高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊6.2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)學(xué)案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊6.2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)學(xué)案，共11頁。
6.2　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2.1　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.結(jié)合實(shí)例,借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性3.對于多項(xiàng)式函數(shù),能求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.借助教材實(shí)例了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.能利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)必備知識(shí)·素養(yǎng)奠基1.函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)正負(fù)之間的關(guān)系在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)正負(fù)曲線狀態(tài)單調(diào)性f′(x)>0曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)對應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都大于0,曲線呈上升狀態(tài)增函數(shù)f′(x)<0曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)對應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都小于0,曲線呈下降狀態(tài)減函數(shù)　(1)“若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上恒有f′(x)>0,則f(x)在(a,b)上是增函數(shù)”,反之,若f(x)在(a,b)上是增函數(shù),能推出在(a,b)上恒有f′(x)>0嗎?提示:不能,若f(x)在(a,b)上是增函數(shù),則在(a,b)上恒有f′(x)≥0.(2)“若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上恒有f′(x)<0,則f(x)在(a,b)上是減函數(shù)”,反之,若f(x)在(a,b)上是減函數(shù),能推出在(a,b)上恒有f′(x)<0嗎?提示:不能,若f(x)在(a,b)上是減函數(shù),則在(a,b)上恒有f′(x)≤0.(3)在(a,b)上存在f′(x)恒等于0的函數(shù)嗎?提示:存在,這樣的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)f(x)=C.2.函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系一個(gè)函數(shù)f在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值為,則函數(shù)值的變化函數(shù)的圖象越大在這一范圍內(nèi)變化得較快比較“陡峭”(向上或向下)越小在這一范圍內(nèi)變化得較慢比較“平緩”　為什么|f′(x)|越大,函數(shù)遞增(或遞減)越快,其圖象越陡峭?提示:|f′(x)|越大,說明函數(shù)的瞬時(shí)變化率越大,即函數(shù)值的變化越快,其圖象越陡峭.1.思維辨析(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)因?yàn)?/span>′=-<0恒成立,所以函數(shù)y=在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減. (　　)(2)因?yàn)?/span>′=1+>0,所以函數(shù)y=x-在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增. (　　)(3)函數(shù)f(x)=x2+2x-3的導(dǎo)數(shù)f′(x)=2x+2是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=x2+2x-3在(-∞,+∞)上是增函數(shù).????????????? (　　)提示:(1)×.因?yàn)楹瘮?shù)y=的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),由′=-<0恒成立,所以函數(shù)y=在(-∞,0)和(0,+∞)上是減函數(shù).(2)×.因?yàn)楹瘮?shù)y=x-的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),由′=1+>0恒成立,所以函數(shù)y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函數(shù).(3)×.因?yàn)閒′(x)=2x+2,所以當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),f′(x)>0,即函數(shù)f(x)=x2+2x-3在x∈(-∞,-1)上是減函數(shù),在x∈(-1,+∞)上是增函數(shù).2.函數(shù)y=x-ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為 (　　)A.(-1,1]　　　　　　 B.(0,+∞)C.[1,+∞)    D.(0,1]【解析】選D.函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),令y′=1-=≤0,解得x∈(0,1],所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1].關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系【典例】1.已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是????????????? (　　)2.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是 (　　)3.函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),其圖象如圖,記y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x),則不等式f′(x)<0的解集為________. 【思維·引】導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸下方,函數(shù)遞減,導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸上方,函數(shù)遞增.【解析】1.選B.在區(qū)間(-1,1)上,f′(x)>0,因此函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-1,1)上為增函數(shù),易知四個(gè)選項(xiàng)都符合.在區(qū)間(-1,0)上,f′(x)是增函數(shù),故y=f(x)在區(qū)間(-1,0)上增加得越來越快,函數(shù)圖象應(yīng)為指數(shù)增長的模式;在區(qū)間(0,1)上,f′(x)是減函數(shù),故y=f(x)在區(qū)間(0,1)上增加得越來越慢,函數(shù)圖象應(yīng)為對數(shù)增長的模式.2.