專題23 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（填空題）（11月）（理）（解析版）-2020-2021學(xué)年高二《新題速遞?數(shù)學(xué)（理）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、填空題
1．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值是__________．
【試題來源】天津市經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考
【答案】．
【解析】由已知，時，．
2．已知函數(shù)，則函數(shù)在點處的切線方程為__________．
【試題來源】廣東省2021屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】
【解析】由題得，，，，
故切線方程為，即．
3．已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)__________．
【試題來源】天津市南開區(qū)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中
【答案】
【解析】，，．
4．設(shè)函數(shù)是R內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且，則__________．
【試題來源】安徽省皖南八校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月第一次聯(lián)考（文）
【答案】
【分析】先利用換元法求出的解析式，再對函數(shù)求導(dǎo)，從而可求出的值
【解析】令，，所以，，．
5．已知，則__________．
【試題來源】安徽省皖江名校聯(lián)盟2021屆高三第二次聯(lián)考（文）
【答案】3
【解析】由題得，令可得，則，
所以，所以．
6．已知，若，則__________．
【試題來源】重慶市開州區(qū)鐵橋中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測
【答案】
【解析】，，則，解得．
7．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則__________．
【試題來源】重慶市第八中學(xué)2021屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考（二）
【答案】0
【解析】因為，所以，
所以，所以．
8．已知曲線(為自然對數(shù)的底數(shù))在處的切線斜率等于，則實數(shù)__________．
【試題來源】廣西南寧市普通高中2021屆高三10月摸底測試（文）
【答案】1
【解析】由函數(shù)解析式，知，依題意：，
所以，則．
9．曲線在點處的切線方程為__________．
【試題來源】廣東省廣州市華南師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三上學(xué)期9月月考（文）
【答案】
【解析】由得，
則曲線在點處的切線斜率為，
因此所求切線方程為，即．
10．已知函數(shù)的定義域為，它的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極值點有__________個．

【試題來源】北京市房山區(qū)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試
【答案】2
【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以為極大值點，為極小值點，所以函數(shù)的極值點有2個．
11．若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為__________．
【試題來源】吉林省長春市長春外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中考試
【答案】1
【解析】由，（），則，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時取得極小值．所以函數(shù)有且只有一個零點，只需，即，解得．
12．在中，分別為角的對邊，若函數(shù)有極值點，則的范圍是__________．
【試題來源】湖北省部分重點中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】
【解析】由題意有兩個不等實根，
所以，，
所以，所以．故答案為．
13．已知函數(shù)在處有極大值，則常數(shù)c的值為__________．
【試題來源】河南省名校聯(lián)考2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試（文）
【答案】
【解析】依題意，所以，依題意，解得或．
當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以在處取得極小值，不符合題意．
當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值，符合題意．故常數(shù)的值為．
14．若是函數(shù)的極值點，則a的值為__________．
【試題來源】江西省吉安市吉水中學(xué)2021屆高三10月數(shù)學(xué)（理）月考試題
【答案】
【解析】，，
由題意可得，解得．
，，
令，得或．列表如下：

極大值

極小值

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，函數(shù)的極大值點為，極小值點為．故答案為
15．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，能說明“若對任意的都成立且，則在上必有零點”為假命題的一個函數(shù)是__________．
【試題來源】北京市人大附中 2019~2020 學(xué)年度高二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末練習(xí)試題
【答案】(答案不唯一)
【解析】“若對任意的都成立且”，則在上遞減，
且，再由“在上必有零點”為假命題，可得的圖象在與軸無交點，這樣的函數(shù)可以是，故答案為
【名師點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點的概念的理解，考查了分析推理能力，是一個開放題，答案不唯一，屬于基礎(chǔ)題．
16．，若，則a的值等于__________．
