專題03 解三角形（填空題）（11月）（理）（解析版）-2020-2021學(xué)年高二《新題速遞?數(shù)學(xué)（理）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單空題
1．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果，，，那么的最大內(nèi)角的余弦值為________．
【試題來源】北京市平谷區(qū)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測
【答案】
【分析】由邊的大小關(guān)系可知是最大角，然后利用余弦定理求解．
【解析】角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果，，，則是最大角，則，故答案為．
【名師點睛】本題考查三角形中的邊角關(guān)系，考查余弦定理的應(yīng)用，屬于簡單題．
2．已知在中，，，，則________．
【試題來源】北京市東城區(qū)2019-2020學(xué)年度高一下學(xué)期期末統(tǒng)一檢測
【答案】或．
【分析】由已知利用正弦定理可得，結(jié)合，可得范圍，即可求解B的值．
【解析】因為，，，
所以由正弦定理，可得，
因為，可得，所以，或．故答案為，或．
【名師點睛】此題考查正弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題
3．在中，角A、B、C對邊分別為a、b、c，已知，，，那么b等于________．
【試題來源】北京市平谷區(qū)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測
【答案】
【分析】由三角形面積公式求出邊，再由余弦定理計算可得；
【解析】，，，，
由余弦定理可得．
故答案為．
4．在中，其中，則角________．
【試題來源】江蘇省鹽城市東臺創(chuàng)新高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期11月檢測
【答案】
【分析】已知等式變形后，利用余弦定理化簡，再利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出的值，即可確定出．
【解析】由余弦定理得：，即，
因為，所以
代入已知等式得：，即，
為三角形內(nèi)角且，，故答案為
【名師點睛】本題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
5．在中，，，，則________．
【試題來源】湖北省部分重點中學(xué)（鄖陽中學(xué)、恩施高中、隨州二中、沙市中學(xué)）2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】或
【分析】由正弦定理，求得，得出或，進而求得的大小，得到答案．
【解析】由正弦定理，可得，
因為，可得或，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．故答案為或．
【名師點睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用正弦定理，求得角的大小是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力．
6．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則________．
【試題來源】天一大聯(lián)考2020-2021學(xué)年高二年級階段性測試（一）（理）
【答案】
【分析】根據(jù)題中條件，先求出角和角，再由正弦定理，即可得出結(jié)果．
【解析】因為，所以，則，，
因此，由正弦定理可得，．故答案為．
【名師點睛】本題主要考查用正弦定理進行邊角互化，屬于基礎(chǔ)題型．
7．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則邊上的高為________．
【試題來源】天一大聯(lián)考2020-2021學(xué)年高二年級階段性測試（一）（理）
【答案】
【分析】先由題中條件，根據(jù)余弦定理，求出，得出，進而可求出結(jié)果．
【解析】因為，，，所以，
則，過點向的延長線作垂線，垂足為，
則，

