【新教材】4.5.3 函數(shù)模型的應用（人教A版）本節(jié)通過一些函數(shù)模型的實例，讓學生感受建立函數(shù)模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學和其他學科中的廣泛應用，進一步認識到函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，能初步運用函數(shù)思想解決一些生活中的簡單問題。課程目標1.能利用已知函數(shù)模型求解實際問題.2.能自建確定性函數(shù)模型解決實際問題.數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：建立函數(shù)模型,把實際應用問題轉化為數(shù)學問題；2.邏輯推理：通過數(shù)據(jù)分析，確定合適的函數(shù)模型；3.數(shù)學運算：解答數(shù)學問題,求得結果；4.數(shù)據(jù)分析：把數(shù)學結果轉譯成具體問題的結論,做出解答；5.數(shù)學建模：借助函數(shù)模型，利用函數(shù)的思想解決現(xiàn)實生活中的實際問題.重點：利用函數(shù)模型解決實際問題；難點：數(shù)模型的構造與對數(shù)據(jù)的處理．教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。一、 情景導入我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學模型，不用的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來刻畫.請學生們思考：常見的函數(shù)模型都有哪些？面臨一個實際問題，該如何選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本148-150頁，思考并完成以下問題1. 常見的數(shù)學模型有哪些？其中待定系數(shù)有哪些限制條件？2. 解決實際問題的基本過程是什么？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.常見的數(shù)學模型有哪些?(1)一次函數(shù)模型:f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0);(2)反比例函數(shù)模型:f(x)=+b(k,b為常數(shù),k≠0);(3)二次函數(shù)模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0);注意:二次函數(shù)模型是高中階段應用最為廣泛的模型,在高考的應用題考查中最為常見.(4)指數(shù)函數(shù)模型:f(x)=a·bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,且b≠1);(5)對數(shù)函數(shù)模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,且a≠1);(6)冪函數(shù)模型:f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0,n≠1);(7)分段函數(shù)模型:這個模型實則是以上兩種或多種模型的綜合,因此應用也十分廣泛.2.解答函數(shù)實際應用問題時,一般要分哪四步進行?(1)審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇模型；(2)建模——將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；(3)求模——求解數(shù)學模型，得出數(shù)學模型；(4)還原——將數(shù)學結論還原為實際問題．四、典例分析、舉一反三題型一    一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應用例1 某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果,假設每箱售價不得低于50元且不得高于55元.市場調查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價格銷售,平均每天銷售90箱.價格每提高1元,平均每天少銷售3箱. ①求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關系式;②求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關系式;③當每箱蘋果的售價為多少元時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?【答案】①y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②w=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③當每箱蘋果的售價為55元時,可以獲得最大利潤,且最大利潤為1 125元.【解析】①根據(jù)題意,得y=90-3(x-50),化簡,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量×每箱銷售利潤.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③因為w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以當x<60時,w隨x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以當x=55時,w有最大值,最大值為1 125.所以當每箱蘋果的售價為55元時,可以獲得最大利潤,且最大利潤為1 125元.解題技巧：（一次、二次函數(shù)模型的應用）1.一次函數(shù)模型的應用利用一次函數(shù)求最值,常轉化為求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答時,注意系數(shù)a的正負,也可以結合函數(shù)圖象或其單調性來求最值.2.二次函數(shù)模型的應用構建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時,可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調性等方法求最值,也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應區(qū)間之間的位置關系討論求解,但一定要注意自變量的取值范圍.跟蹤訓練一1、商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價為每個20元,茶杯每個5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法:①買一個茶壺贈一個茶杯;②按總價的92%付款.某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個(不少于4個),若購買茶杯x(個),付款y(元),試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時,兩種辦法哪一種更優(yōu)惠?