5.2.2 等差數(shù)列(2)    導(dǎo)學(xué)案 1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程.2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及性質(zhì),并能解決相應(yīng)問題.3.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1,d,n,an,Sn的關(guān)系,能夠由其中的三個(gè)求另外的兩個(gè).4.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的二次函數(shù)特征.重點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用及其函數(shù)特征難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法  一、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對前n項(xiàng)和公式的幾點(diǎn)說明(1)等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式一共涉及a1,an,Sn,n,d五個(gè)量,通常已知其中三個(gè),可求另外兩個(gè),方法就是解方程組,這也是等差數(shù)列的基本問題形式.(2)當(dāng)已知首項(xiàng)a1,末項(xiàng)an,項(xiàng)數(shù)n時(shí),用公式Sn=.用此公式時(shí),有時(shí)要結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì).(3)當(dāng)已知首項(xiàng)a1,公差d及項(xiàng)數(shù)n時(shí),用公式Sn=na1+d.二、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 由于Sn=na1+d=n2+n,當(dāng)d≠0時(shí),此公式可看作二次項(xiàng)系數(shù)為,一次項(xiàng)系數(shù)為,常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù),其圖像為拋物線y=x2+x上的點(diǎn)集,坐標(biāo)為(n,Sn)(n∈N+).因此,由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出結(jié)論:當(dāng)d>0時(shí),Sn有最小值;當(dāng)d<0時(shí),Sn有最大值.提示:(1)Sn=na1+(n-1)d可變形為Sn=dn2+n,令d=A,a1-=B,則Sn=An2+Bn(A為常數(shù)),并且有如下結(jié)論:數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).(2)=a1+(n-1),這說明是等差數(shù)列.一、    問題探究問題1.為了達(dá)到比較好的音響和觀賞效果，很多劇場的座位都是排成圓弧形的，如圖所示.        如果某公司要為一個(gè)類似的劇場定做椅子，而且劇場座位的排列規(guī)律是：第一排36個(gè)，以后每一排比前一排多6個(gè)，共有8排，你能幫這個(gè)公司算出共需要多少椅子嗎？利用這一小節(jié)我們要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式，我們可以快速地解答情景中的問題.探究1.如圖所示，建筑工地上堆放著一些鋼管，最上面一層有4根，下面每一層比上一層多放一根，共8層.（1）在不逐個(gè)相加的前提下，你能想辦法算出這些鋼管共有多少根嗎？（2）你能得出一般等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式嗎？ 探究2. 上述等差數(shù)列的前項(xiàng)求和公式與首項(xiàng)和第項(xiàng)有關(guān)，你能將其改寫成與公差有關(guān)的形式嗎？  探究3. （1）等差數(shù)列中，與的關(guān)系與以前所學(xué)過的什么函數(shù)有關(guān)？（2）如果數(shù)列{an}的前項(xiàng)和的公式是其中，A,B,C都是常數(shù)，那么{an}一定是等差數(shù)列嗎？為什么？  二、典例解析例1.已知等差數(shù)列的公差為2，且，求這個(gè)等差數(shù)列前20項(xiàng)的和.  例2.求等差數(shù)列5，12,19,26，…，201，208.的各項(xiàng)之和.  等差數(shù)列的求解策略在等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1與公差d是兩個(gè)最基本的元素,有關(guān)等差數(shù)列的問題,均可化成有關(guān)a1,d的方程或方程組求解.解題過程中,要注意:①選擇適當(dāng)?shù)墓?/span>;②合理利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S4=14,S10-S7=30,則S9=　　　　.   例3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷這個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列；（2）求的最小值，并求取最小值時(shí)的值.  解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最大(最小)值問題的常用方法有:(1)二次函數(shù)法:由于Sn=n2+n是關(guān)于n的二次式,因此可用二次函數(shù)的最值來確定Sn的最值,但要注意這里的n∈N+.(2)圖像法:可利用二次函數(shù)圖像的對稱性來確定n的值,使Sn達(dá)到最大(或最小).(3)通項(xiàng)法:由于Sn=Sn-1+an,所以當(dāng)an≥0時(shí),Sn≥Sn-1;當(dāng)an≤0時(shí),Sn≤Sn-1,因此當(dāng)a1>0,且d<0時(shí),使an≥0的最大的n的值,使Sn最大;當(dāng)a1<0,d>0時(shí),滿足an≤0的最大的n的值,使Sn最小.跟蹤訓(xùn)練2. 在等差數(shù)列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.  例4.李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲蓄” ，從8月1日開始，每個(gè)月的1日都存入1000元，共存入3年.
