中考總復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)—知識講解（提高） 【考綱要求】1.理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，特殊角三角函數(shù)值的求法，運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題.題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2.命題的熱點(diǎn)為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識解決問題. 【知識網(wǎng)絡(luò)】    【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．
　     銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．
要點(diǎn)詮釋：
　　(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化．
　　(2)sinA，cosA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號，是一個(gè)整體，不能寫成，，
，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個(gè)大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫成“tan∠AEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．
　　(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在．
　　(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°之間變化時(shí)，，，tanA＞0． 考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值　　　利用三角函數(shù)的定義，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：      要點(diǎn)詮釋：
　　(1)通過該表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．
　　(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：
　 　　、、、、的值依次為0、、、、1，而、、、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°之間變化時(shí)，
　 　　①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)
　 　　②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．
考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．　　(1)互余關(guān)系：，；
　　(2)平方關(guān)系：；
　　(3)倒數(shù)關(guān)系：或；
　　(4)商數(shù)關(guān)系：．
　　要點(diǎn)詮釋：
　　銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便．

考點(diǎn)四、解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.
　　設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：
　　①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).
　　②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.
　　③邊角之間的關(guān)系：
　　　，，，
　　　，，.
　　④，h為斜邊上的高.
要點(diǎn)詮釋：
　　(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90°)，是已知的值.
　　(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).
　　(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.
考點(diǎn)五、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC
 兩
邊兩直角邊(a，b)由求∠A，
∠B=90°－∠A，
 斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，
∠B=90°－∠A，
 一
邊
一
角一直角邊
和一銳角銳角、鄰邊
(如∠A，b)∠B=90°－∠A，
，銳角、對邊
(如∠A，a)∠B=90°－∠A，
，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，
，要點(diǎn)詮釋：
　　1．在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.
　　2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.
 考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.
　　解這類問題的一般過程是：
　　(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.
　　(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.
　　(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.
　　(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.
　　拓展：
　　在用直角三角形知識解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會用到以下概念：
　　(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.
　　坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.
　　　　　　　　　　　　
　　(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

要點(diǎn)詮釋：
　　1．解直角三角形實(shí)際是用三角知識，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.
　　2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.例如：
　　　　　　