所以邊上的高為．故答案為．
8．海倫（Heron，約公元1世紀）是古希臘亞歷山大時期的數(shù)學(xué)家，以他的名字命名的“海倫公式”是幾何學(xué)中的著名公式，它給出了利用三角形的三邊長a，b，c計算其面積的公式S△ABC＝，其中，若a＝5，b＝6，c＝7，則借助“海倫公式”可求得△ABC的內(nèi)切圓的半徑r的值是________．
【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考（9月）（理）
【答案】
【分析】首先根據(jù)海倫公式求得三角形的面積，然后根據(jù)三角形內(nèi)切圓計算公式，計算出三角形的內(nèi)切圓．
【解析】，S△ABC＝，
由于，所以．故答案為
【名師點睛】本小題主要考查三角形面積的計算，考查三角形內(nèi)切圓半徑的計算，屬于基礎(chǔ)題．
9．在內(nèi)角的對邊滿足，則的最小值為________．
【試題來源】福建省莆田一中2019-2020學(xué)年高一（下）期中
【答案】
【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解即可．
【解析】根據(jù)題意，由得：
由余弦定理得
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故答案為
【名師點睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
10．若是的內(nèi)角，且，則與的大小關(guān)系是________．
【試題來源】湖北省黃石市重點高中2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考
【答案】A>B
【分析】運用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，再利用三角形中大邊對大角可得答案．
【解析】由正弦定理可知，，
得，故答案為．
【名師點睛】本題考查了利用正弦定理判定三角形中角的大小，屬于基礎(chǔ)題．
11．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為________．
【試題來源】上海市南洋模范中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考
【答案】
【分析】先利用三角形內(nèi)角和為，根據(jù)可以求出，再由正弦定理求出，即可利用三角形面積公式求出．
【解析】由題可知，在中，
，
由正弦定理可得，，
．故答案：．
【名師點睛】本題主要考查利用正弦定理解三角形，需要利用和的正弦公式和三角形面積公式，是高考必考題型．
12．△ABC中，若，AC＝1，且，則BC＝__．
【試題來源】廣東省湛江市2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末（文）
【答案】1
【分析】在△ABC中，運用余弦定理，代入計算即可得到．
【解析】由余弦定理得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC×BC×cos∠C
則3＝1+BC2+BC，所以BC2+BC﹣2＝0，又BC＞0，所以BC＝1．故答案為1．
【名師點睛】本題考查余弦定理及運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．在中，，則的外接圓的半徑等于________．
【試題來源】河北省衡水中學(xué)2021屆全國高三第一次聯(lián)合考試（全國卷）理數(shù)試題
【答案】
【分析】先由余弦定理求出，再求出，再由正弦定理可得答案．
【解析】在中，易求．又，
由余弦定理可得，解得．設(shè)外接圓的半徑為r，則由正弦定理，
得，所以．故答案為
【名師點睛】本題考查利用余弦定理解三角形和利用正弦定理求三角形外接圓的半徑，屬于中檔題．
14．在中，，，，點D在BC邊上，，則AD的長為________．
【試題來源】山西省太原市第五中學(xué)2021屆高三上學(xué)期9月階段性考試（文）
【答案】
【分析】由余弦定理求得BC的值，由正弦定理求得，再求出，過點D作，利用直角三角形求得AD的值．
【解析】如圖所示，由，，，

在中，由余弦定理得
，所以．
在中，由正弦定理得，
所以，因為，故為銳角，
所以．過點D作AB的垂線DE，垂足為E，
由得：，．
中，．故答案為．
【名師點睛】本題主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用問題，注意根據(jù)已知的邊和角確定合適的定理求解三角形，本題是基礎(chǔ)題．
15．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且三條邊a，b，c成等比數(shù)列，則的值為________．
【試題來源】云南師大附中2021屆高三適應(yīng)性月考（二）文科
【答案】
【分析】由正弦定理和等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由余弦定理即可得結(jié)果．
【解析】由正弦定理知：，又，所以，
從而由余弦定理得．故答案為．
【名師點睛】本題主要考查了通過正弦定理實現(xiàn)邊角互化，余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．
16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝C，2b＝a，則cos A＝________．
【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次驗收考試文科
【答案】
【解析】由B＝C，2b＝a，可得b＝c＝a，
所以cos A＝＝＝．故答案為
17．已知圓內(nèi)接四邊形中，則四邊形的面積為________．

【試題來源】河南省南陽市六校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】
【解析】連接BD，圓內(nèi)接四邊形對角互補，，利用余弦定理，
得，
所以，
四邊形面積．故答案為．
18．的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，且三條邊、、成等比數(shù)列，則的值為________．
【試題來源】云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三高考適應(yīng)性月考卷（二）文科
【答案】
【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)三條邊、、成等比數(shù)列得出，最后根據(jù)即可得出結(jié)果．
【解析】因為，所有根據(jù)正弦定理邊角互換可知，，
因為三條邊、、成等比數(shù)列，所以，，
則，故答案為．
【名師點睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查正弦定理邊角互換，考查等比中項的應(yīng)用，考查計算能力，是簡單題．
19．在中，D是BC邊上一點，，，且與面積之比為，則________．
【試題來源】重慶市重慶八中2021屆高三上學(xué)期九月份適應(yīng)性月考
【答案】
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求得的值，再利用余弦定理求得AC、AB的值，最后利用三角形的面積公式求得AD的值．
【解析】中，∠BAD＝∠DAC＝60°，如圖所示；

