數(shù)學必修52.5 等比數(shù)列的前n項和教學ppt課件-課件下載-教習網(wǎng)

主題1　等比數(shù)列的前n項和1.已知數(shù)列1,21,22,23,…如何求其前64項和S64=1+21+22+23+…+263?
提示:用2乘以等式的兩邊,得:2S64=21+22+23+…+263+264,作差得S64=264-1.
2.參照1的求法,如何求等比數(shù)列{an}的前n項和Sn?提示:設等比數(shù)列{an}的首項是a1,公比是q,前n項和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1·qn-1,?、賱tqSn=a1q+a1q2+…+a1·qn-1+a1·qn,?、谟散?②得(1-q)Sn=a1-a1qn,
當q≠1時,Sn= ,當q=1時,Sn=na1.即Sn=
結論:　等比數(shù)列的前n項和公式Sn= 或Sn=
【對點訓練】1.等比數(shù)列{an}中,首項a1=8,公比q= ,那么它的前5項的和S5的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D.
【解析】選A.S5= = = = .
2.等比數(shù)列{an}中,a1=-1,a4=64,則數(shù)列{an}的前3項和S3=(　　)A.13 B.-13C.-51 D.51【解析】選B.設公比為q,由題意,等比數(shù)列{an}中,a1=-1,a4=64,所以a4=-1×q3=64,解得q=-4,所以數(shù)列{an}的前3項和S3= =-13.
3.已知單調遞增的等比數(shù)列{an}中,a2·a6=16,a3+a5=10,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=(　　)A.2n-2- B.2n-1- C.2n-1D.2n+1-2
【解析】選B.因為a2·a6=16,所以a3·a5=16,又因為a3+a5=10,等比數(shù)列{an}單調遞增,所以a3=2,a5=8,所以公比q=2,a1= ,所以Sn= =2n-1 - .
主題2　等比數(shù)列前n項和的性質給定等比數(shù)列{an}:1,2,22,23,…,2n,…1.計算{an}的前n項和Sn,觀察前n項和有什么特點?提示:Sn= = =2n-1,Sn是由一個關于n的指數(shù)式與一個常數(shù)的和構成的.
2.計算S4,S8,S12,并判斷S4,S8-S4,S12-S8是否構成等比數(shù)列.提示:S4= =24-1,S8= =28-1,S12= =212-1.
S8-S4=28-24=24(24-1),S12-S8=212-28=28(24-1),所以 = =24.故S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列.
結論:等比數(shù)列前n項和的性質(1)當q≠1時,Sn= ,若設A= ,則Sn=-Aqn+A,故Sn是由一個關于n的指數(shù)式和一個常數(shù)的和構成的,且指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).(2)若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成公比為qm的等比數(shù)列.
【對點訓練】1.等比數(shù)列{an}的前n項和Sn,S2=7,S6=91,則S4為 (　　)A.28D.28或-21
【解析】選A.因為{an}為等比數(shù)列,所以S2,S4-S2,S6-S4也為等比數(shù)列,即7,S4-7,91-S4成等比數(shù)列,所以(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或-21.
因為S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2,所以S4=28.
2.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=1,S8=3,則S12=________.?【解析】由Sn為等比數(shù)列的前n項和,所以(S8-S4)2=S4·(S12-S8),即(3-1)2=1×(S12-3),所以S12=7.答案:7
3.在數(shù)列{an}中,an+1=can(c為非零常數(shù)),且前n項和為Sn=3n+k,則實數(shù)k=________.?【解析】方法一:當n=1時,a1=S1=3+k,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n+k)-(3n-1+k)=3n-3n-1=2·3n-1.由已知知{an}為等比數(shù)列,所以a1=3+k=2,則k=-1.
方法二:由已知知,{an}是等比數(shù)列,a1=3+k,a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18,由 =a1a3得18(3+k)=36,解得k=-1.答案:-1
類型一　等比數(shù)列前n項和的運算【典例1】(2019·成都高二檢測)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1,a2+a4=6,b2·b4=a16.(1)求{an}的通項公式.(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.
【解題指南】(1)由a1=1,a2+a4=6,可得公差d的值,可得等差數(shù)列{an}的通項公式.(2)由(1)中結論,可得b2·b4=a16=16,可得q2=4,可得{b2n-1}是以1為首項,以q2=4為公比的等比數(shù)列,可得b1+b3+b5+…+b2n-1的值.
【解析】(1)由題意可知,a1=1,a2+a4=1+d+1+3d=6,解得,d=1,所以{an}的通項公式為an=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)中結論,可得a16=16,所以b2·b4=q·q3=16,所以q2=4,所以{b2n-1}是以1為首項,以q2=4為公比的等比數(shù)列,通項公式為b2n-1=4n-1,所以b1+b3+b5+…+b2n-1= = .
【方法總結】等比數(shù)列前n項和公式的應用技巧(1)應用等比數(shù)列的前n項和公式時,首先要對公比q=1或q≠1進行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類討論.
(2)當q=1時,等比數(shù)列是常數(shù)列,所以Sn=na1;當q≠1時,等比數(shù)列的前n項和Sn有兩個公式.當已知a1,q與n時,用Sn= 比較方便;當已知a1,q與an時,用Sn= 比較方便.
