【新教材】4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用（人教A版）1.能利用已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題.2.能自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題.1.數(shù)學(xué)抽象：建立函數(shù)模型,把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；2.邏輯推理：通過數(shù)據(jù)分析，確定合適的函數(shù)模型；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：解答數(shù)學(xué)問題,求得結(jié)果；4.數(shù)據(jù)分析：把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論,做出解答；5.數(shù)學(xué)建模：借助函數(shù)模型，利用函數(shù)的思想解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題.重點(diǎn)：利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題；難點(diǎn)：數(shù)模型的構(gòu)造與對(duì)數(shù)據(jù)的處理．一、 預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本148-150頁，填寫。1.常見的數(shù)學(xué)模型有哪些?(1)一次函數(shù)模型:f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0);(2)反比例函數(shù)模型:f(x)=+b(k,b為常數(shù),k≠0);(3)二次函數(shù)模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0);注意:二次函數(shù)模型是高中階段應(yīng)用最為廣泛的模型,在高考的應(yīng)用題考查中最為常見.(4)指數(shù)函數(shù)模型:f(x)=a·bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,且b≠1);(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,且a≠1);(6)冪函數(shù)模型:f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0,n≠1);(7)分段函數(shù)模型:這個(gè)模型實(shí)則是以上兩種或多種模型的綜合,因此應(yīng)用也十分廣泛.2.解答函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題時(shí),一般要分哪四步進(jìn)行? (1)審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；(2)建模——將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模——求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；(4)還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在一次函數(shù)模型中，系數(shù)k的取值會(huì)影響函數(shù)的性質(zhì)．(　　)(2)在冪函數(shù)模型的解析式中，a的正負(fù)會(huì)影響函數(shù)的單調(diào)性．(　　)2．某自行車存車處在某一天總共存放車輛4 000輛次，存車費(fèi)為：電動(dòng)自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛．若該天普通自行車存車x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為(　　)A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)  B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)    D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)3．某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是(　　)A．y＝2x　　　　　　　　 B．y＝2x－1C．y＝2x   D．y＝2x＋14．某物體一天內(nèi)的溫度T是時(shí)間t的函數(shù)T(t)＝t3－3t＋60，時(shí)間單位是h，溫度單位為℃，t＝0時(shí)表示中午12：00，則上午8：00時(shí)的溫度為________℃.題型一    一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用例1 某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果,假設(shè)每箱售價(jià)不得低于50元且不得高于55元.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價(jià)格銷售,平均每天銷售90箱.價(jià)格每提高1元,平均每天少銷售3箱.①求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;②求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;③當(dāng)每箱蘋果的售價(jià)為多少元時(shí),可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?跟蹤訓(xùn)練一1、商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價(jià)為每個(gè)20元,茶杯每個(gè)5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法:①買一個(gè)茶壺贈(zèng)一個(gè)茶杯;②按總價(jià)的92%付款.某顧客需購買茶壺4個(gè),茶杯若干個(gè)(不少于4個(gè)),若購買茶杯x(個(gè)),付款y(元),試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時(shí),兩種辦法哪一種更優(yōu)惠? 題型二   分段函數(shù)模型的應(yīng)用例2 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年投入固定成本0.5萬元,此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬元,經(jīng)預(yù)測(cè)可知,市場(chǎng)對(duì)這種產(chǎn)品的年需求量為500件,當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位:百件)時(shí),銷售所得的收入約為5t-t2(萬元).(1)若該公司的年產(chǎn)量為x(單位:百件),試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù);(2)當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí),當(dāng)年所得利潤最大?跟蹤訓(xùn)練二1.甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品x(單位:百臺(tái)),其總成本為G(x)(單位:萬元),其中固定成本為2.8萬元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),銷售收入R(x)=                                 假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律,請(qǐng)完成下列問題:(1)寫出利潤函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤=銷售收入-總成本).(2)甲廠生產(chǎn)多少臺(tái)新產(chǎn)品時(shí),可使盈利最多?題型三   指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例3  一片森林原來的面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí),所用時(shí)間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.(1)求每年砍伐面積的百分比;(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?跟蹤訓(xùn)練三1.大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q,研究中發(fā)現(xiàn)v與log3 成正比,且當(dāng)Q=900時(shí),v=1.