6.1.2　導(dǎo)數(shù)及其幾何意義最新課程標(biāo)準(zhǔn)    1.理解瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)的概念．(難點、易混點)    2．會用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3．理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．(重點)能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問題．(難點)[教材要點]知識點一　瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)　(1)物體運動的瞬時速度設(shè)物體運動路程與時間的關(guān)系是s＝f(t)，當(dāng)________時，函數(shù)f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變化率________________趨近于常數(shù)，我們把這個常數(shù)稱為t0時刻的瞬時速度．(2)函數(shù)的瞬時變化率設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0及其附近有定義，當(dāng)自變量在x＝x0附近改變量為Δx時，函數(shù)值相應(yīng)地改變Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當(dāng)Δx趨近于0時，平均變化率________________趨近于一個常數(shù)k，那么常數(shù)k稱為函數(shù)f(x)在點x0的瞬時變化率．記作：當(dāng)Δx→0時，→k.還可以說：當(dāng)Δx→0時，函數(shù)平均變化率的極限等于函數(shù)在x0的瞬時變化率，記作 ＝k.(3)函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)y＝f(x)在點x0的________，通常稱為f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作________，即f′(x0)＝________________.知識點二　導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義為________________________．[基礎(chǔ)自測]1．函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的瞬時變化率是________________________________________________________________________．2．函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是(　　)A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)3．已知函數(shù)y＝f(x)在點(2,1)處的切線與直線3x－y－2＝0平行，則f′(2)等于(　　)A．1　　  B．－1C．－3  D．34．如果函數(shù)y＝f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為1，那么 ＝(　　)A.  B．1C．2  D.  題型一　求瞬時速度例1　以初速度v0(v0>0)垂直上拋的物體，t秒時的高度為s(t)＝v0t－gt2，則物體在t0時刻的瞬時速度為________．　先求出，再求 . 方法歸納1．求運動物體瞬時速度的三個步驟(1)求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度＝；(3)求瞬時速度，當(dāng)Δt無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)v，即為瞬時速度.2.求(當(dāng)Δx無限趨近于0時)的極限的方法(1)在極限表達(dá)式中，可把Δx作為一個數(shù)來參與運算．(2)求出的表達(dá)式后，Δx無限趨近于0就是令Δx＝0，求出結(jié)果即可．跟蹤訓(xùn)練1　 一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是s＝3t－t2(位移單位：m，時間單位：s)．(1)求此物體的初速度；
(2)求此物體在t＝2時的瞬時速度．            題型二　求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)例2　(1)曲線y＝在點處的切線的斜率為(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．－4C．3  D.(2)求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．                  　求函數(shù)f(x)在任意點處的導(dǎo)數(shù)都應(yīng)先求平均變化率，再求f ′(x0)． 方法歸納1．通過本例(1)進一步感受平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系，對于Δy與Δx的比值，感受和認(rèn)識在Δx逐漸變小的過程中趨近于一個固定的常數(shù)k這一現(xiàn)象．2．用定義求函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均變化率；(3)求極限，得導(dǎo)數(shù)為f′(x0)＝ .簡記為：一差、二比、三趨近． 跟蹤訓(xùn)練2　求函數(shù)f(x)＝x－在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．            題型三　求曲線在某點處切線的方程例3　已知曲線C：y＝x3.(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為x＝1的點處的切線方程；(2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點？                   　(1)先求切點坐標(biāo)，再求y ′，最后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程．(2)將切線方程與曲線C的方程聯(lián)立求解． 方法歸納1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟(1)求出函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；(2)寫出切線方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 特別注意：若在點(x0，y0)處切線的傾斜角為，此時所求的切線平行于y軸，所以曲線的切線方程為x＝x0.2．曲線的切線與曲線的交點可能不止一個．  跟蹤訓(xùn)練3　若函數(shù)f(x)在點A(1,2)處的導(dǎo)數(shù)是－1，那么過點A的切線方程是________．題型四　求切點坐標(biāo)例4　已知拋物線y＝2x2＋1.求：(1)拋物線上哪一點的切線的傾斜角為45°？(2)拋物線上哪一點的切線平行于直線4x－y－2＝0?           　→→→跟蹤訓(xùn)練4　已知曲線y＝x3在點P處的切線的斜率k＝3，則點P的坐標(biāo)是(　　)A．(1,1)  B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1)  D．(2,8)或(－2，－8) 方法歸納根據(jù)切線斜率求切點坐標(biāo)的步驟1．設(shè)切點坐標(biāo)(x0，y0)；2．求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；3．求切線的斜率f′(x0)；4．由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0；5．點(x0，y0)在曲線f(x)上，將(x0，y0)代入求y0，得切點坐標(biāo)．6．1.2　導(dǎo)數(shù)及其幾何意義新知初探·自主學(xué)習(xí)知識點一　(1)Δt趨近于0　(2)＝(3)瞬時變化率　f′(x0)　li 知識點二曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率[基礎(chǔ)自測]1．解析：∵f(x)＝x2，∴函數(shù)f(x)在x＝1處的瞬時變化率是li ＝li ＝li ＝li (2＋Δx)＝2.答案：22．解析： f′(2)為函數(shù)y＝f(x)的圖像在點B處的切線的斜率，f′(3)為函數(shù)y＝f(x)的圖像在點A處的切線的斜率，f(3)－f(2)＝，其幾何意義為割線AB的斜率，由圖可知，0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故選C.答案：C3．解析：由題意知f′(2)＝3.答案：D4．解析：因為f′(1)＝1，所以li ＝1，所以li ＝li ＝.答案：A課堂探究·素養(yǎng)提升例1　解析：∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－g(Δt)2，∴＝v0－gt0－gΔt，∴li ＝v0－gt0，即t0時刻的瞬時速度為v0－gt0.答案：v0－gt0跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)初速度v0＝li ＝li ＝li (3－Δt)＝3，即物體的初速度為3 m/s.(2)v瞬＝li ＝li ＝li ＝li (－Δt－1)＝－1，即物體在t＝2時的瞬時速度為1 m/s，方向與初速度方向相反．例2　解析：(1)因為y′＝li ＝li ＝li ＝－，所以曲線在點處的切線斜率為k＝－4，故選B.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx，∴f′(1)＝li ＝li (6＋3Δx)＝6.答案：(1)B　(2)見解析跟蹤訓(xùn)練2　解析：∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋1－＝Δx＋，∴＝＝1＋，∴f′(1)＝li ＝li ＝2.例3　解析：(1)將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，∴切點P(1,1)．y′＝li ＝li ＝li[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝3.∴曲線在點P(1,1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由解得或從而求得公共點為P(1,1)或M(－2，－8)，即切線與曲線C的公共點除了切點外，還有另一公共點(－2，－8)．跟蹤訓(xùn)練3　解析：切線的斜率為k＝－1.∴點A(1,2)處的切線方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0例4　解析：設(shè)切點的坐標(biāo)為(x0，y0)，則Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴＝4x0＋2Δx.∴f′(x0)＝li (4x0＋2Δx)＝4x0.(1)∵拋物線的切線的傾斜角為45°，∴斜率為tan 45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，該點為.(2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0，∴斜率為4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，該點為(1,3)．跟蹤訓(xùn)練4　解析：因為y＝x3，所以y′＝li ＝li[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由題意，知切線斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.當(dāng)x＝1時，y＝1；當(dāng)x＝－1時，y＝－1.故點P的坐標(biāo)是(1,1)或(－1，－1)，故選C.答案：C  

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

6.1.2 導(dǎo)數(shù)及其幾何意義

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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