　　3．解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解. 考點(diǎn)七、解直角三角形相關(guān)的知識如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，    (1)三邊之間的關(guān)系：；    (2)兩銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；    (3)邊與角之間的關(guān)系：，，，．    (4) 如圖，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)CD＝h，AD＝q，DB＝p，則由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC面積，得ab＝ch．(5)如圖所示，若CD是直角三角形ABC中斜邊上的中線，則       ①CD＝AD＝BD＝AB；       ②點(diǎn)D是Rt△ABC的外心，外接圓半徑R＝AB．(6)如圖所示，若r是直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑，則．直角三角形的面積：①如圖所示，．（h為斜邊上的高）        ②如圖所示，． 【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)【高清課堂：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)    ID：408468     播放點(diǎn)：例2】 1．(1)如圖所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，則BC的長為(    )．           A．10·tan50°    B．10·cos50°    C．10·sin50°    D．(2)如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求cosA+tanB的值．(3)如圖所示的半圓中，AD是直徑，且AD＝3，AC＝2，則sinB的值等于________．【思路點(diǎn)撥】(1)在直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可以用某個(gè)銳角的三角函數(shù)值和一條邊表示其他邊．   (2)直角三角形中，某個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)值即為該三角形中兩邊之比．知道某個(gè)銳角的三角函數(shù)值就知道了該角的大小，可以用比例系數(shù)k表示各邊．   (3)要求sinB的值，可以將∠B轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中．【答案與解析】  (1)選B．    (2)在△ABC，∠C＝90°，．    設(shè)BC＝3k，則AB＝5k(k＞0)．    由勾股定理可得AC＝4k，    ∴  ．    (3)由已知，AD是半圓的直徑，連接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝． 【總結(jié)升華】 已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求同角或余角的其他三角函數(shù)值時(shí)，常用的方法是：利用定義，根據(jù)三角函數(shù)值，用比例系數(shù)表示三角形的邊長；    (2)題求cosA時(shí)，還可以直接利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式sin2 A+cos2 A＝1，讀者可自己嘗試完成． 舉一反三：【變式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，那么c等于(   )(A)         (B) (C)            (D) 【答案】選B.過點(diǎn)C作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中, ,所以AD=bcosA,同理,BD=acosB,所以c=AB=AD+BD=bcosA+acosB,又∠A+∠B=90°,所以cosA=sinB,cosB=sinA,所以c=asinA+bsinB. 類型二、特殊角的三角函數(shù)值【高清課堂：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí) 例1】2．解答下列各題：    (1)化簡求值：；    (2)在△ABC中，∠C＝90°，化簡．【思路點(diǎn)撥】第(2)題可以先利用關(guān)系式sin2 A+cos2 A＝1對根號內(nèi)的式子進(jìn)行變形，配成完全平方的形式．【答案與解析】解  (1)    (2)∵，∴．【總結(jié)升華】由第(2)題可得到今后常用的一個(gè)關(guān)系式：1±2sinαcosα=(sinα±cosα)2．例如，若設(shè)sinα+cosα＝t，則．舉一反三：【高清課堂：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)    ID：408468     播放點(diǎn)：例1】【變式】若，，(2α，β為銳角)，求的值.【答案】∵，且2α為銳角，∴2α＝60°，α＝30°．∴，∴β＝45°．∴． 3． (1)如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝105°，∠A＝30°，AC＝8，求AB和BC的長；    (2)在△ABC中，∠ABC＝135°，∠A＝30°，AC＝8，如何求AB和BC的長?(3)在△ABC中，AC＝17，AB＝26，銳角A滿足，如何求BC的長及△ABC的面積？若AC＝3，其他條件不變呢?     【思路點(diǎn)撥】 第(1)題的條件是“兩角一夾邊”．由已知條件和三角形內(nèi)角和定理，可知∠B＝45°；過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，則Rt△ACD是可解三角形，可求出CD的長，從而Rt△CDB可解，由此得解；第(2)題的條件是“兩角一對邊”；第(3)題的條件是“兩邊一夾角”，均可用類似的方法解決．【答案與解析】    解： (1)過點(diǎn)C作CD⊥AB于D．∵∠A＝30°，∠ACD＝105°，∴∠B＝45°．    ∵AC·sinA＝CD＝BC·sin B，    ∴．∴AB＝AD+BD＝AC·cosA+BC·cosB＝8cos30°+cos45°＝．      (2)作CD⊥AB的延長線于D，則AB＝，．    (3)作BD⊥AC于D，則BC＝25，204．     當(dāng)AC＝3時(shí)，∠ACB為鈍角，BC＝25，．【總結(jié)升華】 對一個(gè)斜三角形，通?？梢宰饕粭l高，將它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，并且要盡量使直角三角形中含有特殊的銳角(如30°、45°、60°的角)，然后通過解直角三角形得到原來斜三角形的邊、角的大小． 舉一反三：【變式】如圖，AB是江北岸濱江路一段，長為3千米，C為南岸一渡口，為了解決兩岸交通困難，擬在渡口C處架橋.經(jīng)測量得A在C北偏西30°方向，B在C的東北方向，從C處連接兩岸的最短的橋長為多少千米？(精確到0.1千米)
　　　　　　　　　　　
 【答案】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.
　　　　　　　　　
　　　 CD就是連接兩岸最短的橋.設(shè)CD=x（千米）.
　　　 在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.
　　　 在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x.
　　　 因?yàn)锳D+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9(千米).
