1．掌握分式加減乘除法的法則，并會運(yùn)用法則進(jìn)行分式加減乘除法的計(jì)算．(重點(diǎn))
2．能夠運(yùn)用分式加減乘除法則來解決混合運(yùn)算的實(shí)際問題．(難點(diǎn))
一、情境導(dǎo)入
提出問題：
1．說出有理數(shù)混合運(yùn)算的順序．
2．類比有理數(shù)混合運(yùn)算的順序，同學(xué)們能說出分式的混合運(yùn)算順序嗎？
今天我們共同探究分式的混合運(yùn)算．
二、合作探究
探究點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算
【類型一】 分式的化簡
計(jì)算：
(1)(eq \f(3a,a－3)－eq \f(a,a＋3))·eq \f(a2－9,a)；
(2)(x＋eq \f(x,x2－1))÷(2＋eq \f(1,x－1)－eq \f(1,x＋1))．
解析：(1)原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，約分得到最簡結(jié)果；(2)原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加減法則計(jì)算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．
解：(1)原式＝eq \f(3a2＋9a－a2＋3a,（a＋3）（a－3）)·eq \f(（a＋3）（a－3）,a)＝2a＋12；
(2)原式＝eq \f(x3,（x＋1）（x－1）)÷eq \f(2x2－2＋x＋1－x＋1,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(x3,（x＋1）（x－1）)·eq \f(（x＋1）（x－1）,2x2)＝eq \f(x,2).
方法總結(jié)：分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．
【類型二】 分式的化簡求值
先化簡代數(shù)式eq \f(x2－2x＋1,x2－1)÷(1－eq \f(3,x＋1))，再從－4＜x＜4的范圍內(nèi)選取一個合適的整數(shù)x代入求值．
解析：先計(jì)算括號里的減法運(yùn)算，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算，進(jìn)行約分化簡，最后從x的取值范圍內(nèi)選取一數(shù)值代入即可．
解：原式＝eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)÷(eq \f(x＋1,x＋1)－eq \f(3,x＋1))＝eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)×eq \f(x＋1,x－2)＝eq \f(x－1,x－2)，令x＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝eq \f(1,2).
方法總結(jié)：把分式化成最簡分式是解題的關(guān)鍵，通分、因式分解和約分是基本環(huán)節(jié)，注意選數(shù)時，要求分母不能為0.
【類型三】 利用公式變形對分式進(jìn)行化簡
已知a＋eq \f(1,a)＝5，求eq \f(a2,a4＋a2＋1)的值．
解析：本題若先求出a的值，再代入求值，顯然現(xiàn)在解不出a的值，如果將eq \f(a2,a4＋a2＋1)的分子、分母顛倒過來，即求eq \f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋1＋eq \f(1,a2)的值，再利用公式變形求值就簡單多了．
解：因?yàn)閍＋eq \f(1,a)＝5，所以(a＋eq \f(1,a))2＝25，即a2＋eq \f(1,a2)＝23，所以eq \f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋1＋eq \f(1,a2)＝23＋1＝24.所以eq \f(a2,a4＋a2＋1)＝eq \f(1,24).
方法總結(jié)：利用x和eq \f(1,x)互為倒數(shù)的關(guān)系，溝通已知條件與所求未知代數(shù)式的關(guān)系，可以使一些分式求值問題的思路豁然開朗，使解題過程簡潔．
【類型四】 分式混合運(yùn)算的應(yīng)用
甲、乙兩人同時在同一個超市分兩次購買同一種水果，甲每次都買了20千克水果，乙每次都用20元去買水果．兩次水果的價格分別為a元/千克和b元/千克(a、b為正整數(shù)且a≠b)．
(1)甲、乙兩人所購水果的平均價格各是多少？
(2)誰的購買方式更合算？請說明理由．
解析：(1)用總錢數(shù)除以總質(zhì)量即可表示出各自的平均價格；(2)利用作差法求出甲平均價格減去乙平均價格得到差大于0，可得出乙更合算．
解：(1)甲的平均價格為eq \f(20a＋20b,20＋20)＝eq \f(a＋b,2)；乙的平均價格為eq \f(20＋20,\f(20,a)＋\f(20,b))＝eq \f(2ab,a＋b)；
(2)甲的平均價格－乙的平均價格為eq \f(a＋b,2)－eq \f(2ab,a＋b)＝eq \f(（a＋b）2,2（a＋b）)－eq \f(4ab,2（a＋b）)＝eq \f(（a－b）2,2（a＋b）)，∵a≠b，∴eq \f(（a－b）2,2（a＋b）)＞0，∴甲的平均價格＞乙的平均價格，則乙的購買方式更合算．
方法總結(jié)：靈活運(yùn)用作差法判斷兩個式子的大小，要掌握分式的加減混合運(yùn)算．
三、板書設(shè)計(jì)
分式的混合運(yùn)算
分式混合運(yùn)算的順序：先乘方，再乘除，然后加減，遇到括號要先算括號內(nèi)的．
在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，可以根據(jù)學(xué)生的具體情況，適當(dāng)增加例題和習(xí)題，讓學(xué)生熟練掌握分式的運(yùn)算法則并提高運(yùn)算能力．但與整式、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算相比，分式的運(yùn)算步驟多，符號變化復(fù)雜，所以在增加例題和習(xí)題時，要注意控制難度，特別是不要在分子、分母的因式分解上增加難度．關(guān)鍵是讓學(xué)生通過基本的練習(xí)，弄清運(yùn)算依據(jù)，做到步步有據(jù)，降低計(jì)算的錯誤率．

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15.2.2 分式的加減

版本： 人教版

年級： 八年級上冊

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