【試題來源】西藏山南第二高級中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第二次月考（文）
【答案】1
【解析】由題意，所以，解得．
17．設(shè)是函數(shù)的一個極值點，則__________．
【試題來源】湖南省長郡中學(xué)、雅禮中學(xué)、河南省南陽一中、信陽高中等湘豫名校2020屆高三（5月）數(shù)學(xué)（理）
【答案】
【解析】因為函數(shù)，所以，
因為是函數(shù)的一個極值點，
所以，，
所以，故答案為．
【名師點睛】本題考查三角恒等變換以及函數(shù)的極值的相關(guān)性質(zhì)，函數(shù)的極值點所對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)值為，考查的公式有以及，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是簡單題．
18．函數(shù)在[－1，1]上的最大、小值分別為和，則________．
【試題來源】吉林省長春市長春外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中考試
【答案】4
【解析】由，則，
令，解得，令，解得或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
，，所以，
所以．
19．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是_________．
【試題來源】吉林省通榆縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考（文）
【答案】
【解析】由題意得，令解得；令解得或，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
故函數(shù)在處取到極大值2，所以極大值必是區(qū)間上的最大值，
所以，解得．檢驗滿足題意，故答案為．
20．若函數(shù)，對于任意的，（其中）不等式恒成立，則的取值范圍為__________．
【試題來源】貴州省凱里市第三中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第二次月考（理）
【答案】．
【解析】由題意，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以即在上恒成立，因為當(dāng)時，，所以，所以的取值范圍為．
21．函數(shù)的極小值點為__________．
【試題來源】湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】
【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，令，根據(jù)單調(diào)區(qū)間，可得所求極值點；
【解析】由可得，令得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極小值點為．
22．函數(shù)在上的最大值是__________．
【試題來源】江蘇省徐州市大許中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考
【答案】
【解析】在上，有，
知在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，故最大值在極大值點或端點值處取得，極大值為，最大的端點值為，
明顯地，，所以，在上的最大值是．
23．函數(shù)的最大值為__________．
【試題來源】陜西省安康市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考（理）
【答案】
【解析】，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因為，所以的最大值為．
24．已知函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，則的取值范圍是__________．
【試題來源】寧夏固原市五原中學(xué)補習(xí)部2021屆高三上學(xué)期期中考試（文）
【答案】
【解析】由，則，因為函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，
則在恒成立，即在恒成立，所以．
25．如果兩個函數(shù)存在零點，分別為，，若滿足，則稱兩個函數(shù)互為“度零點函數(shù)”．若與互為“1度零點函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為__________．
【試題來源】云南省曲靖市第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期高考復(fù)習(xí)質(zhì)量監(jiān)測（理）（三）
【答案】
【解析】函數(shù)有唯一的零點2，由題意知函數(shù)的零點滿足，即．因為，所以，設(shè)，則，，
當(dāng)時，，是增函數(shù)；當(dāng)時，，是減函數(shù)，
所以，又，，所以實數(shù)的取值范圍為．
26．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則__________．
【試題來源】江西省贛州市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末（文）
【答案】
【分析】將看作常數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求出，然后將代入即可．
【解析】因為，所以，
將代入得，解得，故答案為．
27．設(shè)函數(shù)，則曲線在點處切線的斜率為__________．
【試題來源】江西省上高二中2021屆高三上學(xué)期第三次月考（文）
【答案】
【分析】求出在處的導(dǎo)數(shù)值，即切線斜率．
【解析】，，
，故切線斜率為．
28．已知，則的值為__________．
【試題來源】北京市人大附中 2019~2020 學(xué)年度高二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末練習(xí)試題
【答案】
【解析】由，得，
所以，①，②，
由①②得，，則．故答案為．
29．給出下列三個結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則．其中正確結(jié)論的序號是__________．
【試題來源】北京市東城區(qū)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末統(tǒng)一檢測
【答案】①③
