yàn)公式的簡(jiǎn)潔性并通過(guò)分析公式的本質(zhì)特征掌握公式．在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，能突破公式字面意義的局限性，建立起較高層次的有意義條件反射，而不是機(jī)械的記憶公式，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果）
平方差公式的特征形式：
相同項(xiàng)
相反項(xiàng)
相同項(xiàng)2-相反項(xiàng)2
(a+b)(a-b) = a2-b2
（3）揭示本質(zhì)，活用公式
練習(xí)：下列各式都能用平方差公式嗎?
（1）（2b+a）（a-2b）（）
（2）（m-n）(-m-n) （）
( 3 ) (x+y)(-x-y) ( )
( 4 ) (3b+2a)(2a-3b)( )
能否用平方差公式，你有什么更快更好的判斷方法嗎？
判斷依據(jù)----兩個(gè)二項(xiàng)式中：兩項(xiàng)相等，兩項(xiàng)互為相反數(shù)，牢牢抓住平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，則可快速判斷兩個(gè)二項(xiàng)式相乘能否運(yùn)用平方差公式。這組練習(xí)主要是要考察學(xué)生有沒(méi)有掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征。
想一想，判斷下列計(jì)算對(duì)不對(duì)，如果不對(duì)應(yīng)怎樣改正？
（1）、(x + 6 )(x–6 )=x2-6
（2）、(2a2+b2)( 2a2–b2)=2a4–b4
（3）、(-5a-2b)( 5a–2b )=( 5a)2-(2b)2=25a2-4b2
（4）、(1+3x)( -1–3x)=1-(3x)2=1-9x2
對(duì)左邊能否用平方差公式，可以根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷，右邊平方差這個(gè)結(jié)果，誰(shuí)作被減數(shù),誰(shuí)作減數(shù),你還有什么辦法確定？
計(jì)算依據(jù)----相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方，公式的結(jié)構(gòu)特征被突破，是運(yùn)用平方差公式的重點(diǎn)所在。
通過(guò)做題學(xué)生歸納出平方差公式的運(yùn)用技巧：
①兩個(gè)括號(hào)內(nèi)其中一組相同字母的符號(hào)相同，另一組相同字母的符號(hào)相反才能運(yùn)用平方差公式；
②運(yùn)用平方差公式的結(jié)果等于符號(hào)相同的字母的平方減去符號(hào)相反的字母平方．
（這組練習(xí)主要是要考察學(xué)生有沒(méi)有掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)，尋找相同的a與a，相反的b與-b，學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式必須具備的條件，鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會(huì)字母a、b可以是數(shù)，也可以是式，加深對(duì)字母含義廣泛性的理解）
(4)深化認(rèn)識(shí)，變用公式：
計(jì)算：
(1)(3x＋1)(9x2＋1)(3x－1)；
(2)(2x－y)(y＋2x)－4(y－x)(－x－y)；
(3)20162－2015×2017.
