專題10 圓錐曲線與方程（解答題）（10月）（理）（解析版）-2020-2021學(xué)年高二《新題速遞?數(shù)學(xué)（理）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、解答題
1．（江西省南昌市2021屆高三摸底測試（理））已知橢圓：（）的左、右焦點分別是、，其離心率為，以為圓心以1為半徑的圓與以為圓心以3為半徑的圓相交，兩圓交點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓上頂點斜率為的直線與橢圓的另外一個交點為，若的面積為，求直線的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）設(shè)橢圓方程為（），
由兩圓交點在橢圓上，，得，
由離心率為，，得，所以橢圓的方程為．
（2）因為點的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，
代入橢圓方程得到：，因為，
所以，，
又直線與軸的交點坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
所以，解得或，
所以直線的方程為或．
2．（安徽省宣城市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末（文））已知拋物線上的點到焦點F的距離為.
（1）求的值；
（2）過點作直線交拋物線于兩點，且點是線段的中點，求直線方程.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由拋物線焦半徑公式知：，解得：，
，，解得：.
（2）設(shè)，，則，兩式作差得：，
，為的中點，，，
直線的方程為：，即.
3．（山東省菏澤市成武一中2020屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬）如圖，已知圓：，點是圓內(nèi)一個定點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點.當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)過點的直線與曲線相交于兩點（點在兩點之間）.是否存在直線使得？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）（2）存在，或．
【解析】（1）因為圓的方程為，所以，半徑．
因為是線段的垂直平分線，所以．
所以．
因為，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓．
因為，，，所以曲線的方程為．
（2）存在直線使得．
方法1：因為點在曲線外，直線與曲線相交，
所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．設(shè)，
由得．
則，① ，②
由題意知，解得．
因為，所以，即． ③
把③代入①得， ④
把④代入②得，得，滿足．
所以直線的方程為：或．
方法2：因為當(dāng)直線的斜率為0時，，，，
此時．因此設(shè)直線的方程為：．設(shè)，
由，得．
由題意知，解得或，
則， ① ， ②
因為，所以． ③
把③代入①得，， ④
把④代入②得，，滿足或．
所以直線的方程為或．
4．（安徽省阜陽市太和第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底檢測（理））已知橢圓的離心率是，短軸長為2，A，B分別是E的左頂點和下頂點，O為坐標(biāo)原點.
（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點M在E上且位于第一象限，的兩邊和分別與x軸、y軸交于點C和點D，求的面積的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因為橢圓E的離心率，短軸長為2，所以.
又，解得.故橢圓E的方程為；
（2）如圖所示，設(shè)點.

，且A，D，M三點共線，，得，又
所以，同理得，又，
因此四邊形的面積.
又點在橢圓上，所以，即，
代入上式得.
設(shè)過點M且與直線平行的直線l的方程為，
當(dāng)l與橢圓相切時，M到AB的距離d最大，為兩平行線之間的距離，得面積最大.
聯(lián)立整理得，，
解得，所以直線l的方程為，即，
所以.
所以的面積的最大值為.
5．（廣東省汕尾市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末）已知離心率為的橢圓的兩個焦點分別為、．過的直線交橢圓于A、B兩點，且的周長為8．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點作圓O(O為坐標(biāo)原點)：的切線l、直線l交橢圓E于M、N兩點，求面積的最大值．
【答案】（1）；（2）1.
【解析】（1）因為的周長為8，所以，
由橢圓的定義可得，即，又橢圓的離心率為，所以，
所以，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，直線l的方程為，
因為直線l與圓相切，所以，即，
又直線l與橢圓的方程聯(lián)立，整理得，
，，
所以，
又點O到直線l的距離為1，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的面積的最大值為1．
6．（甘肅省平?jīng)鍪星f浪縣第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二第二學(xué)期期中考試（文））在直角坐標(biāo)系中，已知中心在原點，離心率為的橢圓的一個焦點為圓：的圓心．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上一點，過作兩條斜率之積為的直線，，當(dāng)直線，都與圓相切時，求的坐標(biāo)．
【答案】（1）（2），或，或，或.