【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的計算公式依次分析3個結(jié)論，綜合即可得答案．
【解析】根據(jù)題意，依次分析3個結(jié)論：①若，則，①正確；
②若，則，②錯誤；③若，則，③正確；
即正確的為①③，故答案為①③．
30．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于__________．
【試題來源】云南省昆明市第一中學(xué)2021屆高中新課標(biāo)高三第二次雙基檢測（理）
【答案】
【分析】先對求導(dǎo)，再將代入即可求解．
【解析】由題意可得，令得，
即．故答案為．
31．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，．是自然對數(shù)的底數(shù)，則在處切線方程為__________．
【試題來源】湖南省長郡中學(xué)、雅禮中學(xué)、河南省南陽一中、信陽高中等湘豫名校2020屆高三（5月）數(shù)學(xué)（理）
【答案】
【分析】本題首先可以根據(jù)得出，然后根據(jù)以及直線的點斜式方程即可得出結(jié)果．
【解析】因為，所以，
因為，所以在處切線方程為，即．
32．曲線在處的切線方程是__________．
【試題來源】江西省鷹潭市2021屆高三（上）模擬命題大賽（文）
【答案】
【解析】由函數(shù)知，把代入得到切線的斜率，
則切線方程為，即．故答案為
33．曲線在點處的切線方程是__________．
【試題來源】廣東省中山市2021屆高三上學(xué)期六校第一次聯(lián)考
【答案】
【解析】，．又，所以切點坐標(biāo)為．所以曲線在點處的切線方程為，即．故答案為．
34．函數(shù)在處的切線方程是__________．
【試題來源】寧夏銀川二十四中2021屆高三年級上學(xué)期第二次月考（理）
【答案】
【解析】，，在處切線的斜率為，
由點斜式可得，在處切線方程為，即．
【名師點晴】利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程．
35．設(shè)曲線在點處的切線方程為，則__________．
【試題來源】甘肅省蘭州一中2020-2021學(xué)年高三年級第一學(xué)期10月月考（文）
【答案】
【解析】，．
由題意可知，當(dāng)時，，解得．
【名師點睛】本題考查利用切線方程求參數(shù)，一般要結(jié)合以下兩點來考慮：
（1）切點為切線與函數(shù)圖象的公共點；（2）切線的斜率是函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值．
36．已知函數(shù)的上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且曲線在點處的切線斜率為，則__________．
【試題來源】天一大聯(lián)考2021屆高三（文）階段性測試試題（二）
【答案】
【分析】利用奇函數(shù)的定義求得函數(shù)在上的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得實數(shù)的值．
【解析】當(dāng)時，則，，
此時，，
所以，當(dāng)時，，則，解得．
37．曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為__________．
【試題來源】北京市房山區(qū)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試
【答案】
【解析】由題意，，
當(dāng)時，，所以曲線在點處的切線斜率為2，
所以該切線方程為即，
易得該切線與坐標(biāo)軸的交點分別為，，
所以該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．
38．已知指數(shù)函數(shù)在（0，1）處的切線為y=x+1，若恒成立，則的取值范圍為__________．
【試題來源】遼寧省營口第五中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考（理）
【答案】
【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)，則，因為函數(shù)在（0，1）處的切線為y=x+1，
所以，解得，所以，因為恒成立，所以恒成立，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，恒成立，所以，
當(dāng)時，恒成立，而，所以.
綜上：，所以的取值范圍為.
【名師點睛】恒（能）成立問題的解法：
若在區(qū)間D上有最值，則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；．
若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為（或），則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
39．已知函數(shù)恰有3個不同的零點，則的取值范圍是__________．
【試題來源】安徽省合肥一六八中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次段考（文）
【答案】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，根據(jù)函數(shù)恰有3個不同的零點，可得其極大值大于0且極小值小于0，求出關(guān)系即可得出結(jié)論．
【解析】，，
由得或，函數(shù)單調(diào)遞增，由得，函數(shù)單調(diào)遞減，?
即當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，?
即當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，?
若函數(shù)恰有3個不同的零點，?
則且，?則，?
則，?即的取值范圍是．
40．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為__________．
【試題來源】安徽省合肥市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考（理）
【答案】
【解析】將函數(shù)在上單調(diào)遞減，
轉(zhuǎn)化在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，，，則在恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)得，解得，故答案為.
