第2課時(shí)　函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值　 必備知識(shí)·素養(yǎng)奠基1.函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上取得最值的條件如果在閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.(1)在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)有極值一定有最值,反之成立嗎?提示:反之不成立,在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)有極值一定有最值,但有最值不一定有極值.(2)函數(shù)的極值與最值有什么區(qū)別?提示:①函數(shù)的極值是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部概念,函數(shù)的最值是函數(shù)在給定區(qū)間的整體概念.②函數(shù)極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得,函數(shù)最值可能在區(qū)間端點(diǎn)取得.2.求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.函數(shù)的最值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得嗎?提示:不一定,當(dāng)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù)時(shí),函數(shù)最值在區(qū)間端點(diǎn)取得,否則,函數(shù)最值不一定在區(qū)間端點(diǎn)取得.1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)函數(shù)在其定義域內(nèi)若有最值與極值,則其極大值便是最大值,極小值便是最小值. (　　)(2)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值,也一定有極值. (　　)(3)若函數(shù)在其定義域上有最值,則一定有極值;反之,若有極值,則一定有最值. (　　)(4)若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值,則有且僅有一個(gè)最大值,一個(gè)最小值,但若有極值,則可有多個(gè)極值. ????????????? (　　)提示:(1)×.函數(shù)在其定義域內(nèi)若有最值與極值,則其極大值不一定是最大值,極小值不一定是最小值.(2)×.閉區(qū)間上的連續(xù)的單調(diào)函數(shù)只有最值,沒有極值. (3)×.(4)√.若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值,則有且僅有一個(gè)最大值,一個(gè)最小值,但若有極值,則可有多個(gè)極值. 2.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分別是 (　　)A.5,15  B.5,-4  C.5,-16  D.5,-15【解析】選D.由y=2x3-3x2-12x+5得y′=6x2-6x-12,令y′=0得x=-1(舍去)或x=2.故函數(shù)y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3時(shí)的函數(shù)值,而f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,故最大值為5,最小值為-15.3.已知函數(shù)f(x)=sin x-2x-a,若f(x)在[0,π]上的最大值為-1,則實(shí)數(shù)a的值是______. 【解析】由f(x)=sin x-2x-a,得f′(x)=cos x-2<0,所以函數(shù)f(x)在[0,π]上單調(diào)遞減,所以f(x)的最大值是f(0)=-a=-1,故a=1.答案:1關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一　求函數(shù)的最值【典例】(2020·陽泉高二檢測(cè))當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),函數(shù)f(x)=的最大值是________. 【思維·引】求導(dǎo),求極值,求區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,通過比較求函數(shù)的最值.【解析】由f(x)=可得,f′(x)=,因?yàn)?1≤x≤1,所以2-x>0,當(dāng)-1≤x<0時(shí),f′(x)=<0,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)0<x≤1時(shí),f′(x)=>0,函數(shù)單調(diào)遞增,又f(1)=,f(-1)=e,故當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)取得最大值e.答案:e【內(nèi)化·悟】求函數(shù)在給定閉區(qū)間上的最值需要注意什么問題?提示:特別要注意自變量的取值范圍.【類題·通】　      求函數(shù)最值的四個(gè)步驟第一步,求函數(shù)f(x)的定義域.第二步,求f′(x),解方程f′(x)=0.第三步,列出關(guān)于x,f(x),f′(x)的變化表.第四步,求極值、端點(diǎn)值,確定最值.警示:不要忽視將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較.【習(xí)練·破】1.(2020·和平高二檢測(cè))函數(shù)f(x)=eln x-x在(0,2e]上的最大值為 (　　)A.1-e   B.-1   C.-e   D.0【解析】選D.根據(jù)條件可得f′(x)=-1,令f′(x)=0可得x=e,則當(dāng)0<x<e時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)e<x≤2e時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;則當(dāng)x=e時(shí),f(x)取極大值也為最大值,所以f(x)max=f(e)=eln e-e=0.2.已知函數(shù)f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))在[-2,2]上有最大值3,那么此函數(shù)在[-2,2]上的最小值為????????????? (　　)A.-37    B.-29    C.-5   D.-11【解析】選A.因?yàn)閒′(x)=6x2-12x=6x(x-2),由f′(x)=0得x=0或2.又f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,顯然f(0)>f(2)>f(-2),所以m=3,最小值為f(-2)=-37.【加練·固】函數(shù)f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是______,最小值是______. 【解析】因?yàn)閒′(x)==,令f′(x)=0可得x=1或-1.又因?yàn)閒(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以最大值為2,最小值為-2.答案:2　-2類型二　含參數(shù)的最值問題【典例】已知函數(shù)f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值.【思維·引】(1)求導(dǎo),求單調(diào)區(qū)間.(2)討論函數(shù)在[1,2]上的單調(diào)性,求最值.