等差數(shù)列的前n項和(30分鐘　60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知等差數(shù)列{an}的前10項和為30,a6=8,則a100= (　　)A.100   B.958   C.948   D.18【解析】選C.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知解得所以a100=-42+99×10=948.2.已知等差數(shù)列{an}的公差為3,且a1+a3=8,則數(shù)列{an}的前4項的和S4的值為 (　　)A.10   B.16   C.22   D.35【解析】選C.因為等差數(shù)列{an}的公差為3,且a1+a3=8,所以2a1+2×3=8,所以a1=1,所以S4=4×1+×3=22.3.(2019·玉溪高二檢測)已知等差數(shù)列的前n項和Sn,且S3=S5=15,則S7= (　　)A.4   B.7   C.14   D.【解析】選B.等差數(shù)列的前n項和為Sn,且S3=S5=15,所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.再根據(jù)S3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=-2,則S7=7a1+d=49+21×(-2)=7.4.(2019·大慶高一檢測)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,則S9= (　　)A.45   B.162   C.81   D.【解析】選C.因為在等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.所以S9==9a5=81.5.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=,則下列結(jié)論中正確的是 (　　)A.=2    B.=C.=    D.=【解析】選C.由已知Sn=an,Sn-1=an-1(n≥2),兩式相減可得an=an-an-1(n≥2),化簡得=(n≥2),當n=3時,=.6.數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2+n(n∈N*),則an= (　　)A.2n-1   B.2n+1C.4n-1   D.3n+2【解析】選C.因為數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2+n,所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,當n=1時,a1=S1=3,符合上式,所以綜上an=4n-1.二、填空題(每小題5分,共10分)7.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S3=6,S4=12,則S6=________. 【解析】方法一:設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,由S3=6,S4=12,得解得所以S6=6a1+15d=30.方法二:因為{an}為等差數(shù)列,可設(shè)前n項和Sn=An2+Bn,由S3=6,S4=12得解得即Sn=n2-n,所以S6=36-6=30.答案:308.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S8=32,則a2+2a5+a6=__________. 【解析】因為S8=32,所以=32.可得a4+a5=a1+a8=8,則a2+2a5+a6=2(a4+a5)=2×8=16.答案:16三、解答題(每小題10分,共20分)9.在各項為正的等差數(shù)列{an}中,已知公差d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.【解析】由題意得即解得或(舍去)故10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).(1)證明:an+2-an=λ.(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.【解析】(1)由anan+1=λSn-1知,an+1an+2=λSn+1-1,兩式相減得,an+1(an+2-an)=λan+1,又因為an+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.所以an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;{a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得{an}為等差數(shù)列.(45分鐘　75分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知等差數(shù)列{1-3n},則公差d等于 (　　)A.1   B.3   C.-3   D.n【解析】選C.因為an=1-3n,所以a1=-2,a2=-5,所以d=a2-a1=-3.2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S17=255,a10=20,則數(shù)列{an}的公差為 (　　)A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選C.根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,可得S17=×17=17a9=255,可得a9=15,又a10=20,所以d=a10-a9=20-15=5.3.等差數(shù)列中,Sn是前n項和,若a3+a8=5,S9=45,則S11= (　　)A.0   B.10   C.20   D.25【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,因為,所以,即,解得,則S11=25×11-×5=0.故選A.4.已知等差數(shù)列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,則數(shù)列{bn}的前5項和等于 (　　)A.30   B.45   C.90   D.186【解析】選C.因為所以故所以an=a1+(n-1)d=3n,故bn=a2n=6n,則因此{bn}的前5項和為S5=5×6+×6=90.5.(2019·定州高一檢測)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a5=3,S13=91,則S11= (　　)A.36   B.72   C.55   D.110【解析】選C.因為S13==13a7=91,所以a7=7,因為a5=3,所以a5+a7=10,因為a1+a11=a5+a7=10,所以S11==55.二、填空題(每小題5分,共20分)6.(2019·全國卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,a1≠0,a2=3a1,則= ________. 【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為d,因為a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以====4.答案:47.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-8n,n=1,2,3,…,則滿足an>0的n的最小值為________. 【解析】(1)當n=1時,a1=S1=12-8=-7.(2)當n>1時,由Sn=n2-8n得:Sn-1=(n-1)2-8(n-1)=n2-10n+9,兩式相減,得:an=2n-9,n=1也符合,由an=2n-9>0,得:n>4.5,所以,滿足an>0的n的最小值為5.答案:58.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-2n+3,則an=________. 【解析】當n=1時,a1=S1=2,當n≥2,an=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,故an=答案:9.我國古代,9是數(shù)字之極,代表尊貴之意,所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計.例如,北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖所示),最高一層是一塊天心石,圍繞它的第一圈有9塊石板,從第二圈開始,每一圈比前一圈多9塊,共有9圈,則前9圈的石板總數(shù)是________.  【解析】因為最高一層的中心是一塊天心石,圍繞它的第一圈有9塊石板,從第二圈開始,每一圈比前一圈多9塊,共有9圈,則每圈的石板數(shù)構(gòu)成一個以9為首項,以9為公差的等差數(shù)列,所以an=9n,當n=9時,第9圈共有81塊石板,所以前9圈的石板總數(shù)S9=(9+81)=405.答案:405三、解答題(每小題10分,共30分)10.等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,已知a10=30,a20=50.(1)求通項an.(2)令Sn=242,求n.【解析】(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程組解得所以an=2n+10.(2)由Sn=na1+·d,Sn=242,得方程12n+×2=242,解得n=11或n=-22(舍去),即n=11.11.設(shè)a1,d為實數(shù),首項為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1.(2)求d的取值范圍.【解析】(1)由題意知S6=-=-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7.綜上,S6=-3,a1=7.(2)因為S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0,所以(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.故d的取值范圍為d≤-2或d≥2.12.(2017·江蘇高考)對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”.(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列.【證明】(1)因為是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則an=a1+(n-1)d,從而,當n≥4時,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差數(shù)列是“P數(shù)列”.(2)數(shù)列既是“P數(shù)列”,又是“P數(shù)列”,因此,當n≥3時,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①當n≥4時,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③an+2+an+3=4an+1-(an-1+an),④將③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d′.在①中,取n=4,則a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2+a3+a3+2d′+a3+3d′=4(a3+d′),即a2=a3-d′,在①中,取n=3,則a1+a2+a4+a5=4a3,因為a3=a2+d′,所以a1+a2+a2+2d′+a2+3d′=4(a2+d′),即a1=a2-d′,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

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2.3 等差數(shù)列的前n項和

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