41．已知函數(shù)，則不等式的解集是__________．
【試題來源】安徽省皖南八校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月第一次聯(lián)考（文）
【答案】
【解析】由于，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時，，，
所以在上為減函數(shù)，在是增函數(shù)，
要，則需，解得．故答案為．
42．若函數(shù)在區(qū)間(-2，-1)內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為__________．
【試題來源】北京市第二中學(xué)2021屆高三10月考
【答案】
【解析】，因為在上存在單調(diào)區(qū)間，故在有部分圖象在軸下方．
若即時，則即，故．
若即時，則即，無解．
若，則即，，故．
【名師點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間，不是在給定的區(qū)間上有解，而是在給定的區(qū)間上有部分圖象在軸下方，本題屬于基礎(chǔ)題．
43．函數(shù)的極大值為__________．
【試題來源】陜西省漢中市漢臺二中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考（文）
【答案】
【解析】，定義域為，
，令，可得或．
當(dāng)或時，；當(dāng)時，．
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，函數(shù)的極大值為．故答案為．
44．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
【試題來源】江蘇省南京師大附中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考
【答案】
【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)得，則方程在時有兩個根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，即可得答案.
【解析】，．在時有兩個根，令，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
與要有兩個交點，，故答案為．
45．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為__________．
【試題來源】江西省吉安市吉水中學(xué)2021屆高三10月數(shù)學(xué)（理）月考試題
【答案】
【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)，或在區(qū)間上恒成立，然后求解即可．
【解析】，
由題意可知或在區(qū)間上恒成立．
當(dāng)在區(qū)間上恒成立時，，
當(dāng)時，，因此有；
當(dāng)在區(qū)間上恒成立時，，
當(dāng)時，，因此有，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍是．故答案為．
46．已知三個函數(shù)，，．若，，都有成立，求實數(shù)b的取值范圍__________．
【試題來源】江蘇省淮安市五校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】
【解析】由題知，．
．
在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
易知在區(qū)間上的最大值為，
，，都有成立，
即在上的最大值大于等于在上的最大值，
即，即，解得，故答案為．
47．設(shè)定義在R上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知函數(shù)的圖象（如圖）與x軸的交點分別為，，．給出下列四個命題：

①函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；
②函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；
③是函數(shù)的極小值點；
④是函數(shù)的極小值點．
其中，正確命題的序號是__________．
【試題來源】北京市朝陽區(qū)2019-2020學(xué)年度高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測
【答案】②④
【解析】由函數(shù)和圖象可得，
當(dāng)時，，得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，得，所以函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，得，所以函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
所以①錯誤；②正確；③是函數(shù)的極大值點，錯誤；④正確．故答案為②④．
48．已知函數(shù)，給出下列命題：①，都有成立；②存在常數(shù)，恒有成立；③的最大值為；④在上是增函數(shù)．以上命題中正確的為__________．
【試題來源】河南省信陽市普通高中2021屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測（文）
【答案】①②④
【分析】利用奇偶性的定義判斷①；利用周期性的定義判斷②；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值；利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷④．
【解析】①，為奇函數(shù)，正確；
②，為周期函數(shù)，正確；
③，令，則，令，得，且為最大值，錯誤；④當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)，正確．故答案為①②④
49．已知函數(shù)有三個極值點，則的取值范圍是__________．
【試題來源】安徽省皖江名校聯(lián)盟2021屆高三第二次聯(lián)考（理）
【答案】
【解析】由函數(shù)，求導(dǎo)，
因為函數(shù)有三個極值點，所以有三個不同的實根，即有三個不同的實根，
由，則有兩個不等于-1的根，即有兩個不等于-1的根，
設(shè)，則，
當(dāng)?shù)?，?dāng)?shù)们遥?br /> 所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出圖象，如圖所示：

要使有兩個不同的根，則滿足，所以．
50．已知函數(shù)，若存在實數(shù)滿足時，成立，則實數(shù)的最大值為__________．
【試題來源】四川省成都市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考
【答案】
【解析】由，所以，
令，（），則，（，），
顯然，在單調(diào)遞減，所以（）
令，（），，
因為，所以，則，