【解析】(1)f′(x)=-a(x>0),①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)=-a>0,即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞).②當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=-a=0,可得x=,當(dāng)0<x<時(shí),f′(x)=>0;當(dāng)x>時(shí),f′(x)=<0,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)①當(dāng)≤1,即a≥1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.②當(dāng)≥2,即0<a≤時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),所以f(x)的最小值是f(1)=-a.③當(dāng)1<<2,即<a<1時(shí),函數(shù)f(x)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).又f(2)-f(1)=ln 2-a.所以當(dāng)<a<ln 2時(shí),最小值是f(1)=-a;當(dāng)ln 2≤a<1時(shí),最小值為f(2)=ln 2-2a.綜上可知,當(dāng)0<a<ln 2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是-a;當(dāng)a≥ln 2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是ln 2-2a.【內(nèi)化·悟】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需要特別注意什么?提示:函數(shù)的定義域.(2)求函數(shù)在給定閉區(qū)間上的最值需特別注意什么?提示:求導(dǎo),判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.【類題·通】1.含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況(1)能根據(jù)條件確定出參數(shù),從而化為不含參數(shù)函數(shù)的最值問題.(2)對(duì)于不能求出參數(shù)值的問題,則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0,等于0,小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0,則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最值在端點(diǎn)處取得;若導(dǎo)函數(shù)可能等于0,則求出極值點(diǎn)后求極值,再與端點(diǎn)值比較后確定最值.2.已知函數(shù)最值求參數(shù)值(范圍)的思路已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維,一般先求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn),用參數(shù)表示出最值后求參數(shù)的值或范圍.【習(xí)練·破】已知函數(shù)g(x)=ex-2ax-b,求g(x)在[0,1]上的最小值.【解析】因?yàn)間′(x)=ex-2a,x∈[0,1],ex∈[1,e],所以:(1)若a≤,則2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,g(x)min=g(0)=1-b.(2)若<a<,則1<2a<e,于是當(dāng)0<x<ln(2a)時(shí),g′(x)=ex-2a<0,當(dāng)ln(2a)<x<1時(shí),g′(x)=ex-2a>0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,ln(2a)]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[ln(2a),1]上單調(diào)遞增,g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.(3)若a≥,則2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,g(x)min=g(1)=e-2a-b.綜上所述,當(dāng)a≤時(shí),g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(x)min=1-b;當(dāng)<a<時(shí),g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(x)min=2a-2aln(2a)-b;當(dāng)a≥時(shí),g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(x)min=e-2a-b.類型三　與最值有關(guān)的綜合問題角度1　求參數(shù)的范圍【典例】(2020·襄城高二檢測(cè))若函數(shù)f(x)=2x2-ln x在其定義域的一個(gè)子區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)存在最小值,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 【思維·引】利用函數(shù)的最小值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系求范圍.【解析】函數(shù)f(x)=2x2-ln x,x∈(0,+∞),所以f′(x)=4x-=,令f′(x)=0得,x=,由題意可知:解得1≤k<,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是:1≤k<.答案:【素養(yǎng)·探】在解答與最值相關(guān)的問題時(shí),往往對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行討論,需要用到核心素養(yǎng)中的邏輯推理.分情況表示最值或求參數(shù)的范圍.本例中的函數(shù)不變,試求區(qū)間上的最小值.【解析】函數(shù)f(x)=2x2-ln x,x∈(0,+∞),所以f′(x)=4x-=,令f′(x)=0得,x=.所以當(dāng)0<x<時(shí),f′<0,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)x>時(shí),f′>0,函數(shù)單調(diào)遞增.所以當(dāng)a≤時(shí),函數(shù)有最小值f=f=2a2-ln a;當(dāng)a>時(shí),函數(shù)有最小值f=f=+ln 2.角度2　探究問題【典例】(2020·桂林高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=x-aln x+b(a≠0,b∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)是否存在正實(shí)數(shù)a,b,且b≤,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]的值域?yàn)?/span>[2,e]?若存在,求出a,b的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【思維·引】(1)先求導(dǎo),再根據(jù)a的不同取值情況討論;(2)借助函數(shù)的單調(diào)性,分別表示出值域后求a,b的值.