圓的對稱性垂徑定理垂徑定理的推論
　　如圖，1 400 多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦長)是 37 m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為 7.23 m，求趙州橋主橋拱的半徑(精確到 0.1 m)．
剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？
不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎？由此你得到了什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？
通過探究可以發(fā)現(xiàn)，圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.
警示誤區(qū) 因?yàn)橹睆绞窍?，弦是線段，而對稱軸是直線，所以不能說“圓的對稱軸是直徑”.
求證：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直 線都是圓的對稱軸.
導(dǎo)引：要證明圓是軸對稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn) 關(guān)于直徑所在直線(對稱軸)的對稱點(diǎn)也在圓上.
證明：如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C,D 以外的任意一點(diǎn).過點(diǎn)A作AA′⊥CD，交⊙O于點(diǎn)A′， 垂足為M，連接OA，OA′. 在△OAA′中，∵OA=OA′, ∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD， ∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分線. 這就是說，對于圓上任意一點(diǎn)A，在圓 上都有關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A′，因此 ⊙O關(guān)于直線CD對稱.即圓是軸對稱圖形， 任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.
1 下列說法中不正確的是(　　) A．經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸 B．直徑是圓的對稱軸 C．圓的對稱軸有無數(shù)條 D．當(dāng)圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)60°時，仍會與原來的圓 重合
下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說明理由嗎？
趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有 1 400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它 的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為 37 m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23 m,求趙州 橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.
分析：解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫出幾何圖形.
如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC,D為垂足，OC與AB相交于點(diǎn)C，連接OA，根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)可知AB=37，CD=7.23，所以 AD= AB= 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3 m.
(1)“垂直于弦的直徑”中的“直徑”，還可以是垂 直于弦的半徑或過圓心垂直于弦的直線；其實(shí)質(zhì) 是：過圓心且垂直于弦的線段、直線均可．(2)垂徑定理中的弦可以為直徑．(3)垂徑定理是證線段、弧相等的重要依據(jù)．
通過垂徑定理的證明及應(yīng)用，我們還可以進(jìn)一步得到垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
如圖所示，⊙O的直徑CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝ BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的長.
解：∵圓O的直徑CD=10cm， ∴圓O的半徑為5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= OC=3cm， 連接OA，∵AB⊥CD， ∴M為AB的中點(diǎn)，即AM=BM= AB， 在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm， 根據(jù)勾股定理得：AM= 則AB=2AM=8cm．
關(guān)于垂徑定理及其推論可歸納為：一條直線，它具備以下五個性質(zhì)： 直線過圓心；(2)直線垂直于弦；(3)直線平分弦(不是直徑)；(4) 直線平分弦所對的優(yōu)弧；(5)直線平分弦所對的劣?。? 如果把其中的任意兩條作為條件，其余三條作為結(jié)論， 組成的命題都是真命題．
拓寬視野 對于圓中的一條直線，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那么一定具備其他三個：(1)過圓心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直徑)；(4)平分弦所對的劣?。?5)平分弦所對的優(yōu)弧. 簡記為“知二推三”.
如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝42°，點(diǎn)D是 弦AC 的中點(diǎn)，則∠DOC的度數(shù)是________度．

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24.1.2 垂直于弦的直徑

版本： 人教版

年級： 九年級上冊

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