等比數(shù)列的前n項和(30分鐘　60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知等比數(shù)列{an}滿足a3=4,a6=32,則其前6項的和為 (　　)A.31   B.63   C.127   D.128【解析】選B.由題意,等比數(shù)列{an}滿足a3=4,a6=32,則q3==8,所以q=2,所以a1==1,所以S6==63.2.在等比數(shù)列{an}中,公比q=-2,S5=44,則a1= (　　)A.4   B.-4   C.2   D.-2【解析】選A.由S5===44,所以a1=4.3.(2019·深圳高一檢測)在等比數(shù)列中,若a1-a5=-,前四項的和S4=-5,則a4= (　　)A.1   B.-1   C.   D.-【解析】選A.根據(jù)題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為q,若a1-a5=-,即a1=-,若其前四項的和S4=-5,則有S4==-5,解可得q=-,又由a1=-,則a1=-8,則a4=a1×q3=(-8)×=1.4.已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和.已知a2a4=4,S3=,則S5= (　　)A.   B.   C.   D.【解析】選C.由等比數(shù)列性質(zhì)可得:a2a4==4,又{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,所以a3=a1q2=2且q>0,S3==a1(1+q+q2)=.所以a1=,q=2, 所以S5==.5.(2019·銅仁高一檢測)已知{an}是正項等比數(shù)列,a1+a2=3,a3+a4=12,則該數(shù)列的前5項和等于????????????? (　　)A.15   B.31   C.63   D.127【解析】選B.設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),因為a1+a2=3,a3+a4=12,即,解得a1=1,q=2,所以數(shù)列{an}的前5項和為S5==31.6.設(shè)正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且<1,若a3+a5=20,a3a5=64,則S4等于 (　　)A.63或120  B.256C.120    D.63【解析】選C.由已知解得或又因為<1,所以{an}為遞減數(shù)列,則設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q2==,因為數(shù)列為正項數(shù)列,故q=,從而a1=64,所以S4==120.二、填空題(每小題5分,共10分)7.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和,已知a2a4=1,S3=7,則S5=________. 【解析】因為{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,且a2a4=1,所以設(shè){an}的公比為q,則q>0,且a2a4==1,即a3=1.因為S3=7,所以a1+a2+a3=++1=7,即6q2-q-1=0.故q=或q=-(舍去),所以a1==4.所以S5==8×=.答案:8.等比數(shù)列{an}的前5項和S5=10,前10項和S10=50,則它的前15項和S15=________. 【解析】由S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列,得(S10-S5)2=S5(S15-S10),即402=10(S15-50),得S15=210.答案:210三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),若bn=an+1-2an,求證:{bn}是等比數(shù)列.【證明】因為an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an, 所以====2,因為S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5,b1=a2-2a1=3,所以數(shù)列{bn}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列.10.已知數(shù)列{an}的首項a1=,an+1=,n∈N*.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列.(2)記Sn=++…+,若Sn<100,求最大正整數(shù)n.【解析】(1)因為=+,所以-1=-=.又因為-1≠0,所以-1≠0(n∈N*).所以數(shù)列為等比數(shù)列. (2)由(1)得-1=·,所以=2·+1,Sn=++…+=n+2=n+2·=n+1-,若Sn<100,則n+1-<100,因為函數(shù)y= n+1-單調(diào)遞增,所以最大正整數(shù)n的值為99.(45分鐘　75分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且9S3=S6,a2=1,則a1= (　　)A.   B.  C.   D.2【解析】選A.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,q≠1,因為9S3=S6,a2=1,所以=,a1q=1.解得q=2,a1=.2.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1= (　　)A.   B.-   C.   D.-【解析】選C.由題意可知,a1+a2+a3=a2+10a1,a3=9a1,解得q2=9,又因為a5=a1q4=9,則a1×81=9,求得a1=.3.設(shè)等比數(shù)列{bn}前n項和為Sn,若=7,則= (　　)A.2  B.   C.  D.【解析】選B.由等比數(shù)列前n項和性質(zhì)可知:S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列.設(shè)S3=k,則S6=7k,所以==6,所以=6,即S9-S6=36k,所以S9=43k,所以==.4.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初日健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細算相還”.其大意為:“有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地”.則該人第五天走的路程為 (　　)A.6里   B.12里  C.24里  D.48里【解析】選B.