【解析】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，所以，又，，，而據(jù)題意橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，故其方程為．
（2）設(shè)，得
∵，依題意到的距離為
整理得，
同理，
∴是方程的兩實根，
，∴
.
7．（江蘇省連云港市贛榆區(qū)智賢中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期10月月考）（1）已知橢圓的離心率為，準(zhǔn)線方程為，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M（2，－2）的雙曲線方程．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由題意可得，解得，所以方程為.
（2）設(shè)所求雙曲線方程為，代入點M（2，－2）得，
所以方程為
8．（云南省曲靖市宣威市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末（文））已知橢圓：（）的一個焦點為，設(shè)橢圓的焦點恰為橢圓短軸上的頂點，且橢圓過點．
（1）求的方程；
（2）若直線與橢圓交于，兩點，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由橢圓：（）的一個焦點為，
得，且，∴橢圓的焦點為，．
又橢圓過點，∴橢圓的長軸長為
．
∴橢圓的半長軸長為，半焦距為，則短半軸長為，∴的方程為；
（2）設(shè)，，聯(lián)立消去，整理得，
則，，
∴.
9．（四川省瀘州市2019-2020學(xué)年下學(xué)期高二期末統(tǒng)一考試（文））平面直角坐標(biāo)系中，動點到點的距離比它到直線的距離小1.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）設(shè)直線與軌跡相交于，兩點，求線段的中點坐標(biāo).
【答案】（1）；（2）線段的中點坐標(biāo)為；
【解析】（1）動點到點的距離比它到直線的距離小于1，
點在直線的上方，點到的距離與它到直線的距離相等，
點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線的方程為；
（2）由消去得，
設(shè)交點，的坐標(biāo)分別為，，，，中點坐標(biāo)為，
則，所以，，即線段的中點坐標(biāo)為．
10．（云南省保山市2019-2020學(xué)年高二教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試文科）已知過點的拋物線的焦點為F，直線與拋物線的另一交點為B，點A關(guān)于x軸的對稱點為.
（1）求p的值；
（2）求直線與x軸交點的坐標(biāo).
【答案】（1）2；（2）.
【解析】（1）把代入拋物線方程，得.
（2）由（1）知拋物線方程為，且焦點，
∴直線的方程為，即，
與聯(lián)立，消去x得，解得或，
∴B點的縱坐標(biāo)為，代入，得，
∴，而關(guān)于x軸的對稱點，∴的方程為，
當(dāng)時，，所以直線與x軸交點的坐標(biāo)為.
11．（廣西桂林十八中2020屆高三（7月份）高考數(shù)學(xué)（文）第十次適應(yīng)性試題）設(shè)拋物線的焦點為，點是上一點，且線段的中點坐標(biāo)為.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，為拋物線上的兩個動點（異于點），且，求點的橫坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依題意得，設(shè)，由的中點坐標(biāo)為，得，
即，，所以，得，即，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意知，設(shè)，，則，
因為，所以，所在直線方程為，
聯(lián)立，因為，得，
即，
因為，即，故或.
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，不滿足題意；所以點的橫坐標(biāo)的取值范圍是.
12．（福建省泰寧第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高二上學(xué)期第二階段考試（文））已知拋物線：的焦點，上一點到焦點的距離為5．
（1）求的方程；
（2）過作直線，交于，兩點，若直線中點的縱坐標(biāo)為-1，求直線的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】方法1：拋物線：的焦點的坐標(biāo)為,由已知，解得或，
∵,∴，∴的方程為.
方法2：拋物線的準(zhǔn)線方程為
由拋物線的定義可知，解得，∴的方程為.