（1）已知當(dāng)年 “教育儲蓄”的存款月利率為2.7‰，則3年后李先生一次可支取本息共多少元？
（2）已知當(dāng)年同檔次的“零存整取” 儲蓄的月利率是1.725‰，則李先生辦理 “教育儲蓄”比 “零存整取”多收益多少元？  1.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),前n項(xiàng)和為Sn,若S4=a6,則=(　　)A. B.7 C.25 D.352.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知13a3+S13=52,則S9=(　　)A.9 B.18      C.27     D.363.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=-6,a8=6,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則(　　)A.S4<S5             B.S4=S5          C.S6<S5                D.S6=S54.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a4+a7+a10=9,S14-S3=77,則使Sn取得最小值時(shí)n的值為　　　　. 5.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a10=30,a20=50.(1)求通項(xiàng)an;(2)若Sn=242,求n. 參考答案：知識梳理學(xué)習(xí)過程一、    問題探究探究1. 問題探圖中這些鋼管，從上到下每一層的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)為 公差,而且該數(shù)列共有8項(xiàng)，第8項(xiàng)為設(shè)想在圖的鋼管旁邊再放同樣多數(shù)量的鋼管，但是倒過來放置，如圖所示.這時(shí)每一層的鋼管數(shù)是相同的，都是4+11根，因此這些鋼管的總數(shù)為.問題探設(shè)一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,根據(jù)等差數(shù)列的定義，一般等差數(shù)列前項(xiàng)的和可以用類似的方式得到，
設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,即+…+,  ①
顯然，+…+,②又因?yàn)楦鶕?jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有=…,
所以①②把兩邊分別相加，可得=),因此=探究2.因?yàn)?/span>,所以等差數(shù)列前項(xiàng)求和公式也可以改寫為= 由此可知，前述情境與問題中的椅子總數(shù)為=456.探究3. = （ ）如果記（ ）則可以看出（2）如果數(shù)列{an}的前項(xiàng)和的公式是由（1）知當(dāng)C=0時(shí)， {an}是等差數(shù)列。二、    典例解析例1.解：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得29=，由此可解得因此= =200.例2.解：可以看出，所求數(shù)列是公差為7的等差數(shù)列.設(shè)共有項(xiàng)，則208=5，解得 因此各項(xiàng)之和為=3195.跟蹤訓(xùn)練1.解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,由題意,得4a1+d=14,又=30,聯(lián)立解得a1=2,d=1,所以S9=9×2+×1=54.例3.解：（1）當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有== 又因?yàn)?/span>，所以時(shí)= 也成立，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為= 因?yàn)?/span>= 所以是等差數(shù)列.（2）（方法一）因?yàn)?/span>,又因?yàn)?/span>是正整數(shù)，所以當(dāng)或8時(shí)，最小，最小值是（方法二）由= 可知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，而且首項(xiàng)28<0令可得，解得，而且由此可知，或8時(shí)，最小，最小值是= 112.跟蹤訓(xùn)練2. 分析：本題可用二次函數(shù)求最值或由通項(xiàng)公式求n,使an≥0,an+1<0或利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出大于或等于零的項(xiàng).解:(方法一)由S17=S9,得25×17+(17-1)d=25×9+(9-1)d,解得d=-2,∴Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169,由二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)n=13時(shí),Sn有最大值169.(方法二)先求出d=-2(同方法一).∵a1=25>0,由∴當(dāng)n=13時(shí),Sn有最大值169.(方法三)先求出d=-2(同方法一).由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,又a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0.故n=13時(shí),Sn有最大值169.(方法四)先求出d=-2(同方法一),則Sn的圖像如圖所示,由S17=S9知,圖像的對稱軸n==13,故當(dāng)n=13時(shí),Sn取得最大值169.  例4.解:每1000元“教育儲蓄” 存一個(gè)月能得到的利息是第1個(gè)1000元存36個(gè)月的利息第2個(gè)1000元存35個(gè)月得利息…….第36個(gè)1000元存一個(gè)月的利息因此3年后李先生獲得利息+ +…+ =所以本息何為每1000元“零存整取” 存一個(gè)月能得到的利息是因此，若“零存整取”，3年后李先生獲得利息，+ +…+ =因此李先生多收益，元即李先生辦理 “教育儲蓄”比“零存整取” 多收益649.35元. 達(dá)標(biāo)檢測1.解析:由題意可得4a1+6d=a1+5d?-3a1=d, 所以=25.答案:C 2.解析:因?yàn)?/span>S13==13a7,所以13a3+S13=13a3+13a7=52,∴a3+a7=4,∴a5==2,∴S9==9a5=9×2=18.答案:B 3.解析:(方法一)設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d, 則有解得從而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.從而有S4=S5.(方法二)由等差數(shù)列的性質(zhì)知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,所以a5=0,從而有S4=S5.答案:B 4.答案:55.解:(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程組解得a1=12,d=2.∴an=2n+10.(2)由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242.解得n=11或n=-22(舍去). 

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5.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

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