【答案】當4≤x<34時,y1<y2,即優(yōu)惠辦法①更省錢;當x>34時,y1>y2,優(yōu)惠辦法②更省錢.【解析】由優(yōu)惠辦法①可得函數(shù)解析式為y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).優(yōu)惠辦法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,當購買34個茶杯時,兩種優(yōu)惠辦法付款相同;當4≤x<34時,y1<y2,即優(yōu)惠辦法①更省錢;當x>34時,y1>y2,優(yōu)惠辦法②更省錢.題型二   分段函數(shù)模型的應用例2 某公司生產一種產品,每年投入固定成本0.5萬元,此外每生產100件這種產品還需要增加投資0.25萬元,經預測可知,市場對這種產品的年需求量為500件,當出售的這種產品的數(shù)量為t(單位:百件)時,銷售所得的收入約為5t-t2(萬元).(1)若該公司的年產量為x(單位:百件),試把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤表示為年產量 x的函數(shù);(2)當這種產品的年產量為多少時,當年所得利潤最大?【答案】(1)f(x)=(2)當年產量為475件時,當年所得利潤最大.【解析】　(1)當0<x≤5時,產品全部售出,當x>5時,產品只能售出500件.所以,f(x)=即f(x)=(2)當0<x≤5時,f(x)=-x2+4.75x-0.5,所以當x=4.75(百件)時,f(x)有最大值,f(x)max=10.781 25(萬元).當x>5時,f(x)<12-0.25×5=10.75(萬元).故當年產量為475件時,當年所得利潤最大.解題技巧：（分段函數(shù)模型注意事項）1.分段函數(shù)的“段”一定要分得合理,不重不漏.2.分段函數(shù)的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集.3.分段函數(shù)的值域求法:逐段求函數(shù)值的范圍,最后比較再下結論.跟蹤訓練二1.甲廠根據(jù)以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產產品x(單位:百臺),其總成本為G(x)(單位:萬元),其中固定成本為2.8萬元,并且每生產1百臺的生產成本為1萬元(總成本=固定成本+生產成本),銷售收入R(x)=                                 假定該產品產銷平衡(即生產的產品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律,請完成下列問題:(1)寫出利潤函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤=銷售收入-總成本).(2)甲廠生產多少臺新產品時,可使盈利最多?【答案】(1)f(x)=  (2)當工廠生產4百臺時,可使盈利最大為3.6萬元.【解析】解:(1)由題意得G(x)=2.8+x. ∴f(x)=R(x)-G(x)=(2)當x>5時,∵函數(shù)f(x)單調遞減,∴f(x)<8.2-5=3.2(萬元).當0≤x≤5時,函數(shù)f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,當x=4時,f(x)有最大值為3.6萬元.故當工廠生產4百臺時,可使盈利最大為3.6萬元.題型三   指數(shù)或對數(shù)函數(shù)模型的應用例3  一片森林原來的面積為a,計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,為保護生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.(1)求每年砍伐面積的百分比;(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?【答案】(1)1-.(2)到今年為止,已砍伐了5年.(3)今后最多還能砍伐15年.【解析】(1)設每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),則a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-. (2)設經過m年剩余面積為原來的,則a(1-x)m=a,即,解得m=5,故到今年為止,已砍伐了5年.(3)設從今年開始,最多還能砍伐n年,則n年后剩余面積為a(1-x)n.令a(1-x)n≥a,即(1-x)n≥,解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年. 解題技巧：（指數(shù)或對數(shù)函數(shù)模型注意事項）1.本題涉及平均增長率的問題,求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸?/span>y=N·(1+p)x(其中N為原來的基礎數(shù),p為增長率,x為時間)的形式.2.在實際問題中,有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題,都常用到指數(shù)型函數(shù)模型.跟蹤訓練三1.大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產地產卵.記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q,研究中發(fā)現(xiàn)v與log3 成正比,且當Q=900時,v=1.(1)求出v關于Q的函數(shù)解析式;(2)計算一條鮭魚的游速是1.5 m/s時耗氧量的單位數(shù);(3)一條鮭魚要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的單位數(shù)應怎樣變化?【答案】(1)v關于Q的函數(shù)解析式為v=log3.(2)一條鮭魚的游速是1.5 m/s時的耗氧量為2 700個單位.(3)鮭魚要想把游速提高1 m/s,其耗氧量單位數(shù)應變?yōu)樵瓉淼?倍.【解析】(1)設v=k·log3,∵當Q=900時,v=1,∴1=k·log3,∴k=.故v關于Q的函數(shù)解析式為v=log3. (2)令v=1.5,則1.5=log3,解得Q=2 700.故一條鮭魚的游速是1.5 m/s時的耗氧量為2 700個單位.(3)設鮭魚耗氧量為Q1,Q2時,游速分別為v1,v2,由題意知v2-v1=1,即log3log3=1.∴log3=1,∴=9,即Q2=9Q1.故鮭魚要想把游速提高1 m/s,其耗氧量單位數(shù)應變?yōu)樵瓉淼?倍.四、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計       七、作業(yè)課本155頁習題4.5.本節(jié)通過一些函數(shù)模型的實例，讓學生初步掌握運用函數(shù)與方程的思想解決實際問題的步驟：審題、建模、求模、還原．   

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