（2）方法1：由（1）得拋物線C的方程為,焦點
設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為,則
兩式相減,整理得，
∵線段中點的縱坐標(biāo)為，∴直線的斜率，
直線的方程為即，
方法2：由（1）得拋物線的方程為,焦點，
設(shè)直線的方程為，由，
消去,得設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為,
∵線段中點的縱坐標(biāo)為∴解得
直線的方程為即
【點睛】本題主要考查了直線與拋物線相交的綜合問題，對于涉及到中點弦的問題，一般采用點差法能直接求出未知參數(shù)，或是將直線方程設(shè)出，設(shè)直線方程時要注意考慮斜率的問題，此題可設(shè)直線的方程為，就不需要考慮斜率不存在，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用條件列出等量關(guān)系，求出未知參數(shù)．
13．（廣東省汕頭市金山中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期6月月考）已知橢圓：()過兩點，，拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，準(zhǔn)線方程為.
（1）求?的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）請問是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交不同兩點?，且滿足直線與直線垂直？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
【答案】（1）：，：；（2）見解析.
【解析】（1）把點，代入，
得：，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)拋物線方程為，因為準(zhǔn)線方程為，所以，
，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）假設(shè)存在這樣的直線過拋物線焦點，設(shè)直線的方程為，
兩交點坐標(biāo)為，，
由消去x，得，判別式，
∴，，

由直線與直線垂直，即，得，
得，解得.
所以假設(shè)成立，即存在直線滿足條件，且的方程為：或.
14．（重慶市第一中學(xué)2020屆高三下學(xué)期5月月考（理））已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為，過焦點F的直線交拋物線E于A、B.
（1）若垂直l于點，且，求AF的長；
（2）O為坐標(biāo)原點，求的外心C的軌跡方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，，得，
，故；
（2）設(shè)，直線，
由，得，由韋達定理得：，
即有，
易得的中垂線方程聯(lián)立可得：，
可得：，
外心的軌跡方程為.
15．（重慶市南開中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第九次教學(xué)質(zhì)量檢測（理））已知拋物線的焦點為F，B，C為拋物線C上兩個不同的動點，(B，C異于原點)，當(dāng)B，C，F(xiàn)三點共線時，直線BC的斜率為1，.
（1）求拋物線T的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分別過B，C作x軸的垂線，交x軸于M，N，若，求BC中點的軌跡方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)直線BC的方程為：，則，
設(shè)，則，
所以拋物線T的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）令，，則，則，
直線BC的方程為：，
令直線BC與y軸交于點H，則，
所以，
所以或0(舍)，
令BC中點為，則，
所以中點軌跡方程.

16．（重慶市南開中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第九次質(zhì)檢（文））已知拋物線的焦點為F，B?C為拋物線T上兩個不同的動點，當(dāng)B，C過F且與x軸平行時，BC長為1.
（1）求拋物線T的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分別過B，C作x軸的垂線，交x軸于M，N，若，求BC中點的軌跡方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由題意當(dāng)BC過F且與x軸平行時，有，，
則，∴拋物線T的方程為；
（2）設(shè)，設(shè)BC與y軸交于點，
則，，
故由得：，
∴，或者，即或，
設(shè)BC的中點，則，
①當(dāng)時，由得：，∴
②當(dāng)時，同理可得：，
故BC中點的軌跡方程為或
17．（重慶市巴蜀中學(xué)2021屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考（一））已知拋物線，為上一點且縱坐標(biāo)為4，軸于點，且，其中點為拋物線的焦點.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知點，，是拋物線上不同的兩點，且滿，證明直線恒過定點，并求出定點的坐標(biāo).
【答案】（1）（2）證明見解析
【解析】（1）設(shè)，根據(jù)拋物線的定義可得，
又軸于點，則，，所以，則，
所以，由在拋物線上，，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）證明：點在拋物線上.
設(shè)的方程為：，，
由得，則，
故
，
所以，整理得，
將代入得，即.
