五年高考（2016-2020）高考數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)詳解——專題16 概率與統(tǒng)計(jì)綜合-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題16 概率與統(tǒng)計(jì)綜合
【2020年】
1.（2020·新課標(biāo)Ⅰ）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）記事件M甲連勝四場，則；
（2）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，
則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為
，
所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為；
（3）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，
記事件M甲贏，記事件N丙贏，
則甲贏的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲贏的概率為.
由對(duì)稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
所以丙贏的概率為.
2.（2020·新課標(biāo)Ⅱ）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，.
（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；
（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.
附：相關(guān)系數(shù)r=，=1.414.
【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）詳見解析
【解析】
（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，
地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為
（2）樣本的相關(guān)系數(shù)為

（3）
由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣
先將植物覆蓋面積按優(yōu)中差分成三層，
在各層內(nèi)按比例抽取樣本，
在每層內(nèi)用簡單隨機(jī)抽樣法抽取樣本即可.
3.（2020·新課標(biāo)Ⅲ）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：
鍛煉人次
空氣質(zhì)量等級(jí)
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1（優(yōu)）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（輕度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

附：，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為1、2、3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由見解析.
【解析】
（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為，等級(jí)為2的概率為，等級(jí)為3的概率為，等級(jí)為4的概率為；
（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為
（3）列聯(lián)表如下：

人次
人次
空氣質(zhì)量不好
33
37
空氣質(zhì)量好
22
8
，
因此，有95％的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).
4.（2020·北京卷）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．
（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）,（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，
該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;
（Ⅲ）
5.（2020·江蘇卷）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示) ．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1），
，

（2），
，
因此，
從而，
即.
又的分布列為

0
1
2

故.
6.（2020·山東卷）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：

32
18
4

6
8
12

3
7
10
（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？
附：，

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【答案】（1）0.64；（2）答案見解析；（3）有.
【解析】
（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，
所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；
（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：

合計(jì)

64
16
80

10
10
20
合計(jì)
74
26
100
（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得
，
因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).
【2019年】
1．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．
（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；
（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．
【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值分別為4.05，6.00．
【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
2．【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率．
【答案】（1）0.5；（2）0.1．
【解析】（1）X=2就是10∶10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，
則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，
且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．
因此所求概率為[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
3．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．
（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．
【答案】（1）分布列見解析，；（2）．
【解析】（1）因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為，故，從而．
所以，隨機(jī)變量的分布列為

0
1
2
3

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．
（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為，
則，且．
由題意知事件與互斥，
且事件與，事件與均相互獨(dú)立，
從而由（1）知

．
4．【2019年高考北京卷理數(shù)】改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：
支付金額（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
僅使用A
18人
9人
3人
僅使用B
10人
14人
1人
（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；
（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．
【答案】（1）0.4；（2）分布列見解析，E（X）=1；（3）見解析．
【解析】（1）由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．
故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100?30?25?5=40人．
所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為．
（2）X的所有可能值為0，1，2．
記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”．
由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且．
所以，

，
．
所以X的分布列為
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
故X的數(shù)學(xué)期望．
（3）記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”．
假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，
則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得．
答案示例1：可以認(rèn)為有變化．
理由如下：
P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．
一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化．
答案示例2：無法確定有沒有變化．理由如下：
事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，
但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化．
5．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．
(i)證明：為等比數(shù)列；
(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．
【答案】（1）分布列見解析；（2）(i)證明見解析，(ii) ，解釋見解析．
【解析】X的所有可能取值為．
，
，
，
所以的分布列為

（2）（i）由（1）得．
因此，故，
即．
又因?yàn)椋?br /> 所以為公比為4，首項(xiàng)為的等比數(shù)列．
（ii）由（i）可得

．
由于，故，
所以．
表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，
由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，
認(rèn)為甲藥更有效的概率為，
此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理．
【2018年】
1. （2018年天津卷）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.
（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.
【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．
【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，
由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，
因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．
（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；
事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，
則A=B∪C，且B與C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A發(fā)生的概率為．
2. （2018年北京卷）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：
電影類型
第一類
第二類
第三類
第四類
第五類
第六類
電影部數(shù)
140
50
300
200
800
510
好評(píng)率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立．
（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；
（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；
（Ⅲ）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關(guān)系．
【答案】(1) 概率為0.025
(2) 概率估計(jì)為0.35
(3) >>=>>
【解析】（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，
第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50．
故所求概率為．
（Ⅱ）設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”，
事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”．
故所求概率為P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由題意知：P（A）估計(jì)為0.25，P（B）估計(jì)為0.2．
故所求概率估計(jì)為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）>>=>>．
3. （2018年全國I卷理數(shù)）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．
（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)．
（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．
（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;
（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？
【答案】(1).
(2) （i）490.
（ii）應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).
【解析】
（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此
.
令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以的最大值點(diǎn)為.
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.
所以.
（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).
4. （2018年全國Ⅲ卷理數(shù)）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；
（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m
不超過m
第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？
附：，

