梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么．這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形．
梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點，如果，則F、D、E三點共線．

圖1 圖2
塞瓦（G·Gev1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點G，延長AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，
如圖2，則 。
注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點，而梅涅勞斯定理的特征是三點共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。
例1.如圖，在中，D為AC中點，，求證：．
例2.如圖，在中，，，AD、BE交于點，求．
例3.如圖所示，被通過它的三個頂點與三角形內(nèi)一點O的三條直線分為6個小三角形，其中三個小三角形的面積如圖所示，求的面積．
例4.已知AD是的高，點D在線段BC上，且，，作于點E，于點F，連接EF并延長，交BC的延長線于點G，求CG．
例5. 如圖所示，△ABC的三條外角平分線BE、AD、CF，與對邊所在直線交于E、D、F三點，求證：D、E、F三點共線。
例6．（2023·山西·期中聯(lián)考）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：
設(shè)，，依次是的三邊，，或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．
這個定理的證明步驟如下：
情況①：如圖1，直線交的邊于點，交邊于點，交邊的延長線與點．
過點作交于點，則，（依據(jù)），
∴，∴，即．
情況②：如圖2，直線分別交的邊，，的延長線于點，，．…
(1)情況①中的依據(jù)指： ；(2)請你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；
(3)如圖3，，分別是的邊，上的點，且，連接并延長，交的延長線于點，那么
例7．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點．若AP，BQ，CR相交于一點M，求證：．
例8. 如圖，設(shè)M為△ABC內(nèi)的一點，BM與AC交于點E，CM與AB交于點F，若AM通過BC的中點，求證：EF//BC。
例8. 如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：∠GAC=∠EAC。

例9.如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.
例10．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：
塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．
定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則．
數(shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項基本定理，具有重要的作用．
任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點D是BC邊的中點，求BF的長，并直接寫出的面積．
課后專項訓(xùn)練
1．如圖，在△ABC中，M是AC的中點，E是AB上一點，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（ ）
A．B．2C．D．
2.如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（ ）
A．B．C．D．
3．（廣東2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，，垂足為D，E為的中點，與交于點F，則的長為 ．

4．（2022年山西中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，．是邊上的中線．將沿方向平移得到．與相交于點，連接并延長，與邊相交于點．當(dāng)點為的中點時，的長為 ．

5.如圖，等邊△ABC的邊長為2，F(xiàn)為AB中點，延長BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為 ．
6.如圖，在中，AD、CE交于點F，若，，求．
7.P是平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點，過P作AD的平行線，分別交AB于E，交CD于F；又過P作AB的平行線，分別交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求證：D，P，Q三點共線．
8.（2023.湖北九年級期中）梅涅勞斯定理
梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有??＝1．
下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：
證明：如圖（2），過點A作AG∥BC，交DF的延長線于點G，則有＝．
任務(wù)：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補充完整；
（2）如圖（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點D為BC的中點，點F在AB上，且BF＝2AF，CF與AD交于點E，則AE＝ ．
9．（江蘇2022-2023學(xué)年九年級月考）如圖1，在中，D是邊上的一點，過點D的直線分別與、的延長線交于點M、N．
問題引入：若點D是的中點，，求的值；如圖2，可以過點C作，交于點P；如圖3，也可以過點A作，交延長線于點Q．
探索研究：（1）如圖4，若點D為上任意一點，求證：．
拓展應(yīng)用：（2）如圖5，P是內(nèi)任意一點，，則_______，____．
10．（2023·四川內(nèi)江·中考模擬）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點（不與點B、C重合），連結(jié)AD．
問題引入：（1）如圖①，當(dāng)點D是BC邊上的中點時，S△ABD：S△ABC= ；當(dāng)點D是BC邊上任意一點時，S△ABD：S△ABC= （用圖中已有線段表示）．
探索研究：（2）如圖②，在△ABC中，O點是線段AD上一點（不與點A、D重合），連結(jié)BO、CO，試猜想S△BOC與S△ABC之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線段之比，并說明理由．
拓展應(yīng)用：（3）如圖③，O是線段AD上一點（不與點A、D重合），連結(jié)BO并延長交AC于點F，連結(jié)CO并延長交AB于點E，試猜想的值，并說明理由．
11．（2023·重慶·八年級期中）如圖，的面積為，、分別是，上的點，且,
．連接,交于點,連接并延長交于點．則四邊形的面積為 ．
12．（2023上·河南洛陽·九年級期末）小明在網(wǎng)上學(xué)習(xí)了梅涅勞斯定理之后，編制了下面一個題，請你解答．已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC．取AB的中點F，連結(jié)FD交AC于點E．
(1)求的值；(2)若AB＝a，F(xiàn)B＝AE，求AC的長．

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