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞).f′(x)=1-=,①當(dāng)a<0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;②當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)>0,則x>a,故函數(shù)f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減.(2)①當(dāng)1<a<e時(shí),f(x)在[1,a]上單調(diào)遞減,在(a,e]上單調(diào)遞增,由f(1)=1+b≤1+=<e,所以必有可得令g(x)=2x-xln x-2(1<x<e),g′(x)=1-ln x>0,故函數(shù)g(x)在(1,e)上單調(diào)遞增.又由g(1)=0,故當(dāng)1<a<e時(shí),2a-aln a>2,不存在a使得2a-aln a=2.②當(dāng)a≥e時(shí),f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,得a=2e-3,b=e-1>,不合題意,舍去;③當(dāng)a<0時(shí),由(1)可知f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,所以解得a=1,b=1,不合題意,舍去;④當(dāng)0<a≤1時(shí),由(1)可知f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,所以解得a=1,b=1,符合題意.綜上所述,滿足條件a,b的值為a=1,b=1.【類題·通】1.關(guān)于與最值有關(guān)的參數(shù)問題一般從單調(diào)區(qū)間對(duì)參數(shù)的影響,最值的大小對(duì)參數(shù)的影響兩個(gè)方面討論.關(guān)鍵是弄清函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的單調(diào)性決定了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值的取值.2.關(guān)于與最值有關(guān)的探究問題可以假定存在,根據(jù)已知條件表示出相關(guān)的量,再求參數(shù)的值,如果有解,則說明存在,否則不存在.【習(xí)練·破】1.f(x)=x3+f′(1)x2+1,f(x)在(-2,m)上有最大值,則m的最大值為________. 【解析】因?yàn)閒(x)=x3+f′(1)x2+1,所以f′(x)=3x2+2f′(1)x,因此f′(1)=3+2f′(1),解得f′(1)=-3,所以f′(x)=3x2-6x,由f′(x)=3x2-6x>0得x>2或x<0;由f′(x)=3x2-6x<0得0<x<2,所以函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增;所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取極大值f(0)=1,由f(x)=x3-3x2+1=1得x=0或x=3;又f(x)在(-2,m)上有最大值,所以只需0<m≤3.答案:32.(2020·徐州高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=x2+ax-ln x(a∈R).(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求實(shí)數(shù)a的值;(2)令函數(shù)g(x)=f(x)-x2(x∈(0,e]),是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)g(x)的最小值是4?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)f′(x)=2x+a-,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極值,所以f′(1)=2+a-1=0,解得a=-1.(2)g(x)=f(x)-x2=ax-ln x,x∈(0,e],假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)g(x)的最小值是4.即a≥,x∈(0,e],令h(x)=,x∈(0,e],h′(x)=-,可得x=時(shí),函數(shù)h(x)取得極大值即最大值.h=e3.所以a≥e3.所以存在實(shí)數(shù)a=e3,使函數(shù)g(x)的最小值是4.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.函數(shù)f(x)=ex-x在區(qū)間[-1,1]上的最大值是 (　　)A.1+   B.1   C.e+1   D.e-1【解析】選D.f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f′(x)≤0;當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f′(x)≥0.所以 f(x)在[-1,0]上遞減,在[0,1]上遞增.又因?yàn)閒(-1)=+1,f(1)=e-1,所以f(-1)-f(1)=2+-e<0,即f(-1)<f(1).所以f(x)max=f(1)=e-1.2.函數(shù)y=f(x)=ln x-x在區(qū)間(0,e]上的最大值為 (　　)A.-e   B.1-e   C.-1   D.0【解析】選C.y′=-1,令y′=0,得x=1,列表如下:x(0,1)1(1,e)ey′+0- y↗-1↘1-e從而y最大值=f(1)=-1.3.函數(shù)y=x+2cos x在上取最大值時(shí),x的值為 (　　)A.0   B.   C.   D.【解析】選B.因?yàn)閥′=1-2sin x,解y′>0得sin x<,故0≤x<,解y′<0得sin x>,故<x≤,所以原函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)x=時(shí)函數(shù)取極大值,同時(shí)也為最大值.4.函數(shù)f(x)=(1+x)ex的最小值為________. 【解析】f′(x)=ex+(1+x)ex=ex(x+2),令f′(x)=0得,x=-2,當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-2,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,最小值為f(-2)=-e-2.答案:-e-2【新情境·新思維】若函數(shù)f(x)=x3-3x-a在區(qū)間[0,3]上的最大值、最小值分別為m,n,則m-n=______. 【解析】f′(x)=3x2-3,得當(dāng)x>1或x<-1時(shí),f′(x)>0;當(dāng)-1<x<1時(shí),f′(x)<0.所以f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,3]上單調(diào)遞增.所以f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.又f(0)=-a,f(3)=18-a,所以f(0)<f(3).所以f(x)max=f(3)=18-a=m,所以m-n=18-a-(-2-a)=20.答案:20

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人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)6.1.3 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)學(xué)案

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)電子課本

6.2.2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第三冊(cè)

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