五年高考（2016-2020）高考數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)詳解——專題14 數(shù)列綜合-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題14 數(shù)列綜合【2020年】1.（2020·新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2.（2020·新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．3.（2020·北京卷）已知是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.4.（2020·江蘇卷）已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ–k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ–1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ–3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由，5.（2020·山東卷）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.6.（2020·天津卷）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．7.（2020·浙江卷）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與an的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【2019年】1．【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.2．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)（i1<i2<…<im），若，則稱新數(shù)列為{an}的長(zhǎng)度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)都是{an}的長(zhǎng)度為1的遞增子列．（Ⅰ）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；（Ⅱ）已知數(shù)列{an}的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為．若p<q，求證：<；（Ⅲ）設(shè)無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若{an}的長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s–1，且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s–1的遞增子列恰有2s-1個(gè)（s=1，2，…），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．3．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中．（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求．4．【2019年高考江蘇卷】定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有成立，求m的最大值． 5．【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對(duì)每個(gè)成等比數(shù)列．（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（II）記證明：【2018年】1. （2018年浙江卷）已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1?bn）an}的前n項(xiàng)和為2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． 2. （2018年天津卷）設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列.已知，，，.（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（i）求；（ii）證明.3. （2018年江蘇卷）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列．（1）設(shè)，若對(duì)均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在，使得對(duì)均成立，并求的取值范圍（用表示）．4. （2018年江蘇卷）設(shè)，對(duì)1，2，···，n的一個(gè)排列，如果當(dāng)s<t時(shí)，有，則稱是排列的一個(gè)逆序，排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)．（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示)．5. （2018年全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值．12. （2018年全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）等比數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．【2017年】1.【2017山東，理19】已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.2.【2017北京，理20】設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．3.【2017天津，理18】已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4.【2017江蘇，19】對(duì)于給定的正整數(shù),若數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”;（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列.【2016年】1.【2016高考上海理數(shù)】已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，且.下列條件中，使得恒成立的是（）（A）（B）（C）（D）2.【2016高考上海理數(shù)】（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.若無(wú)窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).（1）若具有性質(zhì)，且，，求；（2）若無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，已知.求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.

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