記每天走的路程里數(shù)為{an},由已知{an}是公比為的等比數(shù)列,由S6==378,解得a1=192,所以a5=192×=12(里).【補償訓(xùn)練】(2017·全國卷Ⅰ)我國古代數(shù)學(xué)　　 名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈????????????? (　　)A.1盞　　B.3盞　　C.5盞　　D.9盞【解析】選B.塔的頂層共有燈x盞,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個公比為2的等比數(shù)列,由=381,得x=3.5.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足an>0,q>1,且a3+a5=20,a2a6=64,則S6= (　　)A.63   B.48   C.42   D.36【解析】選A.由題意可知,有化簡得2q2-5q+2=0,解得或(舍)因此a1=1,S6===26-1=63.【一題多解】選A.由a2·a6=a3·a5=64,且a3+a5=20,所以a3,a5是一元二次方程x2-20x+64=0的兩根.因為q>1,所以a5>a3,得a3=4,a5=16,q2==4,q=2,a1==1.所以S6==63.二、填空題(每小題5分,共20分)6.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=-,若=,則a2·a4=________. 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,若q=1,則=2,不合題意;故q≠1.又==1+q3=,所以q=-,所以a2a4=q4=×=.答案:7.在數(shù)列中,a1=2,an+1=2an,Sn為的前n項和,若Sn=126,則n=____________. 【解析】因為=2,所以數(shù)列{an}是首項a1=2,公比q=2的等比數(shù)列, Sn==126,即2n+1=128,解得n=6.答案:68.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn是其前n項的和,若a2·a7=128,a4=8,則Sn=________. 【解析】由a2·a7=128,a4=8,則數(shù)列各項均為正.得:即解得: 則Sn==2n-1.答案: 2n-19.(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=,=a6,則S5=__________. 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知a1=,a42=a6,所以=q5,又q≠0,所以q=3,所以S5===.答案:三、解答題(每小題10分,共30分)10.已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+2(n∈N*),且a1=2.(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.【解析】(1)因為==3,a1+1=3,所以{an+1}是首項為3,公比為3的等比數(shù)列.(2)由(1)可得an+1=3n,所以an=3n-1.Sn=-n=-n.【補償訓(xùn)練】　　 在數(shù)列{an}中,Sn=1+kan(k≠0,且k≠1).(1)證明:數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(2)求通項an.(3)當(dāng)k=-1時,求++…+.【解析】(1)因為Sn=1+kan,①Sn-1=1+kan-1,②①-②得Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2).所以(k-1)an=kan-1,=為常數(shù),n≥2.所以{an}是公比為的等比數(shù)列.(2)因為S1=a1=1+ka1,所以a1=.所以an=·=-.(3)因為{an}中a1=,q=,所以{}是首項為,公比為的等比數(shù)列.當(dāng)k=-1時,等比數(shù)列{}的首項為,公比為,所以++…+==.11.(2019·南昌高一檢測)已知等差數(shù)列{an}滿足a7=4,a11=6.(1)求{an}的通項公式an.(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b1=a3,b4=a31,求{bn}的前n項和Tn.【解析】(1)由題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,可得,解得,故{an}的通項公式an=1+=.(2)由(1)得b1=a3=2,b4=a31=16.設(shè){bn}的公比為q,則q3==8,所以q=2,所以數(shù)列{bn}的前n項和為Tn==2n+1-2.12.在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n>1時,2an+anan-1-an-1=0,數(shù)列{an}的前n項和為Sn.求證:(1)數(shù)列{+1} 是等比數(shù)列.(2)Sn<2.【證明】(1)方法一(定義法):因為a1=1,當(dāng)n>1時,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,所以an(2+an-1)=an-1,an=,=+1=+1=,所以===2,又因為+1=2,所以是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.方法二(構(gòu)造新數(shù)列):因為a1=1,當(dāng)n>1時,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,兩邊同時除以anan-1得+1-=0,整理得-2=1,所以+1=2,即=2(常數(shù)),又因為+1=2,所以{+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.方法三(換元法):因為a1=1,當(dāng)n>1時,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,兩邊同時除以anan-1得+1-=0,令bn=,則2bn-1+1-bn=0,所以bn+1=2(bn-1+1),即=2,又因為b1+1=+1=2,所以{bn+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,即{+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)及已知得,+1=2n,所以an=(n=1符合),Sn=1+++…+<1+++…+=1+=2-<2.  

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