所以令在單調(diào)遞減，
所以，所以實數(shù)的最大值為．
51．關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的圖象關(guān)于原點對稱；②在，上單調(diào)遞增；③函數(shù)共有6個極值點；④方程共有6個實根．其中所有真命題的序號是__________．
【試題來源】吉林省梅河口五中、遼源五中、四平四中2021屆高三（上）第一次聯(lián)考（文）
【答案】①②④
【分析】①由定義判斷函數(shù)是奇函數(shù)即可；②利用導(dǎo)數(shù)可判斷單調(diào)性；③判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對稱性即可判斷極值點；④根據(jù)函數(shù)圖象和極值可判斷．
【解析】對于①，的定義域為，，故是奇函數(shù)，
的圖象關(guān)于原點對稱，故①正確；
對于②，，故當(dāng)時，，
在，上單調(diào)遞增，故②正確；
對于③，令可得，故在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，令可得或，
作出的函數(shù)圖象，由圖象可知只有5個極值點，故③錯誤；

對于④，是奇函數(shù)，故是偶函數(shù)，
的極大值為，有6個根，故④正確．
故答案為①②④．
52．若存在兩個正實數(shù)，使等式成立，（其中）則實數(shù)的取值范圍是__________．
【試題來源】湖北省六校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】
【分析】由條件轉(zhuǎn)化為，換元，令，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的值域即可求解．
【解析】，
設(shè)且，設(shè)，那么，
恒成立，所以是單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在時，取得最大值，，即，解得，故答案為．
53．已知函數(shù)，下列結(jié)論中，
①函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；
②當(dāng)時，；
③若，則；
④若對于恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1．
所有正確結(jié)論的序號為__________．
【試題來源】湖北省隨州市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末
【答案】①②④
【解析】因為，
所以，
所以為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以①正確；
因為，因為，所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以②正確；
令，，由②可知，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，若，所以，
即，所以③錯誤；
若對于恒成立，相當(dāng)于在上落在直線的上方，落在直線的下方，結(jié)合圖形，可知的最大值為連接的直線的斜率，即，的最小值為曲線在處的切線的斜率，即，
所以④正確；故正確答案為①②④．
【名師點睛】該題屬于選擇性填空題，解決此類問題的方法：（1）利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)圖象的對稱性；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得其值域；（3）轉(zhuǎn)化不等式，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)解決問題；（4）數(shù)形結(jié)合，找出范圍．
54．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對任意實數(shù)，都有，且，則不等式的解集為__________．
【試題來源】吉林省榆樹市第一高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高三10月月考（文）
【答案】
【解析】設(shè)，，
因為，所以，
即在上為增函數(shù)，且．
所以不等式，
解得．故答案為．
55．已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍是__________．
【試題來源】福建省龍巖市“長汀、連城、上杭、武平、永定、漳平”六縣（市區(qū)）一中2021屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考
【答案】
【分析】求導(dǎo)，令有兩根，即有兩解，令函數(shù)，然后分析函數(shù)的單調(diào)性及最值，確定的取值范圍．
【解析】因為，則，若函數(shù)有兩個極值點，則有兩根，則只需滿足有兩解，令，則，
當(dāng)時，，則在上遞減；
當(dāng)時，，則在上遞增；
所以，故只需．故答案為．
【名師點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，難度一般，解答的一般方法如下：
第一步：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；
第二步：令，將問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)方程根的個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍問題，或利用參變分離法將問題轉(zhuǎn)化為的模型，
第三步：討論函數(shù)的單調(diào)性及極值最值，確定的取值范圍．
56．已知是定義域為的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是__________．
【試題來源】甘肅省蘭州一中2020-2021學(xué)年高三年級第一學(xué)期10月月考（文）
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，結(jié)合已知可判斷其單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解析】令，，因為當(dāng)時，，
則當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，
因為為奇函數(shù)，即，則，
故為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，因為，故，
由可得，所以或，所以或．
解可得，或．故答案為．
【名師點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性求解不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)并判斷出其單調(diào)性及奇偶性．
