1、離散型隨機變量的數學期望
數學期望是反映離散型隨機變量的平均水平
3、如果隨機變量X服從兩點分布為
問題1.甲、乙兩個工人生產同一產品，在相同的條件下，他們生產100件產品所出的不合格品數分別用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：
如何比較甲、乙兩個工人的技術？
E(X1)＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7
E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7
E(X1)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6
如何評價這兩名同學的射擊水平？
E(X)= 8 ;E(Y)=8
因為兩個均值相等，所以均值不能區(qū)分這兩名同學的射擊水平。
問題2：從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽。根據以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數X和Y的分布列如下表1和表2所示：
射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數的離散程度，圖一和圖二分別是X和Y的概率分布圖：
發(fā)現乙同學的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學的設計成績更穩(wěn)定。
怎樣定量到留離散型隨機變量取值的離散程度?
我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數據的離散程度,它是通過計算所有數據與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現的,一個自然的想法是,隨機變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?
某人射擊10次，所得環(huán)數分別是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數是多少？
某人射擊10次,所得環(huán)數分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則這組數據的方差是多少？
反映這組數據相對于平均值的集中程度的量
離散型隨機變量取值的方差
一般地，若離散型隨機變量X的概率分布列為：
為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X).
為隨機變量X的標準差。
它們都是反映離散型隨機變量偏離于均值的平均程度的量，它們的值越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度，方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散。
因此，問題1中兩名同學射擊成績的方差和標準差來刻畫它們成績的穩(wěn)定性。
兩名同學射擊成績的方差和標準差分別為:
問題3：方差的計算可以簡化嗎？
1、已知隨機變量X的分布列
求D(X)和σ(X)。
問題4：離散型隨機變量X加上一個常數，方差會有怎樣變化？離散型隨機變量X乘以一個常數，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質有什么不同？
離散型隨機變量X加上一個常數b，僅僅使X的值產生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即
D(X+b)= D(X)
而離散型隨機變量X乘以一個常數a,其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即
D(aX)=a2D(X)
D(aX+b)=a2D(X)
例1：拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數X的方差。
例2：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表二所示：
（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風險較高？
解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為 E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1, E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1. 因為E(X)>E(Y),所以投資股票A的期望收益較大。
解：（2)股票A和股票B投資收益的方差分別為 D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29, D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以資股票A比投資股票B的風險高。
例3.甲、乙兩個工人生產同一產品，在相同的條件下，他們生產100件產品所出的不合格品數分別用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：
E(X1)＝0.6×0＋0.2×1＋0.1×2＋0.1×3＝0.7
E(X2)＝0.5×0＋0.3×1＋0.2×2＋0×3＝0.7
D(X1)＝0.6×(0-0.7)2＋0.2×(1-0.7)2＋0.1×(2-0.7)2＋0.1×(3-0.7)2＝1.01
D(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2＋0×(3-0.7)2＝0.61
例2:甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數X1, X2分布列如下：
用擊中環(huán)數的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平.
表明甲、乙射擊的平均水平沒有差別，在多次射擊中平均得分差別不會很大，但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定，多數得分在9環(huán)，而乙得分比較分散，近似平均分布在8－10環(huán)。
問題1：如果你是教練,你會派誰參加比賽呢?
問題2：如果其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？
問題3：如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？
練習：有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：
根據工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？
在兩個單位工資的數學期望相等的情況下，如果認為自己能力很強，應選擇工資方差大的單位，即乙單位；如果認為自己能力不強，就應選擇工資方差小的單位，即甲單位。
1．給出下列四個命題：①離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度．則正確命題應該是(　　)A．①④　B．②③C．①② D．③④
2．把下面X的分布列填寫完整：并完成問題其中p∈(0,1)，則E(X)＝________，D(X)＝________.
解析：而由已知分布列的性質有p＋x＝1，x=1-p E(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p，∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).答案：　1-p p 　p(1-p)

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7.3 離散型隨機變量的數字特征

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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