選D.從函數(shù)y=f(x)的圖象可以看出,其在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù),f′(x)<0;在區(qū)間(0,x1)上是增函數(shù),f′(x)>0;在區(qū)間(x1,x2)上是減函數(shù),f′(x)<0;在區(qū)間(x2,+∞)上是增函數(shù),f′(x)>0.結(jié)合選項(xiàng)可知,只有D項(xiàng)滿足.3.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間和區(qū)間(2,3)上是減函數(shù),所以在區(qū)間和區(qū)間(2,3)上,y=f′(x)<0,所以f′(x)<0的解集為∪(2,3).答案:∪(2,3)　【內(nèi)化·悟】　結(jié)合圖象來研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系,需注意哪些問題?提示:(1)函數(shù)的定義域.(2)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.【類題·通】　函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間的關(guān)系　　判斷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間的對應(yīng)關(guān)系時(shí),首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導(dǎo)函數(shù)的圖象,其次再注意以下兩個(gè)方面:(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),若f′(x)>0,則y=f(x)在(a,b)上是增函數(shù);如果f′(x)<0,則y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù);若恒有f′(x)=0,則y=f(x)是常數(shù)函數(shù),不具有單調(diào)性.(2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系函數(shù)值增加得越來越快函數(shù)值增加得越來越慢f′(x)>0且越來越大f′(x)>0且越來越小函數(shù)值減少得越來越快函數(shù)值減少得越來越慢f′(x)<0且越來越小,絕對值越來越大f′(x)<0且越來越大,絕對值越來越小　【習(xí)練·破】　已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是 (　　)【解析】選B.由函數(shù)y=f(x)的圖象及其導(dǎo)數(shù)的意義可知,當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x=0時(shí),f′(x)=0,當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0.【加練·固】設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f′(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象可能是 (　　)【解析】選C.由y=f′(x)的圖象可知,當(dāng)x<0或x>2時(shí),f′(x)>0;當(dāng)0<x<2時(shí),f′(x)<0,所以函數(shù)y=f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上為增函數(shù),在(0,2)上為減函數(shù).類型二　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例】1.(2020·南平高二檢測)函數(shù)f(x)=xex+1的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)A.(-∞,1)  B.(1,+∞)C.(-∞,-1)  D.(-1,+∞)2.(2020·金安高二檢測)函數(shù)f(x)=x-2sin x+1在(0,π)上的單調(diào)遞增區(qū)間是 (　　)A.  B.  C.  D.【思維·引】1.求導(dǎo),解使f′(x)<0的區(qū)間.2.求導(dǎo),解使f′(x)>0的區(qū)間.【解析】1.選C.f′(x)=(x+1)ex,當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.2.選D.f(x)=x-2sin x+1,令f′(x)=1-2cos x>0,可得π<x<π,故f(x)在(0,π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為.【內(nèi)化·悟】　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需要特別關(guān)注什么?提示:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需要特別關(guān)注函數(shù)的定義域.　【類題·通】　求函數(shù)y=f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域.(2)求導(dǎo)數(shù)y′=f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,函數(shù)在解集所表示定義域內(nèi)為增函數(shù).(4)解不等式f′(x)<0,函數(shù)在解集所表示定義域內(nèi)為減函數(shù).如果一個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè),這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“∪”連接,而只能用“逗號(hào)”或“和”字隔開.　【習(xí)練·破】1.(2020·渝中高二檢測)函數(shù)f(x)=(1-x)ex的單調(diào)遞減區(qū)間是 (　　)A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,0) D.(0,+∞)【解析】選D.f′(x)=-xex.當(dāng)x>0時(shí),f′(x)=-xex<0,函數(shù)單調(diào)遞減.即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞).2.函數(shù)f(x)=2x2-ln x,x∈(0,+∞)的單調(diào)遞減區(qū)間為________. 【解析】由題意得f′(x)=4x-,令f′(x)=4x-<0且x∈(0,+∞),則x∈.答案:【加練·固】　判斷函數(shù)f(x)=ax3-1的單調(diào)性.【解析】因?yàn)?/span>f′(x)=(ax3-1)′=3ax2.①當(dāng)a>0時(shí),f′(x)≥0,函數(shù)在R上單調(diào)遞增;②當(dāng)a<0時(shí),f′(x)≤0,函數(shù)在R上單調(diào)遞減;③當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=0,函數(shù)在R上不具備單調(diào)性.類型三　利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍角度1　已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【典例】1.若函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (　　)A.(-∞,-2]  B.(-∞,-1]C.[2,+∞)  D.[1,+∞)2.函數(shù)g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)m的范圍是________. 