所以直線恒過定點
18．（江蘇省泰州中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期初檢測）已知拋物線上的焦點為.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過作斜率為的直線交曲線于、兩點，若，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依題意，拋物線的焦點為，開口向上，，
所以曲線的方程為：；
（2）設(shè)過的斜率為的直線方程為：，
聯(lián)立，消去并化簡得. 令、，
所以，，由題可知：，
即：，即得，
由，，得：，，
所求直線的方程為：.
19．（福建省廈門市雙十中學(xué)2019-2020學(xué)年高二（下）期中）已知圓，動點，線段與圓交于點，軸，垂足為，.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設(shè)為曲線上的一點，過點作圓的兩條切線，分別為兩切線的斜率，若，求點的坐標(biāo).
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵圓F的圓心為，半徑為1，，
又軸，垂足為H，，
動點到點等于到直線的距離．
故動點的軌跡是以為焦點的拋物線，則，
，則動點M的軌跡C的方程是；
（2）設(shè)過點P的切線方程為，即，
則圓心到切線的距離為，
化簡得，，
兩切線斜率分別為，，，
由題設(shè)知，，又為曲線C上的一點，
由知，，，即，
解得，或，，，則，點P的坐標(biāo)為．
20．（四川省達州市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末（理））已知動點P到點的距離比到直線l：的距離大1.
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點的直線與C相交于A，B兩點，在x軸上是否存在點M使得？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）∵動點P到定點的距離比到直線l：的距離大1，
∴P到F的距離等于P到直線的距離，
∴動點P的軌跡為以為焦點的拋物線，∴軌跡C的方程為；
（2）設(shè)，，，直線l：，代入，
可得，則，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，即.
故在x軸上是否存在點使得.
21．（江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期初）已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為（其中為坐標(biāo)原點）．
（1）試求拋物線的方程；
（2）已知點兩點在拋物線上，是以點為直角頂點的直角三角形．
①求證：直線恒過定點；
②過點作直線的垂線交于點，試求點的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．
【答案】（1）；（2）①證明見解析；②，是以為直徑的圓（除去點.
【解析】（1）解依題意，設(shè)，，
則由，得，即，
因為，，所以，故，，
則，關(guān)于軸對稱，所以軸，且，所以.
因為，所以，所以，
故，，故拋物線的方程為.
（2）①證明由題意可設(shè)直線的方程為，，，
由，消去，得，故，，.
因為，所以.即.
整理得，
，即，
得，所以或.
當(dāng)，即時，直線的方程為，
過定點，不合題意舍去.故直線恒過定點.
②解設(shè)，則，即，
得，即，
即軌跡是以為直徑的圓（除去點）.
22．（黑龍江省哈師大附中2020屆高三高考數(shù)學(xué)（文）四模）設(shè)拋物線：焦點為，準(zhǔn)線為，為上一點，已知以為圓心，為半徑的圓交于、點．
（1）若，的面積為，求的值及圓的方程；
（2）若點在第一象限，且、、三點在同一直線上，直線與拋物線的另一個交點記為，且，求實數(shù)的值．
【答案】（1），圓為：；（2）．
【解析】（1）焦點到準(zhǔn)線的距離為，
又∵，，∴為正三角形，∴，，
∴，，∴圓為：．
（2）若、、共線，則，，
∴，，∴直線的傾斜角為或，
由對稱性可知，設(shè)直線：，，，，
聯(lián)立，
∴，，或，
又，，，所以．
23．（湘豫名校2020屆高三聯(lián)考（6月）（文））已知拋物線的焦點為，點，點為拋物線上的動點.
（1）若的最小值為，求實數(shù)的值；
（2）設(shè)線段的中點為，其中為坐標(biāo)原點，若，求外接圓的方程.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）由題意，聯(lián)立，可得.
