指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解核心知識(shí) 重點(diǎn)零點(diǎn)的定義，零點(diǎn)的判定方法、了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的聯(lián)系。難點(diǎn)零點(diǎn)存在性定理的理解、零點(diǎn)的判斷方法。考試要求考試?         題型選擇題、填空題和解答題。?         難度中等、難  問(wèn)題導(dǎo)航（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義是什么？函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)的判斷方法是什么？（2）方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)三者之間的聯(lián)系是什么？核心知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的零點(diǎn)（1）定義：把使f（x）＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)。（2）方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)三者之間的聯(lián)系注意：函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)（1）函數(shù)的零點(diǎn)的本質(zhì)是方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根，因此，函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)。例如函數(shù)f（x）＝x＋1，當(dāng)f（x）＝x＋1＝0時(shí)，僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根x＝－1，所以函數(shù)f（x）＝x＋1有一個(gè)零點(diǎn)－1，由此可見(jiàn)函數(shù)f（x）＝x＋1的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)－1，而不是一個(gè)點(diǎn)。（2）函數(shù)是否有零點(diǎn)是針對(duì)方程是否有實(shí)數(shù)根而言的，若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)。例題1  函數(shù)的零點(diǎn)是__________. 答案：2解析：令，即，解得x=2，所以該函數(shù)的零點(diǎn)是2. 總結(jié)提升：求函數(shù)零點(diǎn)的基本方法（1）方程法：令f（x）=0，該方程的解即為函數(shù)的零點(diǎn);（2）圖象法：畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的圖象，圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為函數(shù)的零點(diǎn).  核心知識(shí)點(diǎn)二：零點(diǎn)存在性定理條件（1）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線（2）f（a）·f（b）＜0結(jié)論函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，這個(gè)c也就是方程f（x）＝0的根注意：對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在性的探究（1）并不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn)，如函數(shù)y＝。（2）當(dāng)函數(shù)y＝f（x）同時(shí)滿(mǎn)足：①函數(shù)的圖象在[a，b]上是連續(xù)曲線；②f（a）·f（b）<0。則可判定函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，但是不能明確說(shuō)明有幾個(gè)。（3）當(dāng)函數(shù)y＝f（x）的圖象在[a，b]上是連續(xù)的曲線，但是不滿(mǎn)足f（a）·f（b）<0時(shí)，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可能存在零點(diǎn)，也可能不存在零點(diǎn)。 例題2  判斷函數(shù)在區(qū)間上是否存在零點(diǎn)？答案：該函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，該函數(shù)在（-1，1）上無(wú)零點(diǎn)。總結(jié)提升：函數(shù)零點(diǎn)存在定理?xiàng)l件中的閉區(qū)間[a，b]不能改為（a，b），如本題中雖然滿(mǎn)足定理中的f（a）f（b）<0，且該函數(shù)在（-1，1）上是連續(xù)的，但是該函數(shù)卻在（-1，1）上沒(méi)有零點(diǎn)。 1. 函數(shù)零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)之間的關(guān)系實(shí)際上為我們求函數(shù)零點(diǎn)提供了兩種方法：一是方程法；二是圖象法。2. 零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷：  （答題時(shí)間：30分鐘）1. 函數(shù)y＝ln x的零點(diǎn)是（　　）A. （0，0）        B. x＝0       C. x＝1        D. 不存在2. 下列各圖象表示的函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)的是（　　）3. 已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且圖象是連續(xù)不斷的，若f（a）·f（b）＜0，則方程f（x）＝0在區(qū)間[a，b]上（　　）A. 至少有一實(shí)數(shù)根   B. 至多有一實(shí)數(shù)根C. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根   D. 必有唯一的實(shí)數(shù)根4. 若函數(shù)f（x）的圖象在R上連續(xù)不斷，且滿(mǎn)足f（0）<0，f（1）>0，f（2）>0，則下列說(shuō)法正確的是（　　）A. f（x）在區(qū)間（0，1）上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，2）上一定沒(méi)有零點(diǎn)B. f（x）在區(qū)間（0，1）上一定沒(méi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，2）上一定有零點(diǎn)C. f（x）在區(qū)間（0，1）上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，2）上可能有零點(diǎn)D. f（x）在區(qū)間（0，1）上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，2）上一定有零點(diǎn)5. 對(duì)于函數(shù)f（x）＝x2＋mx＋n，若f（a）>0，f（b）>0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)（　　）A. 一定有零點(diǎn)   B. 一定沒(méi)有零點(diǎn)C. 可能有兩個(gè)零點(diǎn)   D. 至少有一個(gè)零點(diǎn) 
1. C2. D3. D  解析：由題意知函數(shù)f（x）為連續(xù)函數(shù). ∵f（a）·f（b）＜0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上至少有一個(gè)零點(diǎn). 又∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上至多有一個(gè)零點(diǎn). 故函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)必有唯一的實(shí)數(shù)根. 故選D. 4. C 5. C  解析：若函數(shù)f（x）的圖象及給定的區(qū)間（a，b），如圖（1）或圖（2）所示，可知A，D錯(cuò)，若如圖（3）所示，可知B錯(cuò).   