57．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為__________．
【試題來源】北京市東城區(qū)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末統(tǒng)一檢測
【答案】
【分析】根據(jù)得到m，n的關(guān)系，利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．
【解析】不妨設(shè)，所以，()
所以，即，，故()，
令()，，
所以在上是增函數(shù)，且，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即當(dāng)時，取得極小值同時也是最小值，
此時，即的最小值為．
58．已知均為正實數(shù)．．則的最小值為__________．
【試題來源】天津市和平區(qū)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中
【答案】
【解析】因為，所以，所以，
令，則
令，即，解得，此時單調(diào)遞增，
令，即，解得，此時單調(diào)遞減，
所以時，，所以時的最小值為3．
59．已知在內(nèi)有且僅有一個零點，當(dāng)時，函數(shù)的值域是，則__________．
【試題來源】重慶市巴蜀中學(xué)2021屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考（三）
【答案】2
【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，求出極值點，根據(jù)函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點可得，將極小值點代入函數(shù)即可求出，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知求函數(shù)在的值域，即可求出，最后求出的值．
【解析】，，令，可得，
在內(nèi)有且僅有一個零點，則必有，
且極小，則，
此時在，，，
又，，，，
故的值域是，即，，所以．
60．已知函數(shù)，直線分別交函數(shù)和的圖象于點A和點B．若對任意都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是__________．
【試題來源】江西省南昌縣蓮塘第一中學(xué)2021屆高三11月質(zhì)量檢測（文）
【答案】．
【分析】把對任意都有成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的最大值，即可求解．
【解析】由題意，函數(shù)，
則直線分別交函數(shù)和的圖象于點A和點B，故，
設(shè)，
因為對任意都有成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)，
因為，所以在上單調(diào)遞增，故，
因為，其對稱軸，所以在區(qū)間上，，
即，所以，即，
所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為．
61．設(shè)函數(shù)的圖象在軸上截得的線段長為，記數(shù)列的前項和為，若存在正整數(shù)，使得成立，則實數(shù)的最小值為__________．
【試題來源】江蘇省鹽城市響水中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第三次學(xué)情分析考試
【答案】
【解析】得，或，故，
，則數(shù)列是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，
，若存在正整數(shù)，使得成立，
即存在正整數(shù)，使得成立，
即存在正整數(shù)，使得成立，令，則，
由時，，時，時，又由時，，時，
，故的最小值為13，若存在正整數(shù)，使得，
則實數(shù)的最小值為13．故答案為13．
62．已知，，，則的最小值是__________．
【試題來源】浙江省紹興市諸暨中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期10月階段性考試
【答案】
【解析】由題意，，即有且，
將代入化簡得，令，
所以，則有，
當(dāng)，有，單調(diào)遞減；當(dāng)，有，單調(diào)遞增；所以，故答案為．
63．已知對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍為__________．
【試題來源】福建省漳州市2020屆高三高中畢業(yè)班第二次教學(xué)質(zhì)量檢測（理）
【答案】
【解析】因為，所以①，
令，則，所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，
因為①式可化為，所以，所以，令，
所以可求得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，所以，故答案為．
64．設(shè)函數(shù)恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是__________．
【試題來源】海南省?？谑械谒闹袑W(xué)2021屆高三上學(xué)期第一次月考
【答案】
【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)恰有兩個極值點，得到方程恰有兩個正根，進而得到方程有唯一正根，轉(zhuǎn)化為于函數(shù)與函數(shù)在上只有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性與極值，結(jié)合圖象，即可求解．
【解析】由題意，函數(shù)，，可得，
因為函數(shù)恰有兩個極值點，
所以方程恰有兩個正根，顯然時方程的一個正根，
所以方程有唯一正根，即方程有唯一正根，
等價于函數(shù)與函數(shù)在上只有一個交點，且交點橫坐標(biāo)不等于1，
因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又由，，函數(shù)的圖象如圖所示，可得且．

65．已知函數(shù)，下列命題中：
①在其定義域內(nèi)有且僅有1個零點；
②在其定義域內(nèi)有且僅有1個極值點；
③，使得；
④，，使得；
⑤當(dāng)時，函數(shù)的圖象總在函數(shù)的圖象的下方．
其中真命題有__________．（寫出所有真命題的序號）
【試題來源】北京市人大附中 2019~2020 學(xué)年度高二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末練習(xí)試題
【答案】①②③⑤
【解析】，令，有，
時，，時，，
，又時，而，故有且只有一個零點，①正確；
導(dǎo)數(shù)為0的點附近的導(dǎo)數(shù)值符號不同，故為極值點，從而②正確；
令，由上面分析知，在上必有一個零點，，
，故必有一個零點，所以，，，即，所以，③正確；
取，為極大值也為最大值，不存在使得，④錯誤；
令，，所以，，所以，⑤正確；故答案為①②③⑤.