如圖1，①若線段與拋物線沒有公共點，即時，
點在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，由拋物線的定義可得，
則當(dāng)、、三點共線時，的最小值為，此時；
②若線段與拋物線有公共點，即時，
則當(dāng)、、三點共線時，的最小值為，此時，綜上，實數(shù)的值為或；

圖1 圖2
（2）如圖2，因為，所以軸且，
設(shè)，則，代入拋物線的方程得，解得，
于是，所以外接圓的方程為.
24．（廣西南寧二中柳鐵一中2021屆高三9月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文））已知動圓Q經(jīng)過定點，且與定直線相切（其中a為常數(shù)，且）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，證明：.
【答案】（1），它是以F為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線；（2）證明見解析.
【解析】（1）設(shè)，由題意得，化簡得，
所以動圓圓心Q的軌跡方程為，它是以F為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線.
（2）不妨設(shè).因為，所以，
從而直線的斜率為，解得，即，
又，所以軸.要使，只需.
設(shè)直線m的方程為，代入并整理，得.
所以，解得或.
設(shè)，，則，.

.
故存在直線m，使得，直線m的斜率的取值范圍為.
25．（人教A版（2019）選擇性必修第二冊單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線．
（1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設(shè)斜率為1的直線交于、兩點．若與圓相切，求證：；
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）雙曲線，左頂點，漸近線方程：．
過點與漸近線平行的直線方程為，即．
解方程組得，所以所求三角形的面積為．
（2）設(shè)直線的方程是，因直線與已知圓相切，故，即．
由得．設(shè)，，則，
又，所以
．故．
26．（安徽省亳州市利辛縣闞疃金石中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考）已知雙曲線C的焦點在坐標(biāo)軸上，其漸近線方程為，過點．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在被點平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）（2）直線l不存在．詳見解析
【解析】（1）雙曲線C的焦點在坐標(biāo)軸上，其漸近線方程為，
設(shè)雙曲線方程為：，過點，可得，
所求雙曲線方程為：．
（2）假設(shè)直線l存在．設(shè)是弦MN的中點，
且，，則，．
，N在雙曲線上，，，
，，
直線l的方程為，即，
聯(lián)立方程組，得
，直線l與雙曲線無交點，直線l不存在．
27．（安徽省阜陽市太和中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試（文））求兩條漸近線為且截直線所得弦長為的雙曲線方程．
【答案】．
【解析】設(shè)雙曲線方程為
聯(lián)立方程組，得消去y，得．
設(shè)直線被雙曲線截得的弦為，且，那么
那么
解得，經(jīng)檢驗滿足，所以所求雙曲線方程是．
28．（江蘇省泰州中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期初檢測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線C的焦點為、，實軸長為.
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，求直線l的方程.
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）根據(jù)題意，焦點在軸上，且，所以，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：.
（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，
當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，則由雙曲線對稱性可知線段的中點在軸上，所以不滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為，設(shè)，
則，化簡可得，
因為有兩個交點，所以
化簡可得恒成立，所以，
因為恰好為線段的中點，則，化簡可得，
所以直線方程為，即.
29．（黑龍江省大慶實驗中學(xué)2020屆高三綜合訓(xùn)練（五）（文））已知橢圓的焦距為，短軸長為.
（1）求的方程；
（2）若直線與相交于、兩點，求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，，
所以，，，所以的方程為；
（2）設(shè)點、，聯(lián)立，消去，得.
則，，所以，故線段的中點坐標(biāo)為.
，
所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
30．（河北省正定縣弘文中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考）已知橢圓上一點M的縱坐標(biāo)為2．
（1）求M的橫坐標(biāo)；
（2）求過點M且與共焦點的橢圓方程．
【答案】（1）3或-3；（2）
【解析】（1）把M的縱坐標(biāo)2代入橢圓方程得x=±3．∴M的橫坐標(biāo)為3或-3．
（2）∵，∴焦點坐標(biāo)為（-，0），（，0）．
由橢圓定義知即，，故所求橢圓的方程為.