函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解綜合訓(xùn)練典例一：求函數(shù)的零點(diǎn)（1）f（x）＝；（2）f（x）＝x2＋2x＋4；答案：（1）令＝0，解得x＝－3，所以函數(shù)f（x）＝的零點(diǎn)是－3。（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0無(wú)解，所以函數(shù)f（x）＝x2＋2x＋4不存在零點(diǎn)。總結(jié)提升：函數(shù)零點(diǎn)的求法求函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)通常有兩種方法：一是令f（x）＝0，根據(jù)解方程f（x）＝0的根求得函數(shù)的零點(diǎn)；二是畫(huà)出函數(shù)y＝f（x）的圖象，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)。 典例二：判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（1）函數(shù)f（x）＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）A. 3　　　　　　　　　　 B. 2C. 1 D. 0（2）函數(shù)f（x）＝ln x＋x2－3的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________。答案：（1）B；（2）1個(gè)解析：（1）當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1（舍去）；當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）＝－2＋ln x＝0得x＝e2。所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。（2）法一：函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程為ln x＋x2－3＝0，所以原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝ln x與y＝3－x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)。在同一平面直角坐標(biāo)系下，作出兩函數(shù)的圖象（如圖）。由圖象知，函數(shù)y＝3－x2與y＝ln x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)。從而ln x＋x2－3＝0有一個(gè)根，即函數(shù)f（x）＝ln x＋x2－3有一個(gè)零點(diǎn)。法二：因?yàn)?/span>f（1）＝－2，f（2）＝ln 2＋1＞0。所以f（1）·f（2）＜0，又f（x）＝ln x＋x2－3的圖象在（1，2）上是不間斷的，所以f（x）在（1，2）上必有零點(diǎn)，又f（x）在（0，＋∞）上是遞增的，所以零點(diǎn)只有一個(gè)。總結(jié)提升：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法（1）方程法：若方程f（x）＝0的解可求或能判斷解的個(gè)數(shù)，可通過(guò)方程的解來(lái)判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。（2）圖象法：由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的圖象，根據(jù)兩個(gè)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。（3）定理法：函數(shù)y＝f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，由f（a）·f（b）＜0即可判斷函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)。 典例三：判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間函數(shù)f（x）＝2x－1＋x－5的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（　　）A. （0，1）　　　　　　　　 B. （1，2）C. （2，3） D. （3，4）答案：C解析：f（2）＝22－1＋2－5＜0，f（3）＝23－1＋3－5＞0，故f（2）·f（3）＜0，又f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則函數(shù)f（x）＝2x－1＋x－5只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)所在的區(qū)間為（2，3）。總結(jié)提升： 典例四：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的值（范圍）已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝2|x－1|＋x－a，若函數(shù)y＝f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。答案：（1，＋∞）解析：函數(shù)f（x）＝2|x－1|＋x－a有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝2|x－1|＋x與y＝a有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)。分別作出函數(shù)y＝2|x－1|＋x與y＝a的圖象，如圖所示。由圖易知：當(dāng)a>1時(shí)，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，＋∞）。總結(jié)提升：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的方法已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)取值范圍的方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍。（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決。（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解。 1. 函數(shù)零點(diǎn)的定義2. （1）判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根；轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題；利用零點(diǎn)存在性定理（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的方法：直接法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法3. 數(shù)學(xué)思想方法：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想 （答題時(shí)間：30分鐘）1. 已知函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f（x）對(duì)應(yīng)值表： x1234567f（x）123. 521. 5－7. 8211. 57－53. 7－126. 7－129. 6那么函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有（　　）A. 2個(gè) B.  3個(gè)C. 4個(gè) D.  5個(gè)2. 函數(shù)f（x）＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）A. 0   B. 1C. 2   D. 33. 函數(shù)f（x）＝x＋ln x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（　　）A. （－1，0）   B. （0，1）C. （1，2）   D. （1，e）4. 關(guān)于函數(shù)f（x）＝3x＋x2＋2x－1的零點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（　　）①函數(shù)f（x）＝0在x<0時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；②函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)；③函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)大于0，另一個(gè)小于0；④函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為0，另一個(gè)零點(diǎn)小于0。A. 1   B. 2C. 3   D. 45. 函數(shù)f（x）＝x2－2x＋a在區(qū)間（－2，0）和（2，3）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）A. －3<a<0   B. a>－3C. a<0   D. 0<a<36. 函數(shù)f（x）＝的零點(diǎn)是________。7. 已知函數(shù)f（x）＝x2－x－2a。（1）若a＝1，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；（2）若f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 
1. B  解析：由表可知f（2）·f（3）<0，f（3）·f（4）<0，f（4）·f（5）<0。∴f（x）在[1，6]上至少有3個(gè)零點(diǎn)。故選B。2. B  解析：當(dāng)時(shí)，令＝0，無(wú)解；當(dāng)0<x>3時(shí)，令＝0，解得x=1，所以原函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，故選B。3. B  解析：法一：因?yàn)?/span>x>0，所以A錯(cuò)。又因?yàn)?/span>f（x）＝x＋ln x在（0，＋∞）上為增函數(shù)，f（1）＝1>0，所以f（x）＝x＋ln x在（1，2），（1，e）上均有f（x）>0，故C、D錯(cuò)。法二：取x＝∈（0，1），因?yàn)?/span>f＝－1<0，f（1）＝1>0，所以f（x）＝x＋ln x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（0，1）。4. A  解析：令y1＝3x，y2＝－x2－2x＋1＝－（x＋1）2＋2。函數(shù)f（x）的零點(diǎn)就是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，因此可知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)是0，另一個(gè)小于0，故只有④對(duì)。5. A  解析：已知函數(shù)f（x）＝x2－2x＋a在區(qū)間（－2，0）和（2，3）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，知，即，解得－3<a<0。6. 1  解析：令f（x）＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為1。7. 解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x2－x－2。令f（x）＝x2－x－2＝0得x＝－1或x＝2。即函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為－1與2。（2）要使f（x）有零點(diǎn)，則Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－。  

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