【跟蹤訓練】　(2019·昆明高一檢測)在公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1=1,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項公式.(2)設bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
【解析】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知得 =a1a5,則(a1+d)2=a1(a1+4d),將a1=1代入并化簡得d2-2d=0,解得d=2,d=0(舍去).所以an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1)知bn=22n-1,所以bn+1=22n+1,所以 =22n+1-(2n-1)=4,所以數(shù)列{bn}是首項為2,公比為4的等比數(shù)列.所以Sn= .
【補償訓練】　　 1.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q.
【解析】若q=1,則S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.但S3+S6≠2S9,所以q≠1.由求和公式得 ,整理得q3(2q6-q3-1)=0.因為q≠0,所以2q6-q3-1=0.因為q≠1,所以q=- .
2.在遞增的等比數(shù)列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n項和為Sn=42,則n=(　　)A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
【解析】選A.因為a1+an=34,a1an=a3an-2=64,所以a1=2,an=32=a1qn-1,所以Sn= =42,所以q=4,所以n=3.
類型二　等比數(shù)列前n項和性質的簡單應用【典例2】(1)在等比數(shù)列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,則S3n=________.?(2)已知等比數(shù)列{an}的前4項和為1,且公比q=2,求前12項的和.
【解題指南】(1)由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列求S3n.(2)根據(jù)S4,S8-S4,S12-S8的關系求S12.
【解析】(1)由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列得(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60),所以S3n=63.答案:63
(2)因為S4=1,q=2,所以S8-S4=a5+a6+a7+a8=q4S4=24=16,解得S8=17.又因為S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,所以(S8-S4)2=S4·(S12-S8),即162=S12-17,所以S12=273.
【方法總結】等比數(shù)列前n項和性質應用的關注點(1)在解決等比數(shù)列前n項和問題時,若條件含有奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的時候,如果項數(shù)為偶數(shù),可考慮利用奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之間的關系求解.(2)當已知條件含有片段和時,要考慮性質Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比數(shù)列.
【跟蹤訓練】　設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S5=10,S10=50,則S20等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A.90B.250C.210D.850
【解析】選D.由已知,數(shù)列的公比q≠1,設首項為a1,因為S5=10,S10=50,所以 =10, =50,兩式相除可得1+q5=5,所以q5=4, S20=
【補償訓練】各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an},前n項和記為Sn,若S10=10,S30=70,求S40.
【解析】由題意知q≠±1,由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比為q10的等比數(shù)列,則S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10,即q20+q10-6=0,得q10=2或q10=-3(舍),所以S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10×(1+2+22+23)=150.
類型三　等比數(shù)列前n項和公式的實際應用【典例3】從社會效益和經濟效益出發(fā),某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設,并以此發(fā)展旅游產業(yè),根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少 ,本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元,由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用,預計今后旅游業(yè)收入每年會比上年增加 .
(1)設n年內(本年度為第1年)總投入Sn萬元,旅游業(yè)總收入為Tn萬元,寫出Sn,Tn的表達式.(2)至少要經過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?【解題指南】(1)轉化為兩個等比數(shù)列前n項和問題求解.(2)只需求出Tn>Sn的最小正整數(shù)n即可.
【解析】(1)第1年投入800萬元,第2年投入800× 萬元,…,第n年投入800× 萬元.所以,n年內的總投入Sn=800+800× +…+800× =4 000× .
第1年旅游業(yè)收入為400萬元,第2年旅游業(yè)收入為400× 萬元,…,第n年旅游業(yè)收入為400× 萬元.所以,n年內的總收入Tn=400+400× +…+400× =1 600× .
(2)設經過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入,因此Tn-Sn>0,即1 600× -4 000× >0,化簡得5× +2× -7>0,即 < ,可得n≥5.所以,至少要經過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.
【方法總結】解答數(shù)列應用題的步驟(1)審題——仔細閱讀材料,認真理解題意.(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言,將實際問題轉化成數(shù)學問題,弄清該數(shù)列的結構和特征.(3)求解——求出該問題的數(shù)學解.(4)還原——將所求結果還原到實際問題中.
具體解題步驟用框圖表示如下:
【跟蹤訓練】《九章算術》中有如下問題:今有蒲生一日,長三尺,莞生一日,長一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長等?意思是:今有蒲第一天長高3尺,莞第一天長高1尺,以后蒲每天長高前一天的一半,莞每天長高前一天的2倍.若蒲、莞長度相等,則所需時間為(　　)(結果精確到0.1.參考數(shù)據(jù):lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1.)A.2.2天B.2.4天C.2.6天D.2.8天
【解析】選C.設蒲的長度組成等比數(shù)列{an},其a1=3,公比為 ,其前n項和為An,則An= .莞的長度組成等比數(shù)列{bn},其b1=1,公比為2,其前n項和為Bn.則Bn= ,
由題意可得: = ,整理得:2n+ =7,解得2n=6,或2n=1(舍去).所以n=lg26= =1+ ≈2.6.所以估計2.6天蒲、莞長度相等.
【補償訓練】《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢,各穿幾何?”題意是:“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,
大老鼠第一天進一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進一尺,以后每天減半.”如果墻足夠厚,Sn為前n天兩只老鼠打洞之和,則Sn=　　　尺.?
【解析】大老鼠每日打洞的距離是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,小老鼠每日打洞的距離是首項為1,公比為的等比數(shù)列,故Sn= .答案:

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