31．（河北省正定縣弘文中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考）已知橢圓經(jīng)過點A（0，4），離心率為；
（1）求橢圓C的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截弦長．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由橢圓過點，則，
橢圓離心率為，則，的方程為；
（2）過點且斜率為的直線方程為，
設(shè)直線與的交點為，，，，
將直線方程代入的方程，得，解得：，，
所以
32．（江西九江市第一中學(xué)2019—2020學(xué)年度高二下學(xué)期期末考試（文））已知橢圓的焦點在軸上，對稱軸為兩坐標(biāo)軸，離心率，且橢圓經(jīng)過．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線交橢圓于兩點，直線，若在直線上存在點使得四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）橢圓的焦點在軸上，可設(shè)橢圓方程為：，
由題意可知，離心率，橢圓經(jīng)過，
可得，，解得，，，故橢圓方程為.
（2）由題意知，，設(shè)，，
，由可得，①
，，
要使得四邊形為平行四邊形，則需滿足的中點落在直線上，
即，得，所以，，
代入①可得，，綜上：.
33．（四川省攀枝花市七中2021屆高三上學(xué)期第一次診斷考試（理））已知橢圓，右頂點，上頂點，左右焦點分別為，且，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為的中點，是否存在定點，對于任意的都有？若存在，求出點；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在使得．
【解析】（1）由題意得：
在中，，，，
，，，，橢圓方程為
（2）解法一：設(shè)直線，令，則，，
將*代入整理得，設(shè)，
則，，，
設(shè)，為的中點，
，，
，
設(shè)存在使得，則，，
，即對任意的都成立，
，，存在使得.
解法二：設(shè)，，，，① ，②
由①-②，得，
為中點，，
，，，，
設(shè)存在使得，則，即，
對任意都成立，即，，存在使得.
34．（安徽省皖南八校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期摸底聯(lián)考（理））已知橢圓的左焦點F在直線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于A、C兩點，線段的中點為M，射線與橢圓交于點P，點O為的重心，探求面積S是否為定值，若是，則求出這個值；若不是，則求S的取值范圍.
【答案】（1）；（2）是定值，.
【解析】（1）∵直線與x軸的交點為，
∴，∴，解得，，∴橢圓的方程為.
（2）若直線的斜率不存在，則在軸上，此時，因為點O為的重心，所以，將代入橢圓方程，可得，即，所以；
若的斜率存在，設(shè)的方程為，
代入橢圓方程得，設(shè)，，
則，，.
由題意點O為的重心，設(shè)，則，，
所以，，
代入橢圓，得，
設(shè)坐標(biāo)原點O到直線的距離為d，則，
則的面積

.
綜上可得，面積S為定值.
35．（云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三高考適應(yīng)性月考卷（一）（理））已知點P是橢圓C：上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P點且與橢圓C相交于A，B兩點.若直線PA與直線PB的斜率之和為1，問：直線l是否過定點?證明你的結(jié)論
【答案】（1）；（2）直線l過定點．證明見解析.
【解析】（1）由，得，
又在橢圓上，代入橢圓方程有，解得，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時，，，
，解得，不符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程，，，
由，整理得，
，，．
由，整理得，
即．當(dāng)時，此時，直線l過P點，不符合題意；
當(dāng)時，有解，此時直線l：過定點．
36．（湖北省荊州中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期8月月考）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C的右焦點作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若為定值．
【答案】（1）（2）-10
【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程為，
因為拋物線的焦點坐標(biāo)是所以由題意知b = 1．
又有 ∴橢圓C的方程為
（2）方法一：設(shè)A、B、M點的坐標(biāo)分別為
易知右焦點的坐標(biāo)為（2，0）．

將A點坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得
去分母整理得

方法二：設(shè)A、B、M點的坐標(biāo)分別為
又易知F點的坐標(biāo)為（2，0）．
顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得

又

【點睛】解決解析幾何中定值問題的常用方法有：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去參變量，從而得到定值．
本題中可能引入直線的斜率為參數(shù)，把交點坐標(biāo) 用表示，實質(zhì)上是把用表示，然后再通過已知把用坐標(biāo)（橫坐標(biāo)）表示后，求出，把剛才的代入化簡可得．
37．（四川省巴中市2021屆高三零診考試（文））已知橢圓：（）的離心率為，一個焦點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點，是橢圓上的兩個動點，且線段的中點在直線上.試問：線段的垂直平分線是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.