【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 理由見解析
（2）80
（3）能
【解析】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
理由如下：
（i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
（iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.
（2）由莖葉圖知.
列聯(lián)表如下：

超過m
不超過m
第一種生產(chǎn)方式
15
5
第二種生產(chǎn)方式
5
15

（3）由于，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.
5. （2018年全國Ⅱ卷理數(shù)）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：．
（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；
（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．
【答案】（1）利用模型①預(yù)測值為226.1，利用模型②預(yù)測值為256.5，（2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．
【解析】
（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為
=–30.4+13.5×19=226.1（億元）．
利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為
=99+17.5×9=256.5（億元）．
（2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．
理由如下：
（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢．2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．
（ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．
以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．
【2017年】
1.【2017山東，理18】（本小題滿分12分）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.
【答案】（I）(II)X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P

X的數(shù)學(xué)期望是.
【解析】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則
(II)由題意知X可取的值為： .則

因此X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P

X的數(shù)學(xué)期望是
=
2.【2017課標(biāo)1，理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．
（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；
（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．
（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；
（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，
，．
【答案】（1）.（2）（i）見解析；（ii）.
【解析】
（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此
.
的數(shù)學(xué)期望為.
（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程學(xué)科&網(wǎng)可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.
（ii）由，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計(jì)值為10.02.
，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，
因此的估計(jì)值為.
3.【2017課標(biāo)II，理18】海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下：

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；
（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg
箱產(chǎn)量≥50kg
舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）

附：

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.
【解析】（1）記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” ，表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于”
由題意知
舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于的頻率為

故的估計(jì)值為0.62
新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于的頻率為

故的估計(jì)值為0.66
因此，事件A的概率估計(jì)值為
（2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表

箱產(chǎn)量
箱產(chǎn)量
舊養(yǎng)殖法
62
38
新養(yǎng)殖法
34
66

由于
故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．
（3）因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為
，
箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為

故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為
．
4.【2017北京，理17】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.

（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；
（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī).選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；
（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）
【答案】（1）0.3（2）見解析（3）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.
【解析】（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，
所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為.
（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C.
所以的所有可能取值為0,1,2.
.
所以的分布列為

0
1
2

故的期望.
（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.
5.【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.
（Ⅰ）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.
【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，隨機(jī)變量的分布列為

0
1
2
3

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.
（Ⅱ）解：設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為
.
所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為.
6. 【2017江蘇，23】已知一個(gè)口袋有個(gè)白球,個(gè)黑球(),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為的抽屜內(nèi)，其中第次取出的球放入編號(hào)為的抽屜.
1
2
3

（1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率;
（2）隨機(jī)變量表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù),是的數(shù)學(xué)期望,證明:

【答案】（1）（2）見解析
【解析】解:(1)?編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為: .?
(2)?隨機(jī)變量?X?的概率分布為:
X

…

…

P

…

…

隨機(jī)變量?X?的期望為：
.
所以

.
【2016年】
1.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).
（I）求的分布列；
（II）若要求,確定的最小值；
（III）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)？
【答案】（I）見解析（II）19（III）
【解析】（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而
；
；
；
；
；
；
.
所以的分布列為

16
17
18
19
20
21
22

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值為19.
（Ⅲ）記表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）.
當(dāng)時(shí),
.
當(dāng)時(shí),
.
可知當(dāng)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選.
2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
上年度出險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
5
保費(fèi)
0.85

1.25
1.5
1.75
2
設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：
一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；
（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；
（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值．
【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故
（Ⅱ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故
又，故
因此所求概率為
（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，則的分布列為

因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為
3.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分）
我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（I）求直方圖中a的值；
（II）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；
（III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．
【解析】
（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5=0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的頻率分別為0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.30．
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為
300 000×0.12=36 000．
（Ⅲ）因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73

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