；
由余弦定理得，，
，解得AC＝6，所以AB＝10；
；
，
解得．故答案為．
20．在中，角的對邊分別是，若成等差數(shù)列，，的面積為，則．
【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二（9月份）第一次聯(lián)考（文）
【答案】
【解析】由題，整理得，解得，所以．
21．已知中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且，，，則________．
【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二（9月份）第一次聯(lián)考（文）
【答案】
【分析】由正弦定理化角為邊后，結(jié)合已知可求得，利用三角形面積公式可得，這樣由正弦定理可把用表示，用表示，代入求值式可得結(jié)論．
【解析】因為，所以由正弦定理得，又，則，則，又，所以，
由正弦定理得，，
所以．故答案為．
【名師點睛】本題考查正弦定理、三角形面積公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題基礎(chǔ)．
22．如圖，設(shè)△的內(nèi)角所對的邊分別為，，且．若點是△外一點，，，則四邊形面積的最大值為________．

【試題來源】廣東省深圳市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期調(diào)研備考
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理，利用“邊化角”化簡，可得，以角D為未知量建立關(guān)于角D的三角函數(shù)，即可得出最大值．
【解析】由正弦定理可得，，即，所以又，所以△為等邊三角形，在△ADC中，由余弦定理得，，故四邊形面積為，所以當(dāng)，四邊形面積最大，最大值為．
【名師點睛】解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．
23．已知的三內(nèi)角、、所對邊長分別為是、、，設(shè)向量，，若，則角的大小為________．
【試題來源】四川省內(nèi)江市第六中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試（文）
【答案】
【分析】利用兩向量平行的充要條件求出三角形的邊與角的關(guān)系，利用正弦定理將角化為邊，再利用余弦定理求出B的余弦，即可求出角．
【解析】因為向量，，若，
所以，
由正弦定理知：，即，
由余弦定理知：，所以cosB＝，因為B∈（0，π），所以B＝．
故答案為
【名師點睛】本題考查向量平行的充要條件和三角形的正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．
24．在銳角△ABC中．a(chǎn)，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且滿足，則tanA的取值范圍是________．
【試題來源】四川省內(nèi)江市第六中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試（理）
【答案】
【分析】利用正弦定理的邊角互化可得，進而可得，即，再根據(jù)△ABC為銳角三角形求出的范圍即可求解．
【解析】由

，
所以，解得，所以，
又，解得，
綜上所述，，所以．故答案為
【名師點睛】本題考查了正弦定理的邊角互化、兩角和與查=差的正弦公式，需熟記公式，屬于中檔題．
25．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則________．

【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第九章解三角形 9．2 正弦定理與余弦定理的應(yīng)用 9．3 數(shù)學(xué)探究活動：得到不可達兩點之間的距離
【答案】
【分析】在中，由余弦定理，求得，再由正弦定理，求得，最后利用兩角和的余弦公式，即可求解的值．
【解析】在中，海里，海里，，
由余弦定理可得，所以海里，
由正弦定理可得，
因為，可知為銳角，所以
所以．
【名師點睛】本題主要考查了解三角形實際問題，解答中需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，合理使用正、余弦定理是解答的關(guān)鍵，其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化；第三步：列方程，求結(jié)果．
26．在中，，，若的面積等于，則邊長為________．
【試題來源】江西省信豐中學(xué)2020屆高三上學(xué)期第三次月考（文）
【答案】
【分析】由可得，故，由余弦定理可得的長．
【解析】因為，故，所以．
又，所以，故，從而，填．
【名師點睛】一般地，解三角形時若知道面積，可以一邊及該邊上的高來計算，也可利用兩邊及其夾角的正弦來計算，我們需要根據(jù)要求解的目標在兩者中做出合適的選擇以便簡化計算．
27．在△ABC中，若則角B等于________．
【試題來源】北京市一零一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一第二學(xué)期期末
【答案】或
【解析】因為，
所以由正弦定理得：，
因為，所以或，故答案為或.
28．在中，，，面積為，則________．
【試題來源】北京市一零一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一第二學(xué)期期末
【答案】
【分析】由已知利用三角形面積公式可求c，進而利用余弦定理可求a的值，根據(jù)正弦定理即可計算求解．
【解析】，，面積為，，解得，
由余弦定理可得：，
所以，故答案為
【名師點睛】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
29．如圖，在中，，是上一點，是上一點，若，，，，則________．