【答案】（1）（2）線段的垂直平分線過定點，定點為.
【解析】（1）依題意可得，，所以，，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，則，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，即，
由消去并整理得，
設(shè)，則，
因為線段的中點在直線上，所以，
顯然，所以，所以，
所以直線，即，所以直線經(jīng)過定點，
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線也經(jīng)過點，
所以線段的垂直平分線經(jīng)過定點，定點為.
38．（安徽省皖江名校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（理））在中，已知，，直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)為曲線上一點，直線與交點的橫坐標(biāo)為4，求證：直線過定點.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，直線與的斜率分別為，，，由已知得：，化簡得，
故曲線的方程為：.
（2）設(shè)直線與交點為，則直線的方程為：
由得：
設(shè)，則，即，
同理，的方程為：與橢圓方程聯(lián)立，消去整理得
，設(shè)，則，
即，，
當(dāng)時，直線的斜率為：，
此時直線的方程為：，
化簡得：，故直線過定點.
當(dāng)時，可得，所以直線也過定點.
綜合上述：直線過定點.
39．（江蘇省南通如皋、鹽城射陽2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期初聯(lián)考）已知橢圓C的中心在原點，其焦點與雙曲線的焦點重合，點在橢圓C上，動直線交橢圓C于不同兩點A、B，且（O為坐標(biāo)原點）.
（1）求橢圓C的方程；
（2）討論是否為定值；若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】（1）；（2）為定值，證明見解析.
【解析】（1）因為雙曲線的焦點為，所以在橢圓C中，
設(shè)橢圓C的方程為，
由點在橢圓C上得，解得，則，
所以橢圓C的方程為.
（2）為定值，理由如下：
設(shè)，由可知，
聯(lián)立方程組，
由得，
，①
由及得，
整理得，
將①式代入上式可得，
同時乘以可化簡得，
所以，即為定值.
40．（江西省南昌市2021屆高三摸底測試（文））已知橢圓：()的左?右焦點分別是?，其離心率為，以為圓心以1為半徑的圓與以為圓心以3為半徑的圓相交，兩圓交點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓左頂點斜率為1的直線與橢圓的另外一個交點為，求的面積.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，
由兩圓交點在橢圓上，，得，
由離心率為，，得，所以橢圓的方程為.
（2）直線：與橢圓聯(lián)立，消去得：，
解得，代入直線方程可得，且，
故的面積為.
41．（湖南師大二附中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次階段性考試）已知橢圓的離心率為，長軸長為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點是橢圓上的任意一點，若點到點的距離與點到定直線的距離之比為定值，求與的值；
（3）若直線與橢圓交于不同的兩點，，且線段的垂直平分線過定點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2），；（3）.
【解析】（1）由題意，∴，，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，依題意得，
所以，
所以恒成立，
可得且且，解得，.
（3）設(shè)，，將代入橢圓方程，
消去得，，所以由，得①
由根與系數(shù)關(guān)系得，則，
所以線段的中點的坐標(biāo)為.
又線段的垂直平分線的方程為，
由點在直線上，得，所以②
由①②得，，即或，
所以實數(shù)的取值范圍是.
42．（湖南省衡陽市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考）已知橢圓的左，右焦點分別為，該橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，若斜率為的直線與軸，橢圓順次交于點在橢圓左頂點的左側(cè)）且，求證：直線過定點；并求出斜率的取值范圍.
