2020-2021學(xué)年6.3 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

6.3　利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題最新課程標(biāo)準(zhǔn) 1.了解導(dǎo)數(shù)在解決利潤(rùn)最大、效率最高、用料最省等實(shí)際問題中的作用．(重點(diǎn))2．能利用導(dǎo)數(shù)求出某些實(shí)際問題的最大值(最小值)．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))[教材要點(diǎn)]知識(shí)點(diǎn)一　最優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求________、________、________等問題，這些問題通常稱為最優(yōu)化問題．知識(shí)點(diǎn)二　用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題的基本思路 [基礎(chǔ)自測(cè)]1．做一個(gè)容積為256 m3的方底無蓋水箱，所用材料最省時(shí)，它的高為(　　)A．6 m B．8 mC．4 m D．2 m2．某箱子的體積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2(0<x<60)，則當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為(　　)A．30 B．40C．50 D．603．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為(　　)A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件4．某一件商品的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為________元時(shí)，利潤(rùn)最大．題型一　面積、體積的最值問題例1　請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．　弄清題意，根據(jù)“側(cè)面積＝4×底面邊長(zhǎng)×高”和“體積＝底面邊長(zhǎng)的平方×高”這兩個(gè)等量關(guān)系，用x將等量關(guān)系中的相關(guān)量表示出來，建立函數(shù)關(guān)系式，然后求最值．方法歸納1．解決面積、體積最值問題的思路要正確引入變量，將面積或體積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．2．解決優(yōu)化問題時(shí)應(yīng)注意的問題(1)列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，注意實(shí)際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域；(2)一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值．如果函數(shù)f(x)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)或函數(shù)f(x)在開區(qū)間上只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0，則只要根據(jù)實(shí)際意義判斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較．跟蹤訓(xùn)練1　將一張2×6 m的矩形鋼板按如圖所示劃線，要求①至⑦全為矩形，且左右對(duì)稱、上下對(duì)稱，沿線裁去陰影部分，把剩余部分焊接成一個(gè)以⑦為底，⑤⑥為蓋的水箱，設(shè)水箱的高為x m，容積為y m3.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)x取何值時(shí)，水箱的容積最大．題型二　用料最省、成本(費(fèi)用)最低問題例2　位于A，B兩點(diǎn)處的甲、乙兩村合用一個(gè)變壓器，如圖所示，若兩村用同型號(hào)線架設(shè)輸電線路，問變壓器設(shè)在輸電干線何處時(shí)，所需電線總長(zhǎng)最短．　可設(shè)CD＝x km，則CE＝(3－x)km，利用勾股定理得出AC，BC的長(zhǎng)，從而構(gòu)造出所需電線總長(zhǎng)度的函數(shù)．方法歸納1．用料最省、成本(費(fèi)用)最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對(duì)象．正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答．2．利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0時(shí)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大(小)值．跟蹤訓(xùn)練2　甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時(shí)，已知該汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本P(元)關(guān)于速度v(千米/時(shí))的函數(shù)關(guān)系是P＝v4－v3＋15v，(1)求全程運(yùn)輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式；(2)為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車應(yīng)以多大速度行駛？并求此時(shí)運(yùn)輸成本的最小值．題型三　利潤(rùn)最大、效率最高問題　在實(shí)際問題中，如果在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在該點(diǎn)處取最值嗎？[提示]　根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以判斷，函數(shù)在該點(diǎn)處取最值，并且極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最小值，極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大值．例3　某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．　(1)根據(jù)x＝5時(shí)，y＝11，求a的值．(2)把每日的利潤(rùn)表示為銷售價(jià)格x的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求最大值．方法歸納1．經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟(jì)生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤(rùn)及利潤(rùn)增減的快慢，以產(chǎn)量或單價(jià)為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動(dòng)．2．關(guān)于利潤(rùn)問題常用的兩個(gè)等量關(guān)系(1)利潤(rùn)＝收入－成本．(2)利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷售件數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3　某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格p(元/噸)之間的關(guān)系式為：p＝24 200－x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R＝50 000＋200x(元)．問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？溫馨提示：請(qǐng)完成課時(shí)分層作業(yè)(十七)章末質(zhì)量檢測(cè)模塊質(zhì)量檢測(cè)6．3　利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題新知初探·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一利潤(rùn)最大　用料最省　效率最高知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)　導(dǎo)數(shù)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x m，高為h m，則有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面積設(shè)為S m2，則有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．答案：C2．解析：V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，因?yàn)?/span>0＜x＜60，所以當(dāng)0＜x＜40時(shí)，V′(x)>0，此時(shí)V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)40<x<60時(shí)，V′(x)<0，此時(shí)V(x)單調(diào)遞減，所以x＝40是V(x)的極大值，即當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為40.答案：B3．解析：因?yàn)?/span>y′＝－x2＋81，所以當(dāng)x＞9時(shí)，y′＜0；當(dāng)0＜x＜9時(shí)，y′＞0，所以函數(shù)y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增，所以x＝9時(shí)函數(shù)取最大值．答案：C4．解析：利潤(rùn)為S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，這時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大．答案：115課堂探究·素養(yǎng)提升例1　解析：設(shè)包裝盒的高為h cm，底面邊長(zhǎng)為a cm.由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′＜0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值．此時(shí)＝，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為.跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)由水箱的高為x m，得水箱底面的寬為(2－2x) m，長(zhǎng)為＝(3－x) m.故水箱的容積為y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)．(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，解得x＝(舍去)或x＝.因?yàn)?/span>y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x的值為時(shí)，水箱的容積最大．例2　解析：設(shè)CD＝x km，則CE＝(3－x)km.則所需電線總長(zhǎng)l＝AC＋BC＝＋(0≤x≤3)，從而l′＝－.令l′＝0，即－＝0，解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．因?yàn)樵?/span>[0,3]上使l′＝0的點(diǎn)只有x＝1.2，所以根據(jù)實(shí)際意義，知x＝1.2就是我們所求的最小值點(diǎn)，即變壓器設(shè)在DE之間離點(diǎn)D的距離為1.2 km處時(shí)，所需電線總長(zhǎng)最短．跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)Q＝P·＝·＝·400＝－v2＋6 000(0<v≤100)．(2)Q′＝－5v，令Q′＝0，則v＝0(舍去)或v＝80，當(dāng)0<v<80時(shí)，Q′<0；當(dāng)80<v≤100時(shí)，Q′>0，∴v＝80千米/時(shí)時(shí)，全程運(yùn)輸成本取得極小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝(元)．例3　解析：(1)因?yàn)?/span>x＝5時(shí)，y＝11，所以＋10＝11，故a＝2.(2)由(1)知，該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.故當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．跟蹤訓(xùn)練3　解析：每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤(rùn)為f(x)＝x－(50 000＋200x)＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)，由f′(x)＝－x2＋24 000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．因?yàn)?/span>f(x)在[0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，故每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315萬元．

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