【試題來源】福建省廈門市雙十中學(xué)2019-2020學(xué)年高一（下）期中
【答案】
【分析】過點作于點，設(shè)，再用x表示線段，，，，
，，然后在中，利用余弦定理求得x即可．
【解析】如圖所示：

過點作于點，設(shè)，
則由題意得：，，，
因為，所以，因為，
，即，因為，，
所以，所以，，，
所以中，由余弦定理得，
，又，，
，整理得：，解得或（舍去），
所以，解得．故答案為．
【名師點睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用以及平面幾何的知識，還考查了運算及其的能力，屬于中檔題．
30．設(shè)銳角三角形的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，，則的取值范圍為________．
【試題來源】福建省福清西山學(xué)校高中部2021屆高三9月月考
【答案】
【分析】由題意可得，且，解得A的范圍，可得的范圍，由正弦定理求得，根據(jù)的范圍確定出b的范圍即可．
【解析】由，得，由，
，故，
所以，所以．
【名師點睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理，以及銳角三角形的條件，屬于簡單題目．
31．在中，，，所對的邊分別是，，，已知，則________．
【試題來源】安徽省六安市霍邱縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期段考
【答案】
【分析】由，變形后利用余弦定理表示出，即可確定出的度數(shù)．
【解析】，即，
，為三角形內(nèi)角，，故答案為．
【名師點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，意在考查對基本定理掌握的熟練程度以及靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于簡單題．
32．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知bsinA+acosB=0，則B=________．
【試題來源】寧夏銀川市第二中學(xué)2021屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)統(tǒng)練一試題
【答案】．
【分析】先根據(jù)正弦定理把邊化為角，結(jié)合角的范圍可得．
【解析】由正弦定理，得．，得，即，故選D．
【名師點睛】本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取定理法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變化求角．
33．已知球的半徑為，三點在球的球面上，球心到平面的距離為，，，則球的表面積為________．
【試題來源】重慶市廣益中學(xué)校2019-2020學(xué)年高二上期期末復(fù)習(xí)
【答案】
【解析】設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，即，由題設(shè)可得，解之得，故球的面積．故應(yīng)填答案．
【易錯點晴】球是立體幾何中的重要圖形之一，也是高中數(shù)學(xué)中的重要知識點之一，也歷屆高考必考考點之一．本題以球中的有關(guān)概念為背景，考查是與球有關(guān)的知識的綜合運用讀能力和空間想象能力．解答時先運用正弦定理可得，即，再由題設(shè)可得，解之得，最后求得球的面積，從而獲得答案．
34．在中，角所對的邊分別為，若的面積為，則的最大值為________．
【試題來源】2020屆廣西壯族自治區(qū)高三第一次教學(xué)質(zhì)量診斷性聯(lián)合數(shù)學(xué)（文）
【答案】
【分析】根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理，采用整體代換，結(jié)合輔助角公式，可得結(jié)果．
【解析】由面積公式得，，即，
由余弦定理得，
所以
則，其中，，
故當(dāng)時，取得最大值．故答案為
【名師點睛】本題考查解三角形中面積公式，余弦定理的應(yīng)用，以及對輔助角公式的考查，熟練掌握公式，細心計算，屬中檔題．
35．在中，是邊上一點，，，，，則________．
【試題來源】貴州省貴陽市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三高考適應(yīng)性月考卷（六）（理）
【答案】
【分析】設(shè)，在中求出，然后在中利用余弦定理可得出關(guān)于的方程，解出的值，進而可求得的長．
【解析】如圖，設(shè)，則，在中，，，則，，

