6.2.2　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值最新課程標準    1.理解極值、極值點的概念，明確極值存在的條件．(易混點)    2．會求函數(shù)的極值．(重點)    3．會求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．4．能利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)極值、最值相關(guān)的綜合問題．(難點)[教材要點]知識點一　極值點和極值的概念 名稱定義表示法極值極大值已知函數(shù)y＝f(x)，設(shè)x0是定義域(a，b)內(nèi)任一點，如果對x0附近的所有點x，都有________，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取極大值記作________極小值已知函數(shù)y＝f(x)，設(shè)x0是定義域(a，b)內(nèi)任一點，如果對x0附近的所有點x，都有________，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取極小值記作________極值點________統(tǒng)稱為極值點 知識點二　函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]一定能夠取得________與________，若函數(shù)在[a，b]內(nèi)是可導(dǎo)的，則該函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點取得．[基礎(chǔ)自測]1．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極大值點有(　　)A．1個  B．2個C．3個  D．4個2．函數(shù)y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(　　)A．極大值5，極小值－27  B．極大值5，極小值－11C．極大值5，無極小值  D．極小值－27，無極大值3．函數(shù)f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　)A．無最值  B．有極值C．有最大值  D．有最小值4．下列說法正確的是________．(填序號)①函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值；②開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值；③函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得．  題型一　求函數(shù)的極值例1　求下列函數(shù)的極值．(1)f(x)＝x2－2x－1；(2)f(x)＝－x3＋－6；(3)f(x)＝|x|.        方法歸納1．討論函數(shù)的性質(zhì)要注意定義域優(yōu)先的原則．2．極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是導(dǎo)數(shù)值為0的點，導(dǎo)數(shù)值為0的點不一定是極值點．點x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值點的充要條件：①f′(x0)＝0；②點x0兩側(cè)f′(x)的符號不同．(2)不可導(dǎo)的點可能是極值點(如本例(3)中x＝0點)，也可能不是極值點(如y＝，在x＝0處不可導(dǎo)，在x＝0處也取不到極值)，所以函數(shù)的極值點可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可導(dǎo)點． 跟蹤訓(xùn)練1　已知函數(shù)f(x)＝x2－2ln x，則f(x)的極小值是________．題型二　利用函數(shù)的極值求參數(shù)例2　已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1與x＝－時都取得極值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．             　(1)求導(dǎo)函數(shù)f ′(x)，則由x＝1和x＝－是f ′(x)＝0的兩根及根與系數(shù)的關(guān)系求出a，b.(2)由f(－1)＝求出c，再列表求解． 方法歸納已知函數(shù)極值的情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時，應(yīng)注意以下兩點：1．根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；2．因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性． 跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m為常數(shù))，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍．        題型三　求函數(shù)的最值　如圖為y＝f(x)，x∈[a，b]的圖像．1．觀察[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖像，試找出它的極大值、極小值．[提示]　f(x1)，f(x3)為函數(shù)的極大值，f(x2)，f(x4)為函數(shù)的極小值．2．結(jié)合圖像判斷，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？[提示]　存在．f(x)的最小值為f(a)，f(x)的最大值為f(x3)．3．函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其極值嗎？[提示]　不一定．也可能是區(qū)間端點的函數(shù)值．  例3　(1)函數(shù)y＝x4－4x＋3在區(qū)間[－2,3]上的最小值為(　　)A．72  B．36C．12  D．0(2)函數(shù)f(x)＝ln x－x在區(qū)間(0，e]上的最大值為(　　)A．1－e  B．－1C．－e  D．0(3)求函數(shù)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．             方法歸納求函數(shù)最值的四個步驟第一步，求函數(shù)的定義域；第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步，列出關(guān)于x，f(x)，f′(x)的變化表；第四步，求極值、端點值，確定最值． 跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值為1，則m＝________. 6．2.2　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值新知初探·自主學(xué)習(xí)知識點一f(x)≤f(x0)　y極大＝f(x0)　f(x)≥f(x0)　y極小＝f(x0)　極大值點與極小值點知識點二最大值　最小值[基礎(chǔ)自測]1．解析：依題意，記函數(shù)y＝f′(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標自左向右依次為x1，x2，x3，x4，當a＜x＜x1時，f′(x)＞0；當x1＜x＜x2時，f′(x)＜0；當x2＜x＜x4時，f′(x)≥0；當x4＜x＜b時，f′(x)＜0.因此，函數(shù)f(x)分別在x＝x1，x＝x4處取得極大值，選B.答案：B2．解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.當x＜－1或x＞3時，y′＞0；由－1＜x＜3時，y′＜0.∴當x＝－1時，函數(shù)有極大值5；3?(－2,2)，故無極小值．答案：C3．解析：f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值，也無最值．答案：A4．答案：②課堂探究·素養(yǎng)提升例1　解析：(1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1.因為當x<1時，f′(x)<0，當x>1時，f′(x)>0，所以函數(shù)在x＝1處有極小值，且y極小＝－2.(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1.所以當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：所以當x＝0時，函數(shù)取得極小值，且y極小＝－6.(3)顯然函數(shù)f(x)＝|x|在x＝0處不可導(dǎo)，當x>0時，f′(x)＝x′＝1>0，函數(shù)f(x)＝|x|在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增；當x<0時，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，函數(shù)f(x)＝|x|在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減．故當x＝0時，函數(shù)取得極小值，且y極小＝0.跟蹤訓(xùn)練1　解析：∵f′(x)＝2x－，且函數(shù)定義域為(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，當x∈(0,1)時，f′(x)<0，當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，∴當x＝1時，函數(shù)有極小值，極小值為f(1)＝1.答案：1例2　解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0，由題設(shè)知x＝1與x＝－為f′(x)＝0的解．∴∴a＝－，b＝－2.經(jīng)檢驗滿足題意．(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1.∴f(x)＝x3－x2－2x＋1.∴f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：∴f(x)的遞增區(qū)間為和(1，＋∞)，遞減區(qū)間為.當x＝－時，f(x)有極大值為f＝；當x＝1時，f(x)有極小值為f(1)＝－.跟蹤訓(xùn)練2　解析：f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因為函數(shù)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)有兩個極值點，所以導(dǎo)數(shù)f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)內(nèi)與x軸有兩個不同的交點，如圖所示．所以解得m>3.故實數(shù)m的取值范圍是(3，＋∞)．例3　解析：(1)因為y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1.當x<1時，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當x>1時，y′>0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝x4－4x＋3在x＝1處取得極小值0.而當x＝－2時，y＝27，當x＝3時，y＝72，所以當x＝1時，函數(shù)y＝x4－4x＋3取得最小值0，故選D.(2)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1.當x∈(0,1)時，f′(x)>0，當x∈(1，e)時，f′(x)<0，∴當x＝1時，f(x)有極大值，也是最大值，最大值為f(1)＝－1，故選B.(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.當x變化時，f′(x)及f(x)的變化情況如下表：∴當x＝－3時，f(x)取最小值－60；當x＝－1或x＝1時，f(x)取最大值4.答案：(1)D　(2)B　(3)見解析跟蹤訓(xùn)練3　解析：f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，當x∈(－2,0)時，f′(x)<0，當x∈(0,2)時，f′(x)>0，∴當x＝0時，f(x)有極小值，也是最小值．∴f(0)＝m＝1.答案：1 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

6.2.2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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