(5)拓展應(yīng)用，強(qiáng)化思維
表面上看，平方差公式僅適用于兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的情況，實(shí)際上，對(duì)兩個(gè)三項(xiàng)式（或四項(xiàng)式……）相乘的情況，可按相同項(xiàng)、相反項(xiàng)分組添括號(hào)的方法，轉(zhuǎn)化為平方差公式的特征形式進(jìn)行計(jì)算。如
同
(－y+x－z)(x+z－y)=[(x－y)－z][(x－y)+z]=(x－y)2－z2=……
實(shí)際上，我們可省去中間一步“[(x－y)－z][(x－y)+z]”，直接由:同2 = (x－y)2，反2 = z 2 ,寫(xiě)出結(jié)果“同2－反2 = (x－y)2－z2 ”。
同
反
(x－y+6)(－x－y－2)=(x－y+2+4)(－x－y+2－4)=(－y+2)2－(x+4)2
這里巧在將6寫(xiě)成 2+4，將－2寫(xiě)成 2－4。
計(jì)算 3(22+1)(24+1)
解：原式=(2+1)(22+1)(24+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)
=(22－1)(22+1)(24+1)=(24－1)(24+1)
=28－1
本題巧在數(shù)的變形，3=2+1，1=2－1，并注意到一同任何數(shù)相乘都得原數(shù)。
采用達(dá)成訓(xùn)練、變式訓(xùn)練、延伸訓(xùn)練等方式進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，即可舉一反三、融會(huì)貫通。
可見(jiàn)，從平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式及各種變式中抽象出反映公式本質(zhì)特征的應(yīng)用模式，不為外在形式所迷惑，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，走向公式應(yīng)用的自由王國(guó)。
（教學(xué)效果表明，采用“淡化標(biāo)準(zhǔn)形式，注重公式實(shí)質(zhì)”設(shè)計(jì)教學(xué)程序，可一步到位，不留任何后遺癥。
總之，按照“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”的觀點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)程序，將大大改變教學(xué)現(xiàn)狀，極大地提供課堂教學(xué)效益）
8.歸納反思，概括小結(jié)
1、本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？
2、平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式與特征形式是什么？
3、如何運(yùn)用平方差公式？應(yīng)用平方差公式時(shí)要注意什么？
①平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式
(a+b)(a-b)=a2-b2
（算術(shù)形式）
兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于這兩數(shù)的平方差。
（算術(shù)語(yǔ)言----算術(shù)特征）
上面是平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式及文字語(yǔ)言，注重了公式應(yīng)用的順序性這一非公式的本質(zhì)特征，造成公式應(yīng)用的程序化與機(jī)械化。
當(dāng)然，作為平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式，帶給我們美的感受，給我們提供一種程序化的思維方法
②平方差公式的特征形式
相同項(xiàng)
相反項(xiàng)
相同項(xiàng)2-相反項(xiàng)2
(a+b)(a-b) = a2-b2
（代數(shù)形式）
“一項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，另一項(xiàng)對(duì)應(yīng)相反的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，等于相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差”。
（代數(shù)語(yǔ)言----代數(shù)特征）
按此本質(zhì)特征運(yùn)用平方差公式，就用不著調(diào)整二項(xiàng)式的順序及項(xiàng)的位置（這一公式的非本質(zhì)特征），變找兩數(shù)和與兩數(shù)差為找相同項(xiàng)與相反項(xiàng)，結(jié)果為相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。
?公式運(yùn)用方法：
方法一：找兩個(gè)數(shù)a（被減數(shù)），b（減數(shù)） -----先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再找a，b 兩數(shù)（注重形式---標(biāo)準(zhǔn)形式）。（慢）
方法二：找相同項(xiàng)（a，a），相反項(xiàng)（b，-b） -----不用化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接找a，b 兩數(shù)（注重實(shí)質(zhì)----特征形式）。（快）
最佳方法：方法二------一目了然，直接快速，簡(jiǎn)潔方便。
(淡化形式，注重實(shí)質(zhì)------方法由死變活，由慢變快)
9.作業(yè)：1.課本第（1）（3）（5）題
2.計(jì)算：1234567 ×1234569－12345682
板書(shū)設(shè)計(jì)
平方差公式
(a+b)(a-b) = a2-b2 算術(shù)形式--標(biāo)準(zhǔn)形式
兩數(shù)和×這兩數(shù)差這兩數(shù)平方差
(a+b)(a-b) = a2-b2 代數(shù)形式--特征形式
相同項(xiàng)
相同項(xiàng)2-相反項(xiàng)2
（相同項(xiàng)之積+相反項(xiàng)之積
相反項(xiàng)
公式運(yùn)用方法：
方法一：找兩個(gè)數(shù)a（被減數(shù)），b（減數(shù)） -----先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再找a，b 兩數(shù)（注重形式---標(biāo)準(zhǔn)形式）。（慢）
方法二：找相同項(xiàng)（a，a），相反項(xiàng)（b，-b） -----不用化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接找a，b 兩數(shù)（注重實(shí)質(zhì)----特征形式）。（快）
最佳方法：方法二------一目了然，直接快速，簡(jiǎn)潔方便。

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