在中，由余弦定理得，
即，解得，因此，．
故答案為．
36．設(shè)內(nèi)角的對邊分別為．若°，的面積為2，則的外接圓的面積為________．
【試題來源】內(nèi)蒙古通遼市開魯縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考（文）
【答案】
【分析】根據(jù)三角形的面積公式，得到，再根據(jù)余弦定理可得，進一步利用正弦定理可以得到外接圓的半徑，最終得到答案．
【解析】由題意可得，則，
再由余弦定理可得，，
則，再由正弦定理可得，，
三角形外接圓的半徑為，的外接圓的面積為．故答案為．
【名師點睛】本題考查三角形外接圓的知識點，涉及到三角形的面積公式以及正余弦定理，屬于比較常見的中等題型．
37．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，則的面積為________．
【試題來源】黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第一次月考（文）
【答案】
【分析】由正弦定理得，由平方關(guān)系和余弦定理可得，再利用面積公式即可得解．
【解析】由已知條件及正弦定理可得，
易知，所以，
又，所以，
所以，所以，即，，
所以的面積．故答案為．
【名師點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
38．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，則的最大值為________．
【試題來源】浙江省山水聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試
【答案】
【分析】利用正弦定理將化為，然后利用三角形內(nèi)角和定理將用代換，再利用兩角和的正弦公式展開整理可得，再由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，將其代入展開式消去，結(jié)合基本不等式即可求出的最大值．
【解析】因為由正弦定理邊角互化得
，
又因為，
所以，
所以
因為當(dāng)或時，等式不成立，
所以，，
所以，
又因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，
所以．故答案為
【名師點睛】本題主要考查正弦定理，兩角差的正切公式及基本不等式的應(yīng)用，需要注意的是在利用基本不等式時，要根據(jù)條件確定．
39．中，，則的最大值為________．
【試題來源】云南師大附中2021屆高三適應(yīng)性月考（二）理科
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的概念代入可得，由余弦定理和基本不等式結(jié)合可得的最小值，由三角恒等式即可得結(jié)果．
【解析】由題意知，，
同理，，
故由已知，，即，
由，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最大值是．故答案為．
【名師點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的概念、余弦定理的應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用以及三角函數(shù)的以值求值，屬于中檔題．
40．在①②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并求解．問題：已知內(nèi)角的對邊分別為，若，________，試求的范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【試題來源】浙江省三校（新昌中學(xué)、浦江中學(xué)、富陽中學(xué)）2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】條件選擇見解析，
【分析】當(dāng)選①，利用正弦定理即可求解；當(dāng)選②，利用基本不等式以及余弦定理可得，利用正弦定理即可求解．
【解析】當(dāng)選①：易知，，
，
，
由，則，則，
則，
當(dāng)選②：可知，
，從而，，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，從而．
【名師點睛】本題是一道開放性題目，考查了正弦定理、余弦定理解三角形以及基本不等式、三角函數(shù)的性質(zhì)在求范圍中的應(yīng)用，屬于中檔題．
41．設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，且，若△ABC不是鈍角三角形，則的取值范圍是________．
【試題來源】江蘇省徐州市銅山區(qū)、南通市如皋中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次抽測
【答案】
【分析】先求得C的范圍，由正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡為1，由角C越大，越小，求得的取值范圍．
【解析】三角形ABC中，因為，若△ABC不是鈍角三角形，由A+C，
可得C．
利用正弦定理可得1，
顯然，角C越大，越小．
當(dāng)C時，cosC＝0，則1；當(dāng)C時，1∈（1，4]，
綜上可得，∈，故答案為．
【名師點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查，屬于中檔題．
42．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A、B、C的對邊，，，則的面積為________．
【試題來源】重慶市第八中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換得到，再利用面積公式計算得到答案．
【解析】，，
，
整理得到，，故，
即，，故，，，
故為等邊三角形，．故答案為．
【名師點睛】本題考查了正弦定理，面積公式，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力．
43．小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)誰的影子恰好落在地面和一斜坡上（如圖1），此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米，已知斜坡的坡角為30°，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米（如圖2），則樹的高度為________．