(1)求出v關(guān)于Q的函數(shù)解析式; (2)計(jì)算一條鮭魚的游速是1.5 m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù); (3)一條鮭魚要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的單位數(shù)應(yīng)怎樣變化?1．若等腰三角形的周長為20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為(　　)A．y＝20－2x(x≤10)   B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)   D．y＝20－2x(5＜x＜10)2．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為(　　)A．15　　　　     B．40　          C．25　　　    　 D．1303．某種動(dòng)物的數(shù)量y(單位：只)與時(shí)間x(單位：年)的函數(shù)關(guān)系式為y＝alog2(x＋1)，若這種動(dòng)物第1年有100只，則第7年它們的數(shù)量為(　　)A．300只   B．400只C．500只   D．600只4．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本(單位：萬元)為C(x)＝x2＋2x＋20.已知1萬件售價(jià)是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為(　　)A．36萬件   B．22萬件C．18萬件   D．9萬件5．某商人購貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對(duì)貨物定一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的利潤，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是______________．6．某租車公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時(shí)，可全部租出，當(dāng)每輛車的月租金每增加60元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛，租出的車每月需要維護(hù)費(fèi)160元，未租出的車每月需要維護(hù)費(fèi)40元．(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3 900元時(shí)，能租出多少輛車？(2)當(dāng)每輛車的月租金為多少元時(shí)，租車公司的月收益最大？最大月收益是多少？      答案小試牛刀1．(1)√　(2)√2．C3. D4. 8自主探究例1 【答案】①y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②w=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③當(dāng)每箱蘋果的售價(jià)為55元時(shí),可以獲得最大利潤,且最大利潤為1 125元.【解析】①根據(jù)題意,得y=90-3(x-50),化簡(jiǎn),得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因?yàn)樵撆l(fā)商平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量×每箱銷售利潤.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③因?yàn)?/span>w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以當(dāng)x<60時(shí),w隨x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以當(dāng)x=55時(shí),w有最大值,最大值為1 125.所以當(dāng)每箱蘋果的售價(jià)為55元時(shí),可以獲得最大利潤,且最大利潤為1 125元.跟蹤訓(xùn)練一1.【答案】當(dāng)4≤x<34時(shí),y1<y2,即優(yōu)惠辦法①更省錢;當(dāng)x>34時(shí),y1>y2,優(yōu)惠辦法②更省錢.【解析】由優(yōu)惠辦法①可得函數(shù)解析式為y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).優(yōu)惠辦法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,當(dāng)購買34個(gè)茶杯時(shí),兩種優(yōu)惠辦法付款相同;當(dāng)4≤x<34時(shí),y1<y2,即優(yōu)惠辦法①更省錢;當(dāng)x>34時(shí),y1>y2,優(yōu)惠辦法②更省錢.例2 【答案】(1)f(x)=(2)當(dāng)年產(chǎn)量為475件時(shí),當(dāng)年所得利潤最大.【解析】　(1)當(dāng)0<x≤5時(shí),產(chǎn)品全部售出,當(dāng)x>5時(shí),產(chǎn)品只能售出500件.所以,f(x)=即f(x)=(2)當(dāng)0<x≤5時(shí),f(x)=-x2+4.75x-0.5,所以當(dāng)x=4.75(百件)時(shí),f(x)有最大值,f(x)max=10.781 25(萬元).當(dāng)x>5時(shí),f(x)<12-0.25×5=10.75(萬元).故當(dāng)年產(chǎn)量為475件時(shí),當(dāng)年所得利潤最大.跟蹤訓(xùn)練二1.【答案】(1)f(x)=  (2)當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)時(shí),可使盈利最大為3.6萬元.【解析】解:(1)由題意得G(x)=2.8+x. ∴f(x)=R(x)-G(x)=(2)當(dāng)x>5時(shí),∵函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,∴f(x)<8.2-5=3.2(萬元).當(dāng)0≤x≤5時(shí),函數(shù)f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,當(dāng)x=4時(shí),f(x)有最大值為3.6萬元.故當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)時(shí),可使盈利最大為3.6萬元.例3  【答案】(1)1-.(2)到今年為止,已砍伐了5年.(3)今后最多還能砍伐15年.【解析】(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),則a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-.(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的,則a(1-x)m=a,即,解得m=5,故到今年為止,已砍伐了5年.(3)設(shè)從今年開始,最多還能砍伐n年,則n年后剩余面積為a(1-x)n.令a(1-x)n≥a,即(1-x)n≥,解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年.跟蹤訓(xùn)練三1.【答案】(1)v關(guān)于Q的函數(shù)解析式為v=log3.(2)一條鮭魚的游速是1.5 m/s時(shí)的耗氧量為2 700個(gè)單位.(3)鮭魚要想把游速提高1 m/s,其耗氧量單位數(shù)應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?倍.【解析】(1)設(shè)v=k·log3,∵當(dāng)Q=900時(shí),v=1,∴1=k·log3,∴k=.故v關(guān)于Q的函數(shù)解析式為v=log3.(2)令v=1.5,則1.5=log3,解得Q=2 700.故一條鮭魚的游速是1.5 m/s時(shí)的耗氧量為2 700個(gè)單位.(3)設(shè)鮭魚耗氧量為Q1,Q2時(shí),游速分別為v1,v2,由題意知v2-v1=1,即log3log3=1.∴log3=1,∴=9,即Q2=9Q1.故鮭魚要想把游速提高1 m/s,其耗氧量單位數(shù)應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?倍.當(dāng)堂檢測(cè) 1-3、DCAC 5、y＝x(x∈N*)6、【答案】（1）租出的車有15輛，一共租出了85輛． （2）最大月收益為324 560元．此時(shí)，月租金為3 000＋60×26＝4 560(元)．【解析】(1)租金增加了900元，900÷60＝15，所以未租出的車有15輛，一共租出了85輛．(2)設(shè)租金提高后有x輛未租出，則已租出(100－x)輛．租賃公司的月收益為y元，y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，其中x∈[0,100]，x∈N，整理，得y＝－60x2＋3 120x＋284 000＝－60(x－26)2＋324 560，當(dāng)x＝26時(shí)，y＝324 560，即最大月收益為324 560元．此時(shí)，月租金為3 000＋60×26＝4 560(元)．       

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