【答案】（1）；（2）證明見解析，.
【解析】（1）橢圓的左，右焦點分別為，橢圓的離心率為，即有，即，，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓方程為，直線與圓相切，則有，
即，則橢圓C的方程為；
（2）證明：設(shè)，
由，可得直線和關(guān)于x軸對稱，
即有，即，
即有，①
設(shè)直線，代入橢圓方程，可得，
判別式，即為②，
③，
代入①可得，，將③代入，化簡可得，
則直線的方程為，即．即有直線恒過定點．
將代入②，可得，解得或
則直線的斜率的取值范圍是．
43．（百萬聯(lián)考2021屆高三9月聯(lián)考）已知橢圓的離心率是，且橢圓經(jīng)過點，過橢圓的左焦點的直線與橢圓交于,兩點.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為.由題意可得解得，.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）可得，
當(dāng)直線的斜率為0時，，或，，
此時，不符合題意.
當(dāng)直線的斜率不為0時，可設(shè)直線的方程為，，.
聯(lián)立，整理得，
則，因為，所以.
從而，，
則，解得.故直線的方程為.
44．（百師聯(lián)盟2021屆高三開學(xué)摸底聯(lián)考（理）數(shù)學(xué)全國卷III試題）已知橢圓的離心率為，且過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，分別為橢圓的上，下頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于另一點（異于橢圓的右頂點），交軸于點，直線與直線相交于點.求證：直線的斜率為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則①，②，又③，
由①②③解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：易得，，直線的方程為，因為直線不過點，所以，由，得，
所以，從而，，
直線的斜率為，故直線的方程為.
令，得，
直線的斜率.
所以直線的斜率為定值.
45．（百校聯(lián)盟2021屆高三普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試全國卷數(shù)學(xué)（文））已知橢圓：的離心率為，且過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，點，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）依題意，知，解得，故橢圓的方程為.
（2）當(dāng)斜率不為零時，設(shè)過點的直線：，設(shè)，，
由，得且，則，
又，，
，
所以.
46．（河南省2020-2021學(xué)年上學(xué)期高中畢業(yè)班階段性測試（一）文科）已知橢圓：,直線：過的右焦點.當(dāng)時,橢圓的長軸長是下頂點到直線的距離的2倍.
（1）求橢圓的方程.
（2）設(shè)直線與橢圓交于,兩點,在軸上是否存在定點,使得當(dāng)變化時,總有(為坐標(biāo)原點)?若存在,求點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】（1）;（2）在軸上存在點滿足題設(shè)條件.
【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為,直線恒過定點,所以.
當(dāng)時,直線：,橢圓的下頂點到直線的距離,
由題意得,解得,.所以橢圓的方程為.
（2）當(dāng)時,顯然在軸上存在點,使得.
當(dāng)時,由消去可得.
設(shè),,則,.
設(shè)點滿足題設(shè)條件,易知,的斜率存在,
則,
則,即,
時,上式恒成立.所以在軸上存在點滿足題設(shè)條件.
47．（安徽省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2020屆高三下學(xué)期押題卷文科）已知拋物線：經(jīng)過點，過點的直線與拋物線交于，兩點.
（1）求拋物線的方程；
（2）在拋物線上是否存在定點，使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）因為拋物線：經(jīng)過點，
所以，解得.所以拋物線的方程是.
（2）根據(jù)題意.設(shè)點，，直線的方程為.
聯(lián)立消去得，
則.
則，.設(shè)點，因為，
即，結(jié)合，，，
得，
即，
化簡得，
解得.所以，所以拋物線上存在定點，使得.
48．（四川省瀘縣第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期開學(xué)考試（文））已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
（1）求直線l的斜率的取值范圍；
（2）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．
【答案】（1）取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（2）證明過程見解析
【解析】（1）因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．
由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．
由得．
依題意，解得k