【試題來源】江蘇省鎮(zhèn)江市名校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考
【答案】米
【分析】延長AC交BF延長線于D點，則BD即為AB的影長，然后根據(jù)物長和影長的比值計算即可．
【解析】延長AC交BF延長線于D點，則∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，
在RtCFE中，∠CFE=30°， CF =4m，所以CE=2 (米)，EF =4cos30°= (米)，
在RtCED中，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，米，CE：DE=1：2，DE=4 (米)，BD= BF+EF+ ED=12+ (米)，
在RtABD中， (米) ．故答案為 (+6)米．

【名師點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線得到的影長．
44．設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，且，則________．
【試題來源】廣西南寧市2018-2019學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考文科
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理得到之間的關(guān)系，再根據(jù)角對應(yīng)的余弦定理結(jié)合已知條件即可求解出的值．
【解析】因為，所以，所以，
又因為，，所以，解得，故答案為．
【名師點睛】本題考查利用正、余弦定理解三角形，其中涉及利用正弦定理完成角化邊，主要考查學(xué)生對公式的熟練運用，難度一般．
45．在中，若，，則的最大值為________．
【試題來源】江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末模擬
【答案】
【解析】設(shè)
，最大值為
【名師點睛】借助于正弦定理，三角形內(nèi)角和將邊長用一內(nèi)角表示，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，只需將三角函數(shù)化簡為的形式
46．在中，，，則中線的取值范圍是________．
【試題來源】云南省云天化中學(xué)、下關(guān)一中2021屆高三復(fù)習(xí)備考聯(lián)合質(zhì)量檢測卷（二）（理）
【答案】
【分析】由正弦定理可得，從而可求出的軌跡方程，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求出中線的取值范圍．
【解析】由正弦定理得，則點是以，為焦點的橢圓上的一點，
不妨以，所在直線為軸，點為原點建立平面直角坐標系，則橢圓方程為，
由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上點到原點距離最大為長軸的一半，最小為短軸的一半，
則可知中線長的取值范圍為．故答案為．

【名師點睛】本題考查了正弦定理，考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．本題的難點是將中線轉(zhuǎn)化為橢圓問題．
47．在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知的面積為，，，則b的值為________．
【試題來源】云南師大附中2020屆高三（下）月考（理）（八）
【答案】
【分析】【分析】由和平方關(guān)系求出，結(jié)合的面積為，求出，再用余弦定理可求b的值
【解析】由，，且角B為鈍角
把代入到，得，，
，所以，
由余弦定理得，
所以，故答案為．
【名師點睛】本題考查平方關(guān)系、余弦定理以及三角形的面積公式的應(yīng)用，同時考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
48．在銳角中，，，的等差中項為，則中線的長的取值范圍是________．
【試題來源】湖南省長沙一中2020屆高三（上）月考（理）（三）
【答案】．
【分析】由已知為銳角三角形結(jié)合正弦定理，余弦定理可求的范圍，進而可求的范圍，然后由可求，即可求解．
【解析】，，由正弦定理可得，，即，
因為是銳角三角形，所以，即，解可得，，
所以，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，，，

故答案為
【名師點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理及二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)量積的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
49．在銳角中，角的對邊分別為，的面積為，若，，，則的面積為________．
【試題來源】江西省贛州市會昌縣七校2021屆高三聯(lián)合月考（理）
【答案】
【分析】由，求得，得到，利用余弦定理和三角形面積公式，求得，再由正弦定理求得，結(jié)合面積公式，即可求解．
【解析】因為，可得，即，
又由，所以，所以，
又因為，可得，
則，即，因為，可得，
所以，又由正弦定理，可得，
所以的面積為．
故答案為．
【名師點睛】本題主要考查了余弦的倍角公式，以及正弦、余弦定理和面積公式的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用余弦的倍角公式和三角形的正弦、余弦定理，結(jié)合面積公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力．
50．在中，角所對應(yīng)的邊分別為．已知，則________．
【試題來源】河南省南陽市六校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】
【分析】先利用正弦定理可得到，再利用兩角之和的正弦公式可得到，從而可得到的值．
【解析】將，利用正弦定理可得：，
即，因為，所以，
利用正弦定理可得：，則．故答案為．
【名師點睛】利用正弦定理可以將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而很好的解決問題．
51．設(shè)銳角的角，，所對邊分別為，，，且，則的取值范圍為________．
【試題來源】黑龍江省大慶實驗中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考（文）
【答案】
【分析】先由已知化簡整理得并求出，再確定角并求出，最后求的取值范圍即可．
【解析】因為，，
所以，由正弦定理得：
所以，
因為，所以，
所以，整理得：，
因為角為銳角，所以，則
因為，，所以，所以
所以，則
所以
故答案為．
52．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，，則的面積為________．
【試題來源】陜西省安康市2020屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考理科
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理求得，再運用三角形的面積公式即可求得結(jié)果．
【解析】由于，，，因為，所以，，
由余弦定理得，解得，
所以的面積．故答案為．
53．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，的面積為，，則的最大值為________．
【試題來源】江蘇省南通市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期9月月考模擬測試
【答案】
【分析】本道題反復(fù)運用正弦定理、余弦定理，計算出bc的范圍，并用bc表示所求式子，
計算最值，即可．
【解析】，推出
利用余弦定理，代入上式子中，得到
結(jié)合正弦定理，計算出

