高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修第三冊6.2.2 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值課前預習ppt課件-課件下載-教習網(wǎng)

6.2.2　導數(shù)與函數(shù)的極值、最值激趣誘思知識點撥“極大”與“極小”都是文藝復興時期德意志庫薩的尼古拉的用語.尼古拉認為一個事物,如果沒有比它更大的事物存在,就叫做最大或極大,極大與極小是對立一致的.那么數(shù)學中“極大值”與“極小值”又是如何界定的呢?激趣誘思知識點撥一、函數(shù)的導數(shù)與極值1.極值點與極值一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,設(shè)x0∈D,如果對于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)f(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)的一個極小值點,且f(x)在x0處取極小值.極大值點與極小值點都稱為極值點,極大值與極小值都稱為極值.顯然,極大值點在其附近函數(shù)值最大,極小值點在其附近函數(shù)值最小.激趣誘思知識點撥2.極值點的求法一般地,如果x0是y=f(x)的極值點,且f(x)在x0處可導,則必有f'(x0)=0.名師點析求函數(shù)y=f(x)極值的步驟第1步,求導數(shù)f'(x).第2步,求方程f'(x)=0的所有實數(shù)根.第3步,考察在每個根x0附近,從左到右,導函數(shù)f'(x)的符號如何變化.如果f'(x)的符號由正變負,則f(x0)是極大值;如果由負變正,則f(x0)是極小值.如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右側(cè),f'(x)的符號不變,則f(x0)不是極值.激趣誘思知識點撥微思考1(1)函數(shù)是否一定存在極值?若存在,是否是唯一的?(2)極大值是否一定比極小值大?(3)函數(shù)的極值點是否可以出現(xiàn)在區(qū)間的端點?提示:(1)在一個給定的區(qū)間上,函數(shù)可能存在若干個極值,也可能不存在極值;函數(shù)可以只有極大值沒有極小值,或者只有極小值沒有極大值,也可能既有極大值又有極小值.(2)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系,即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值.(3)不可以,函數(shù)在一個區(qū)間的端點處一定不可能取得極值,因為不符合極值點的定義.激趣誘思知識點撥微思考2(1)導數(shù)為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎?(2)函數(shù)在極值點處的導數(shù)一定等于0嗎?提示:(1)不一定,例如對于函數(shù)f(x)=x3,雖有f'(0)=0,但x=0并不是f(x)=x3的極值點,要使導數(shù)為0的點成為極值點,還必須滿足其他條件.(2)不一定,例如函數(shù)f(x)=|x-1|,它在x=1處取得極小值,但它在x=1處不可導,就更談不上導數(shù)等于0了.但對可導函數(shù)來說,極值點處的導數(shù)值一定等于0.激趣誘思知識點撥二、函數(shù)的最值函數(shù)f(x)的最大(小)值是函數(shù)定義域內(nèi)最大(小)的函數(shù)值.名師點析求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步驟第1步,求f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)所有使f'(x)=0的點.第2步,計算函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)使f'(x)=0的所有點和端點的函數(shù)值,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.激趣誘思知識點撥微思考函數(shù)極值與最值有什么聯(lián)系與區(qū)別?提示:(1)函數(shù)的極值是表示函數(shù)在某一點附近的變化情況,是在局部上對函數(shù)值的比較,具有相對性;而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個定義域上的情況,是對整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較,具有絕對性.(2)函數(shù)在一個閉區(qū)間上若存在最大值或最小值,則最大值或最小值最多只能各有一個,具有唯一性;而極大值和極小值可能多于一個,也可能沒有,例如:常函數(shù)就沒有極大值,也沒有極小值.(3)極值只能在函數(shù)的定義域內(nèi)部取得,而最值可以在區(qū)間的端點處取得.有極值的不一定有最值,有最值的不一定有極值,極值有可能成為最值,最值只要不是在端點處取到,則一定是某個極值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用導數(shù)求函數(shù)的極值例1求下列函數(shù)的極值:(1)f(x)=1+3x-x3;(3)f(x)=x2e-x.思路分析按照求極值的方法,首先從方程f'(x)=0入手,求出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)所有可解的極值點,然后按極值的定義判斷并求值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)函數(shù)定義域為R,且f'(x)=3-3x2,令f'(x)=0,得x=±1.當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:所以f(x)在x=-1處取極小值-1,在x=1處取極大值3.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(3)函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=x(2-x)e-x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:從表中可以看出,當x=0時,函數(shù)有極小值,且f(0)=0;當x=2時,函數(shù)有極大值,且f(2)=4e-2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟求函數(shù)極值的解題策略求函數(shù)的極值必須嚴格按照求函數(shù)極值的步驟進行,其重點是列表判斷導數(shù)為零的點的左右兩側(cè)的導數(shù)值是不是異號,若異號,則是極值;否則,不是極值.另外,在求函數(shù)的極值前,首先要研究函數(shù)的定義域.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),當a∈R且a≠ 時,求函數(shù)的極值.解:f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.由a≠ 知,-2a≠a-2.以下分兩種情況討論:若a> ,則-2a1時,f'(x)0,x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測所以當x=0時,f(x)取得最大值.所以b=3.又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),所以當x=2時,f(x)取得最小值,所以-16a+3=-29,即a=2.②當a