      答：從C處連接兩岸的最短的橋長約為1.9千米. 類型三、解直角三角形及應(yīng)用4．如圖所示，D是AB上一點(diǎn)，且CD⊥AC于C，，，AC+CD＝18，求tanA的值和AB的長．【思路點(diǎn)撥】解題的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，轉(zhuǎn)化的目標(biāo)主要有兩個(gè)，一是構(gòu)造可解的直角三角形；二是利用已知條件通過設(shè)參數(shù)列方程．【答案與解析】解：作DE∥AC交CB于E，則∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，設(shè)CD＝4k(k＞0)，則CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．    ∵△ACD和△CDB在AB邊上的高相同，∴AD:DB＝．即．∴．    ∵AC+CD＝18， ∴5k+4k＝18，解得k＝2．    ∴．    ∴AB＝AD+DB＝AD+AD＝．【總結(jié)升華】在解直角三角形時(shí)，常用的等量關(guān)系是：勾股定理、三角函數(shù)關(guān)系式、相等的線段、面積關(guān)系等． 5．如圖所示，山腳下有一棵樹AB，小華從點(diǎn)B沿山坡向上走50 m到達(dá)點(diǎn)D，用高為1.5m的測角儀CD測得樹頂?shù)难鼋菫?0°，已知山坡的坡角為15°，求樹AB的高(精確到0.1m)．(參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)． 【思路點(diǎn)撥】本題是求四邊形一邊長的問題，可以通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解．【答案與解析】解：如圖所示，延長CD交PB于F，則DF⊥PB．    ∴DF＝DB·sinl5°≈50×0.26＝13.0，    CE＝BF＝DB·cos15°≈50×0.97＝48.5．    ∴AE＝CE·tan10°≈48.5×0.18＝8.73．    ∴AB＝AE+CD+DF＝8.734+1.54+13.0≈23.2(m)．答：樹高約為23.2 m．【總結(jié)升華】  一些特殊的四邊形，可以通過切割補(bǔ)圖形的方法將其轉(zhuǎn)化為若干個(gè)直角三角形來解．舉一反三：【變式】如圖所示，正三角形ABC的邊長為2，點(diǎn)D在BC的延長線上，CD＝3．    (1)動點(diǎn)P在AB上由A向B移動，設(shè)AP＝t，△PCD的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；(2)在(1)的條件下，設(shè)PC＝z，求z與t之間的函數(shù)關(guān)系式．                                                                                【答案】解：(1)作PE⊥BC于E，則BP＝AB-AP＝2-t(0≤t＜2)．∵∠B＝60°，∴，即．(2)由(1)不難得出，，．∴．∵．∴． 6．如圖(1)所示，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子與地面的傾斜角α為60°．    (1)求AO與BO的長．    (2)若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行．    ①如圖(2)所示，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC:BD＝2:3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑了多少米；②如圖(3)所示，當(dāng)A點(diǎn)下滑到A′點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到B′點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動到P′點(diǎn)，若∠POP′＝15°，試求AA′的長． 【思路點(diǎn)撥】（1）在直角△AOB中，已知斜邊AB，和銳角∠ABO，即可根據(jù)正弦和余弦的定義求得OA，OB的長；
（2）△APO和△P′A′O都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等，即可求得∠PAO的度數(shù)， 和∠P′A′O的度數(shù)，在直角△ABO和△A′B′O中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得OA與OA′，即可求得AA′的長．【答案與解析】解：(1)Rt△AOB中，∠O＝90°，α＝60°，    ∴∠OAB＝30°．又AB＝4米，    ∴OB＝AB＝2米．    OA＝AB·sin 60°＝4×＝(米)．    (2)①設(shè)AC＝2x，BD＝3x，    在Rt△COD中，    OC＝，OD＝2+3x，CD＝4，    根據(jù)勾股定理：OC2+OD2＝CD2，    ∴．    ∴．    ∵x≠0，∴．∴．．    即梯子頂端A沿NO下滑了米．    ②∵點(diǎn)P和點(diǎn)P′分別是Rt△AOB的斜邊AB與Rt△A′OB′的斜邊A′B′的中點(diǎn)，    ∴PA＝PO，P′A′＝P′O．    ∴∠PAO＝∠AOP，∠P′A′O＝∠A′OP′．    ∴∠P′A′O-∠PAO＝∠POP′＝15°．    ∵∠PAO＝30°，    ∴∠P′A′O＝45°．    ∴A′O＝A′B′·cos 45°＝．∴AA′＝OA-A′O＝米．【總結(jié)升華】解答本題的關(guān)鍵是理解題意．此題的妙處在于恰到好處地利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而求出∠P′A′O=45°，讓我們感受到了數(shù)學(xué)題真的很有意思，做數(shù)學(xué)題是一種享受．

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