.
【名師點睛】本道題考查了正弦、余弦定理，難度較大．
二、雙空題
54．在中，角，，所對的邊分別是，，，的平分線交于點，且，若的面積為，則________；________．
【試題來源】浙江省浙南名校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】
【分析】利用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式和余弦定理對已知條件化簡整理得到的值，從而求得；
進而將的值代回余弦定理，得到的關(guān)系，從而求得的值．
【解析】如圖所示，由內(nèi)角平分線定理可得，，即，由的面積為，
由余弦定理得
所以，，；
，即，
所以，故答案為；．

【名師點睛】本題考查正余弦定理在解三角形計算中的綜合應(yīng)用，涉及三角形的面積公式和三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)，屬中檔題．
55．在中，，則________；點是上靠近點的一個三等分點，記，則當(dāng)取最大值時，________．
【試題來源】江蘇省徐州市市區(qū)部分學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期9月學(xué)情調(diào)研考試
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由三角恒等變換將原式化簡，即可求出；設(shè)，，，則，，根據(jù)正弦定理，得到，，求出，得到，表示出，求出最值，即可得出結(jié)果．
【解析】因為，所以，
即，
又因為，所以；設(shè)，，，
則，，
由正弦定理可得，，
又，
由，得．
因為，
所以，
因為，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，
此時，
所以，；答案為；．
【名師點睛】本題主要考查由三角恒等變換求函數(shù)值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于?？碱}型．
56．在中，角，，的對邊分別為，，，滿足，，則________，的面積為________．
【試題來源】2020年浙江省名校高考押題預(yù)測卷（一）
【答案】2
【分析】（1）首先利用方程有解，，化簡求角，并回代方程求解；（2）根據(jù)余弦定理求邊，最后代入三角形面積公式．
【解析】由題意得，關(guān)于的方程有實根．
所以，所以，，又，所以，，所以，所以，
，．所以，所以，
所以的面積．故答案為；．
【名師點睛】本題考查三角恒等變形，解三角形，重點考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題型．
57．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，且，則________；若的面積為，則的周長的最小值為________．
【試題來源】重慶市部分區(qū)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考
【答案】
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式和正弦定理得到，再根據(jù)余弦定理求角的值；（2）首先根據(jù)面積公式得到，再根據(jù)余弦定理和基本不等式求周長的最小值．
【解析】（1）由條件可知，
根據(jù)正弦定理邊角互化轉(zhuǎn)化為，
即，，
因為，所以；
（2），解得，
，即
當(dāng)時，等號成立，，當(dāng)時等號成立，
所以，當(dāng)時，時取得最小值．
故答案為；
【名師點睛】本題考查正余弦定理解三角形，基本不等式求最值，重點考查轉(zhuǎn)化與變形，計算能力，屬于中檔題型．
58．在中，角，，所對的邊分別為，b，c．已知向量，且．D為邊上一點，且．則________，面積的最大值為________．
【試題來源】湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考
【答案】
【分析】由計算可得，進而得出，因為，所以，，在和中分別計算和的表達式，然后利用可得，由余弦定理可得，兩式結(jié)合可得，由不等式的知識可得，進而可得，最后利用三角形面積計算公式可得出面積的最大值．
【解析】由可得，，
利用余弦二倍角公式和邊化角可得：，
即，
利用積化和公式可得：，即，
又，所以；因為，所以，，
在中，，
在中，，
又，所以有，
即，①，又，②
將②代入①得，，
又，所以，即，
由，，可得：，
所以．
所以面積的最大值為．故答案為；．
【名師點睛】本題主要考查解三角形，考查兩角積化和公式的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題．
59．在中，角所對的邊分別為，已知，則________，若，的面積為，則________．
