14．3.2　公式法第1課時　運用平方差公式因式分解
1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特點．(重點)2．掌握運用平方差公式分解因式的方法，能正確運用平方差公式把多項式分解因式．(難點)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境導入1．同學們，你能很快知道992－1是100的倍數(shù)嗎？你是怎么想出來的？請與大家交流．2．你能將a2－b2分解因式嗎？你是如何思考的？ 二、合作探究探究點：運用平方差公式分解因式【類型一】 判定能否利用平方差公式分解因式 下列多項式中能用平方差公式分解因式的是(　　)A．a2＋(－b)2  B．5m2－20mnC．－x2－y2  D．－x2＋9解析：A中a2＋(－b)2符號相同，不能用平方差公式分解因式，錯誤；B中5m2－20mn兩項都不是平方項，不能用平方差公式分解因式，錯誤；C中－x2－y2符號相同，不能用平方差公式分解因式，錯誤；D中－x2＋9＝－x2＋32，兩項符號相反，能用平方差公式分解因式，正確．故選D.方法總結(jié)：能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反． 【類型二】 利用平方差公式分解因式 分解因式：(1)a4－b4；(2)x3y2－xy4.解析：(1)a4－b4可以寫成(a2)2－(b2)2的形式，這樣可以用平方差公式進行分解因式，而其中有一個因式a2－b2仍可以繼續(xù)用平方差公式分解因式；(2)x3y2－xy4有公因式xy2，應(yīng)先提公因式再進一步分解因式．解：(1)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b)；(2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)．方法總結(jié)：分解因式前應(yīng)先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止． 【類型三】 底數(shù)為多項式或單項式時，運用平方差公式分解因式 分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.解析：將原式轉(zhuǎn)化為兩個式子的平方差的形式后，運用平方差公式分解因式．解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．方法總結(jié)：在平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中，a和b可以代表單項式、多項式或單獨一個數(shù)． 【類型四】 利用因式分解整體代換求值 已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．解析：已知第一個等式左邊利用平方差公式化簡，將x＋y的值代入計算即可求出x－y的值．解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2.方法總結(jié)：有時給出的條件不是字母的具體值，就需要先進行化簡，求出字母的值，但有時很難或者根本就求不出字母的值，根據(jù)題目特點，將一個代數(shù)式的值整體代入可使運算簡便． 【類型五】 利用因式分解解決整除問題 248－1可以被60和70之間某兩個自然數(shù)整除，求這兩個數(shù)．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范圍內(nèi)的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴這兩個數(shù)是65和63.方法總結(jié)：解決整除的基本思路就是將代數(shù)式化為整式乘積的形式，然后分析被哪些數(shù)或式子整除． 【類型六】 利用平方差公式進行簡便運算 利用因式分解計算：(1)1012－992；(2)5722×－4282×.解析：(1)根據(jù)平方差公式進行計算即可；(2)先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進行計算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36000.方法總結(jié)：一些比較復(fù)雜的計算，如果通過變形轉(zhuǎn)化為平方差公式的形式，則可以使運算簡便． 【類型七】 在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式 在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式．(1)x2－5；(2)x3－2x.解析：(1)直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式x，然后利用平方差公式進行二次分解，即可求得答案．解：(1)x2－5＝(x＋)(x－)；(2)x3－2x＝x(x2－2)＝x(x＋)(x－)．方法總結(jié)：注意因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解的結(jié)果可以出現(xiàn)無理數(shù)． 【類型八】 因式分解的實際應(yīng)用 如圖，100個正方形由小到大套在一起，從外向里相間畫上陰影，最里面一個小正方形沒有畫陰影，最外面一層畫陰影，最外面的正方形的邊長為100cm，向里依次為99cm，98cm，…，1cm，那么在這個圖形中，所有畫陰影部分的面積和是多少？解析：相鄰兩正方形面積的差表示一塊陰影部分的面積，而正方形的面積是邊長的平方，所以能用平方差公式進行因式分解．解：每一塊陰影的面積可以表示成相鄰正方形的面積的差，而正方形的面積是其邊長的平方，這樣就可以逆用平方差公式計算了．則S陰影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有陰影部分的面積和是5050cm2.方法總結(jié)：首先應(yīng)找出圖形中哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題． 三、板書設(shè)計運用平方差公式因式分解1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特點：能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反． 運用平方差公式因式分解，首先應(yīng)注意每個公式的特征．分析多項式的次數(shù)和項數(shù)，然后再確定公式．如果多項式是二項式，通?？紤]應(yīng)用平方差公式；如果多項式中有公因式可提，應(yīng)先提取公因式，而且還要“提”得徹底，最后應(yīng)注意兩點：一是每個因式要化簡，二是分解因式時，每個因式都要分解徹底．

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14.2.1 平方差公式

版本： 人教版

年級： 八年級上冊

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