1．會(huì)用描點(diǎn)法畫出y＝ax2＋k的圖象．
2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用．
3．理解二次函數(shù)y＝ax2＋k與y＝ax2之間的聯(lián)系．

一、情境導(dǎo)入
在邊長(zhǎng)為15cm的正方形鐵片中間剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為x(cm)的小正方形鐵片，剩下的四方框鐵片的面積y(cm2)與x(cm)的函數(shù)關(guān)系式是什么？它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？
二、合作探究
探究點(diǎn)一：二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象與性質(zhì)
【類型一】y＝ax2＋k的圖象與性質(zhì)的識(shí)別
若二次函數(shù)y＝ax2＋2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，10)，則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A．a(chǎn)＝2
B．當(dāng)x＜0，y隨x的增大而減小
C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)
D．圖象有最低點(diǎn)
解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x2＋2，拋物線開口向上，有最低點(diǎn)，當(dāng)x＜0，y隨x的增大而減小，所以A、B、D均正確，而頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，而不是(2，0)．故選C.
方法總結(jié)：拋物線y＝ax2＋k(a≠0)的頂點(diǎn)為(0，k)，對(duì)稱軸是y軸．
【類型二】二次函數(shù)y＝ax2＋k增減性判斷
(2014·廣西河池)已知點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)均在拋物線y＝x2－1上，下列說法中正確的是( )
A．若y1＝y(tǒng)2，則x1＝x2
B．若x1＝－x2，則y1＝－y2
C．若0＜x1＜x2，則y1＞y2
D．若x1＜x2＜0，則y1＞y2
解析：如圖所示，選項(xiàng)A：若y1＝y(tǒng)2，則x1＝－x2，所以選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)B：若x1＝－x2，則y1＝y(tǒng)2，所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)C：若0＜x1＜x2，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，則y1＜y2，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)D：若x1＜x2＜0，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，則y1＞y2，所以選項(xiàng)D是正確的．
方法總結(jié)：討論二次函數(shù)的增減性時(shí)，應(yīng)對(duì)自變量分區(qū)討論，通常以對(duì)稱軸為分界線．
【類型三】識(shí)別y＝ax2＋k的圖象與一次函數(shù)圖象
在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax＋c與二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象大致為( )
解析：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，且直線從左向右逐漸上升，當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，且直線從左向右逐漸下降，由此排除選項(xiàng)A，C，D，故選B.
【類型四】確定y＝ax2＋k與y＝ax2的關(guān)系
拋物線y＝ax2＋c與y＝－5x2的形狀大小，開口方向都相同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)，求拋物線的表達(dá)式，它是由拋物線y＝－5x2怎樣得到的？
解：拋物線y＝ax2＋c與y＝－5x2的形狀、大小相同，開口方向也相同，∴a＝－5.又∵其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由拋物線y＝－5x2向上平移3個(gè)單位得到的．
方法總結(jié)：拋物線y＝ax2＋k與y＝ax2開口大小，方向都相同，只是頂點(diǎn)不同，二者可相互平移得到．
探究點(diǎn)二：二次函數(shù)y＝ax2＋k的應(yīng)用
【類型一】y＝ax2＋k的圖象與幾何圖形的綜合應(yīng)用
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋c(a＜0)的圖象過正方形ABOC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，則ac的值是________．
解析：二次函數(shù)y＝ax2＋c與y軸的交點(diǎn)為(0，c)，因此OA＝c，根據(jù)正方形對(duì)角線互相垂直平分且相等，不難求得B(－eq \f(c,2)，eq \f(c,2))、C(eq \f(c,2)，eq \f(c,2))，因?yàn)镃(eq \f(c,2)，eq \f(c,2))在函數(shù)y＝ax2＋c的圖象上，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入關(guān)系式即可求出ac的值．
解：∵y＝ax2＋c與y軸的交點(diǎn)為(0，c)，四邊形ABOC為正方形，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(eq \f(c,2)，eq \f(c,2))．∵二次函數(shù)y＝ax2＋c經(jīng)過點(diǎn)C，∴eq \f(c,2)＝a(eq \f(c,2))2＋c，即ac＝－2.
方法總結(jié)：在解決此類問題時(shí)，應(yīng)充分利用拋物線及正方形的對(duì)稱性．
【類型二】二次函數(shù)y＝ax2＋k的實(shí)際應(yīng)用
如圖所示，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線y＝－eq \f(1,5)x2＋eq \f(7,2)運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的距離為3.05m.
(1)球在空中運(yùn)行的最大高度為多少？
(2)如果該運(yùn)動(dòng)員跳起，球出手時(shí)離地面的高度為2.25m，要想投入籃筐，則他距離籃筐中心的水平距離是多少？
解：(1)∵y＝－eq \f(1,5)x2＋eq \f(7,2)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3.5)，∴球在空中運(yùn)行的最大高度為3.5m.
(2)在y＝－eq \f(1,5)x2＋eq \f(7,2)中，當(dāng)y＝3.05時(shí)，3.05＝－eq \f(1,5)x2＋eq \f(7,2)，解得x＝±1.5.∵籃筐在第一象限內(nèi)，∴籃筐中心的橫坐標(biāo)x＝1.5.又當(dāng)y＝2.25時(shí)，2.25
＝－eq \f(1,5)x2＋eq \f(7,2)，解得x＝±2.5.∵運(yùn)動(dòng)員在第二象限內(nèi)，∴運(yùn)動(dòng)員的橫坐標(biāo)x＝－2.5.故該運(yùn)動(dòng)員距離籃球筐中心的水平距離為1.5－(－2.5)＝4(m)．
三、板書設(shè)計(jì)
教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象與性質(zhì)，體會(huì)拋物線y＝ax2與y＝ax2＋k之間聯(lián)系與區(qū)別.

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22.1.4 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)

版本： 人教版

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