【試題來源】2020屆浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理將邊化成角，然后得到，從而得到的值，根據(jù)余弦定理得到，根據(jù)的面積得到，從而得到的值．
【解析】因為，由正弦定理可得，
，而，所以，，所以．
因為，所以由余弦定理可得，即
因為的面積為，所以，所以，
所以，所以．故答案為；．
【名師點睛】本題考查正弦定理的邊角互化，余弦定理解三角形，三角形的面積公式，屬于簡單題．
60．銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則________，若，則的取值范圍是________．
【試題來源】湖北省武漢市部分重點中學(xué)（武漢六中等）2019-2020學(xué)年高一（下）期末
【答案】
【分析】①由正弦定理，可推出，再結(jié)合二倍角公式和的取值范圍即可得解；
②由正弦定理，知，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和與正弦的兩角和公式可將其化簡為；然后由、及，可求得，，即，將其代入化簡后的式子即可得解．
【解析】①由正弦定理知，，
，，
，，
銳角，，，，，．
②由正弦定理知，，
，
銳角，、，
，且，
，即，，，．
故答案為；．
【名師點睛】本題考查解三角形和三角函數(shù)的綜合運用，涉及正弦定理、二倍角公式、正弦的兩角和公式以及正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生靈活運用知識的能力、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
61．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為．若，則________；的最大值為________．
【試題來源】廣東省汕尾市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末
【答案】3
【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化簡已知等式可得，根據(jù)基本不等式可求，結(jié)合范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解的最大值．
【解析】因為，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時不等式兩邊取等號，
所以當(dāng)取得最小值時，取得最大值，最大值為．
故答案為3，．
【名師點睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．
62．海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞．若要測量如圖所示的藍洞的口徑，兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點，，測得，，，，則兩點的距離為________，兩點的距離為________．

【試題來源】山東省聊城市九校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次開學(xué)聯(lián)考
【答案】
【分析】先求和，再建立方程求出，接著判斷是等腰三角形，最后求即可．
【解析】因為，，所以，，
在中，由正弦定理得：，
即，解得
因為，，所以，
所以是等腰三角形，則．故答案為，
【名師點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用、實際問題中的距離測量問題、三角形中的計算問題，還考查了數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．
63．分別為內(nèi)角的對邊．已知
(1) ________；
(2)若，則________．
【試題來源】2020屆山東省濟南市歷城第二中學(xué)高三上學(xué)期期中
【答案】3
【分析】(1)由余弦定理可得，再由兩角和、差的余弦公式展開運算求解即可；(2)由（1）可得，再由正弦定理可得，得解．
【解析】(1)由，得，
而，所以，
即，故．
(2)因為，所以，則，所以，
從而，
由正弦定理得，則，故答案為(1)． 3 (2)．．
【名師點睛】本題考查了正弦定理及余弦定理，重點考查了兩角和、差的余弦公式，屬中檔題．
64．在中，，則的值為________，的長為________．
【試題來源】2019屆浙江省杭州二中高三高考模擬
【答案】
【分析】根據(jù)角A的范圍，求得，再湊角，可求得的值，再根據(jù)余弦定理可求得的長．
【解析】因為?，所以?，
由得，
所以，
因為?，所以，又因為，
所以，
所以的長為?．故答案為，．
【名師點睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)求值中給值求值型，余弦定理，關(guān)鍵在于運用已知角表示待求的角，屬于基礎(chǔ)題．