6.1.3　基本初等函數(shù)的導數(shù)新版課程標準學業(yè)水平要求1.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的導數(shù)2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,求簡單函數(shù)的導數(shù)3.會使用導數(shù)公式表1.借助教材實例了解利用定義求函數(shù)的導數(shù).(數(shù)學運算)2.掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,并會利用公式求簡單函數(shù)的導數(shù).(數(shù)學運算)3.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)、解決與曲線的切線有關的問題.(數(shù)學運算)必備知識·素養(yǎng)奠基1.導函數(shù)一般地,如果函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)的每一個點x都可導,則稱f(x)可導,此時,對定義域內(nèi)的每一個值x,都對應一個確定的導數(shù)f′(x),于是,在f(x)的定義域內(nèi),f′(x)是一個函數(shù),這個函數(shù)通常稱為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),記作:f′(x)(或y′,y′x),即f′(x)=y′=y′x=.2.幾個常用函數(shù)的導數(shù)函數(shù)f(x)=C,其中C是常數(shù)f(x)=xf(x)=x2f(x)=x3f(x)=f(x)=導數(shù)f′(x)=0f′(x)=1f′(x)=2xf′(x)=3x2f′(x)=-f′(x)=3.常用函數(shù)的導數(shù)公式,其中C,α,a均為常數(shù),a>0,且a≠1函數(shù)導數(shù)函數(shù)導數(shù)f(x)=Cf′(x)=0f(x)=axf′(x)=ax ln af(x)=xαf′(x)=αxα-1f(x)=exf′(x)=exf(x)=sin xf′(x)=cos xf(x)=logaxf′(x)=f(x)=cos xf′(x)=-sin xf(x)=ln xf′(x)=(1)函數(shù)f(x)=ax的導數(shù)與函數(shù)f(x)=ex的導數(shù)之間有什么關系?提示:f(x)=ex是底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù),是特殊的指數(shù)函數(shù),所以其導數(shù)f′(x)=ex也是f′(x)=axlna當a=e時的特殊情況.(2)函數(shù)f(x)=logax與f(x)=lnx的導數(shù)之間有何關系?提示:f(x)=lnx是f(x)=logax的一個特例,f(x)=lnx的導數(shù)也是f(x)=logax的導數(shù)的特例.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)(sinx)′=-cos x. (　　)(2)′=. (　　)(3)(log5x)′=. (　　)(4)(lnx)′=. (　　)提示:(1)×.(sin x)′=cos x.(2)×.′=(x-1)′=-x-2=-.(3)×.(log5x)′=.(4)√.2.已知f(x)=x2,則f′(3)等于 (　　)A.0　　　　B.2x　　　　C.6　　　　D.9【解析】選C.因為f(x)=x2,所以f′(x)=2x,所以f′(3)=6.關鍵能力·素養(yǎng)形成類型一　利用導數(shù)公式計算導數(shù)【典例】1.f(x)=a3(a>0,a≠1),則f′(2)= (　　)A.8　　　　B.12　　　　C.8ln 3　　　　D.02.已知f(x)=,則f′(1)= (　　)A.1  B.-1  C.3  D.-33.求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=x6. (2)y=2x. (3)y=log3x. (4)y=.【思維·引】運用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式.【解析】1.選D.f(x)=a3(a>0,a≠1)是常數(shù)函數(shù),所以f′(x)=0.所以f′(2)=0.2.選D.f(x)==x-3,所以f′(x)=-3x-4,所以f′(1)=-3.3.(1)y′=(x6)′=6x5.(2)y′=(2x)′=2xln 2.(3)y′ =(log3x)′ = .(4)y′=′=(x-2)′=-2x-3.　【內(nèi)化·悟】　運用導數(shù)公式求導需注意什么問題?提示:認真審題,確定函數(shù)類型,準確選擇公式計算.　【類題·通】　運用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求導的注意事項(1)對于簡單的函數(shù),直接套用公式;(2)對于較為復雜,不能直接套用公式的,可先把題中函數(shù)恒等變形為基本初等函數(shù),再求導.　【習練·破】1.已知函數(shù)f(x)=cos,則f′(x)= (　　)A.sin　　　B.-sin　　　C.cos　　D.0【解析】選D.f(x)=cos=-,所以f′(x)=0.2.已知f(x)=,則f′=________. 【解析】因為f(x)=,所以f′(x)=,所以f′=×=.答案:【加練·固】若函數(shù)f(x)=,則f′(1)= (　　)A.0　　　　B.-　　　　C.1　　　　D.【解析】選B.因為f(x)=,所以f′(x)=-,f′(1)=-.類型二　導數(shù)公式的應用【典例】1.曲線y=在點處的切線方程為 (　　)A.4x-4y+2-1=0B.4x-4y+1=0C.4x-4y+2-=0D.4x+4y-3=02.設曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=(x>0)上點P處的切線垂直,則點P處的切線方程為________. 【思維·引】1.求函數(shù)y=在x=處的導數(shù),即為切線的斜率.2.先求函數(shù)y=ex在x=0的導數(shù),依題意求出函數(shù)y=(x>0)上點P處的導數(shù),從而求出點P的坐標.【解析】1.選B.由于y=,所以y′=,于是y′=1,所以曲線在點處的切線的斜率等于1,切線方程為4x-4y+1=0.2.由題意知,y′=ex,曲線在點(0,1)處的斜率k1=e0=1,設P(m,n),y=(x>0)的導數(shù)為y′=-(x>0),曲線y=(x>0)在點P處的切線斜率k2=-(m>0),由題意知k1k2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即點P的坐標為(1,1),k2=-1.點P處的切線方程為x+y-2=0.答案:x+y-2=0　【內(nèi)化·悟】　應用導數(shù)公式求切線方程的關鍵是什么?提示:確定切點,求函數(shù)在切點處的導數(shù),即切線的斜率.　【類題·通】　利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點是切點,則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(shù).(2)如果已知點不是切點,則應先設出切點,再借助兩點連線的斜率公式進行求解.【習練·破】(2020·全國Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(1,f(1))處的切線方程為(　　)A.y=-2x-1  B.y=-2x+1C.y=2x-3   D.y=2x+1【解題指南】求得函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x),計算出f(1)和f′(1)的值,可得出所求切線的點斜式方程,化簡即可.【解析】選B.因為f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切線的方程為y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.【加練·固】函數(shù)f(x)=x3的斜率等于1的切線有________條. (　　) A.1　　　B.2　　　C.多于兩個　　　D.不能確定【解析】選B.因為f′(x)=3x2,所以令3x2=1,得x=±.所以可得切點坐標為和.所以f(x)=x3有兩條斜率為1的切線.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.下列結論不正確的是 (　　)A.若y=3,則y′=0B.若y=,則y′=-C.若y=-,則y′=-D.若y=3x,則y′=3【解析】選B.y′=′=()′=-=- .2.若y=ln x,則其圖象在x=2處的切線斜率是 (　　)A.1　　　　　B.0　　　　　C.2　　　　　D.【解析】選D.因為y′=,所以y′x=2=,故圖象在x=2處的切線斜率為.3.若y=sin x,則y′= (　　)A.   B.-  C.  D.-【解析】選A.y′=cos x,y′=cos=.4.曲線y=ln x與x軸交點處的切線方程是________. 【解析】因為曲線y=ln x與x軸的交點為(1,0),所以y′=1,切線的斜率為1,所求切線方程為y=x-1.答案:y=x-1

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6.1.3 基本初等函數(shù)的導數(shù)

版本： 人教B版 (2019)

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