【思維·引】1.f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立.2.函數(shù)g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)上是減函數(shù),g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立.【解析】1.選D.f′(x)=k-,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),所以f′(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,所以k≥,而y=在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),所以k≥1,故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1,+∞).2.由g′(x)=-3x2+4x+m≤0對x∈R恒成立.即Δ=16+4×3m≤0,解得m≤-.答案:　【素養(yǎng)·探】　已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí),經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,將函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題.將本例1條件改為:函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(0,e)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(0,e)上是減函數(shù),即f′(x)=k-≤0在區(qū)間(0,e)上恒成立,所以k≤.角度2　求參數(shù)范圍的綜合問題【典例】已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求t的取值范圍.【思維·引】函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),即在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.【解析】方法一:由題意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,則f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.即t≥3x2-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立.設(shè)函數(shù)g(x)=3x2-2x,由于g(x)的圖象是對稱軸為x=且開口向上的拋物線,故t≥3x2-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立?t≥g(-1),即t≥5.而當(dāng)t≥5時(shí),f′(x)在(-1,1)上滿足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).故t的取值范圍是[5,+∞).方法二:由題意得f(x)=-x3+x2+tx+t,則f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上f′(x)≥0.因?yàn)閒′(x)的圖象是開口向下的拋物線,所以當(dāng)且僅當(dāng)f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0時(shí),f′(x)在(-1,1)上滿足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).故t的取值范圍是[5,+∞).　【類題·通】1.利用導(dǎo)數(shù)法解決參數(shù)范圍問題的兩個(gè)基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍,然后檢驗(yàn)參數(shù)取“=”時(shí)是否滿足題意.(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后,再驗(yàn)證參數(shù)取“=”時(shí)f(x)是否滿足題意.2.恒成立問題的重要思路(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.　【習(xí)練·破】1.若函數(shù)f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A.a≥1  B.a=1  C.a≤1  D.0<a<1【解析】選A.由已知得f′(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)上是減函數(shù),所以不等式3x2-2ax-1≤0在 (0,1)內(nèi)恒成立,即f′(0)≤0且f′(1)≤0,解得a≥1.2.若函數(shù)f(x)=(mx-1)ex在(0,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 【解析】f′(x)=(mx-1)′ex+(mx-1)·(ex)′=mex+(mx-1)ex=ex(mx+m-1).由于f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以f′(x)≥0,即mx+m-1≥0對x∈(0,+∞)恒成立,即m≥對x∈(0,+∞)恒成立,又當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),<1,故m≥1.答案:[1,+∞)課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.下列函數(shù)中,在(0,+∞)上為增函數(shù)的是 (　　)A.y=sin 2x  B.y=xexC.y=x3-x   D.y=-x+ln(1+x)【解析】選B.y=xex,則y′=ex+xex=ex(1+x)在(0,+∞)上恒大于0.2.若函數(shù)f(x)=-cos x+ax為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　　)A.[-1,+∞) B.[1,+∞)C.(-1,+∞) D.(1,+∞)【解析】選B.由題意可得,f′(x)=sin x+a≥0恒成立,故a≥-sin x恒成立,因?yàn)?1≤-sin x≤1,所以a≥1.3.如果函數(shù)f(x)=2x3+ax2+1(a≠0)在區(qū)間(-∞,0)和(2,+∞)上是增函數(shù),且在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù),則常數(shù)a的值為________. 【解析】f′(x)=6x2+2ax,令6x2+2ax<0,當(dāng)a>0時(shí),解得-<x<0,不合題意;當(dāng)a<0時(shí),解得0<x<-,由題意知-=2,a=-6.答案:-6【新情境·新思維】已知定義在區(qū)間(-2,2)上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,若函數(shù)f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式>0的解集為????????????? (　　)A.(-2,1)  B.(-2,-1)∪(-1,1)C.(1,2)  D.(-,-1)∪(0,).【解析】選B.結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可知,-2<x<-1,1<x<2時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,此時(shí)f′(x)<0,當(dāng)-1<x<1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,此時(shí)f′(x)>0,由不等式>0可得,(x+1)f′(x)>0,解得,-1<x<1或-2<x<-1,故不等式的解集為(-2,-1)∪(-1,1).