2.5　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和課時(shí)過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn表示{an}的前n項(xiàng)和.若a1=3,a2a4=144,則S10的值是(　　).A.511 B.1 023 C.1 533 D.3 069解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a2a4∵a1=3,∴32q4=144.∵q>0,∴q=2.∴S10069.答案:D2等比數(shù)列1,x,x2,x3,…的前n項(xiàng)和Sn等于(　　).AC解析:當(dāng)x=0時(shí),Sn=1;當(dāng)x=1時(shí),Sn=n;當(dāng)x≠0,且x≠1時(shí),Sn又當(dāng)x=0時(shí),該式也滿足,所以Sn答案:C3中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為:有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起因?yàn)槟_痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地,請(qǐng)問第二天走了(　　)(里非國際通用單位)A.192里 B.96里C.48里 D.24里解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q由題意解得a1=192,則a2=19即第二天走了96里,故選B.答案:B4已知等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)和為Sn,若S3,S9,S6成等差數(shù)列,則q3等于(　　).A.C.解析:∵S3,S9,S6成等差數(shù)列,∴S3+S6=2S9,∴q≠1,整理得2q9-q6-q3=0.又q≠0,∴2q6-q3-1=0,解得q3=1(舍去)或q3=答案:A5已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于　　　　　　　　. 解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由已知條件可因?yàn)?/span>{an}是遞增的等比數(shù)列,所所以{an}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故Sn=2n-1.答案:2n-16已知等比數(shù)列的前20項(xiàng)的和為30,前30項(xiàng)的和為70,則前10項(xiàng)的和為　　　　　. 解析:由題意知S20=30,S30=70.∵S10,S20-S10,S30-S20成等比數(shù)列,∴(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(30-S10)2=S10(70-30),解得S10=10.答案:107設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=　　　　　. 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則an=a1qn-1=qn-1.因?yàn)?/span>3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,所以2×(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3),也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1,公比為q=3,故an=3n-1.答案:3n-18已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),它的全部項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的3倍,則公比q=　　　　　. 解析:設(shè){an}的公比為q,由已知可得q≠1,則奇數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成等比數(shù)列,其公比為q2,首項(xiàng)為a1,S2nS由題意∴1+q=3,∴q=2.答案:29已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.(1)設(shè)S3(2)若S4,S10,S7成等差數(shù)列,證明a1,a7,a4也成等差數(shù)列.(1)解設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q.由已知得q≠1,于解an=a1qn-1=2·(2)證明∵S4,S10,S7成等差數(shù)列,∴q≠1,S4+S7=2S10,整理得q4+q7=2q10,∴1+q3=2q6,∴a1+a1q3=2a1q6,∴a1+a4=2a7,即a1,a7,a4也成等差數(shù)列.10等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列.(1)求{an}的公比q;(2)已知a1-a3=3,求Sn.解(1)依題意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).因?yàn)?/span>a1≠0,所以2q2+q=0.又q≠0,所以q=(2)由已知可得a1-a1=4.從而Sn能力提升1在等比數(shù)列{an}(n∈N*)中,若a1=1,a4A.2C.2解析:設(shè)公比為q,q則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為S10答案:B2設(shè)數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,已知a2a4=1,S3=7,則S5等于(　　).A解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,所以S5答案:B3若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且對(duì)任意n∈N*,a1+a2+…+an=2n-1,A.(2n-1)2 B2n-1)2C.4n-1 D4n-1)解析:由Sn=2n-1得a1=S1=1,a2=S2-S1=22-2=2.故公比為q=2,可知數(shù),公比為q2=4.所4n-1)答案:D★4等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公比為q,前n項(xiàng)和為S,由原數(shù)列各項(xiàng)的倒數(shù)組成一個(gè)新數(shù)A解析:因?yàn)?/span>a1=1,公比為q,若q≠1,則其前n項(xiàng)和為S而在數(shù),公比設(shè)其前n項(xiàng)和為S',則S'當(dāng)q=1時(shí),S=S'=n,也符合S'C.答案:C5等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S2=3,S6=63,則S4=.解析:由題意可知S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,則(S4-S2)2=S2(S6-S4),∴(S4-3)2=3(63-S4),解得S4=15或S4=-12.又S4=S2+S2·q2=3+3q2>0,∴S4=15.答案:156某公司今年獲得利潤(rùn)500萬元,由于堅(jiān)持改革、大膽創(chuàng)新,以后每年利潤(rùn)比上一年增加30%,則7年后該公司實(shí)現(xiàn)的總利潤(rùn)為　　　　　萬元. 解析:設(shè)第n年的利潤(rùn)為an萬元,則an+1=an+an×30%=1.3an,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為500,公比為1.3的等比數(shù)列,所以7年后該公司實(shí)現(xiàn)的總利潤(rùn)為S7).答案:7在數(shù)列{an}中,a1∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn;(2)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)t的值.解(1)由Sn+1-Snan+1∈N*).又a1an∈N*).從而Sn∈N*).(2)由(1)知,S1從而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差數(shù)列可t=2.★8已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2=4,S5=35.(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn解(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,故Sn=na1(2)由(1),得an=3n-2,∴bn=e3n-2,且b1=e.當(dāng)n≥2),∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為e,公比為e3的等比數(shù)列.∴Tn 

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2.5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

版本： 人教版新課標(biāo)A

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