66．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，任意均有，且，若函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________．
【試題來源】百師聯(lián)盟2021屆高三一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（一）（文）全國卷II試題
【答案】
【分析】要使函數(shù)有兩個零點，等價于曲線與有兩個交點，所以，先求出，并利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值，進而，討論可以求出的范圍，即可求解.
【解析】設(shè)函數(shù)，則，因為，則，設(shè)，則，所以，即，，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，要使函數(shù)有兩個零點，等價于曲線與有兩個交點，所以實數(shù)的取值范圍為．
67．函數(shù)圖象上不同兩點，處的切線的斜率分別是，規(guī)定叫做曲線在點A、B之間的“平方彎曲度”．設(shè)曲線上不同兩點，，且，則的取值范圍是__________．
【試題來源】江蘇省南通市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中模擬
【答案】
【解析】因為，所以，由題意可得，，因為，所以，故，令，則，因為，所以，應(yīng)填答案．
【名師點睛】解答本題的關(guān)鍵是如何理解“曲線在點之間的“平方彎曲度””這一新概念的新信息，然后依據(jù)此概念建立了目標(biāo)函數(shù)，再通過換元將其形式進行等價轉(zhuǎn)化，最后運用基本不等式求出該函數(shù)的最值使得問題獲解．旨在考查與檢測遷移新信息，運用新概念的創(chuàng)新意識與分析問題解決問題的創(chuàng)新能力．
68．已知，直線與函數(shù)的圖象在處相切，設(shè)，若在區(qū)間上，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是__________．
【試題來源】安徽省皖江名校聯(lián)盟2021屆高三第二次聯(lián)考（文）
【答案】
【分析】由已知求得，，得函數(shù)，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)在上單調(diào)性和最值，由恒等式的思想建立不等式組，解之可求得的最大值．
【解析】因為，所以，所以，又點在直線上，所以，
所以，，設(shè)，則，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，解得或，
所以的最大值為．故答案為．

二、雙空題
69．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為__________；函數(shù)的極大值點為__________．
【試題來源】浙江省臺州市五校2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考
【答案】
【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，
所以，從而得到，即，所以，
因為，所以，所以所求切線方程為，即；
，則，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以函數(shù)的極大值點是，故答案為；．
70．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)根和，則的取值范圍是__________，的最大值為__________．
【試題來源】重慶市部分區(qū)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考
【答案】
【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，要使關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)根和，則需，解得，
不妨設(shè)，則，令，則，所以，令，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，
所以的最大值為，故答案為；．

【名師點睛】本題考查方程的根，運用數(shù)型結(jié)合的思想，根據(jù)圖象觀察，構(gòu)造合適的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，是常用的方法，屬于較難題．
71．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，則a的取值范圍__________；且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍__________．
【試題來源】遼寧省錦州市渤大附中、育明高中2021屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】
【解析】，
因為函數(shù)有兩個不同的極值點，
所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，于是有：，
解得，
，
設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，
故，所以．因此的取值范圍是．
故答案為；．
72．已知，曲線在點處切線的斜率為__________；若恒成立，則a的取值范圍為__________．
【試題來源】福建省泉州市2021屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測
【答案】0
【解析】，，由得，得．
在單減，單增，恒成立，，．故答案為0；．
73．已知在點處的切線過點，則的單調(diào)遞增區(qū)間為__________和的值為__________．
【試題來源】江蘇省南通市四校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次聯(lián)考
【答案】 1
【解析】由，得，
，又，
曲線在點處的切線方程為，
代入，得，解得．所以，
由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故答案為；．
74．已知函數(shù)．
（1）函數(shù)的最大值等于__________；
（2）若對任意，都有成立，則實數(shù)a的最小值是__________．
【試題來源】北京市第十三中學(xué)2021屆高三上學(xué)期開學(xué)考試
【答案】 1
【解析】（1）函數(shù)定義域是，，
時，，遞增，時，，遞減，
所以時，取得極大值也是最大值；
（2）若對任意，都有成立，
等價于當(dāng)時，，
由（1）當(dāng)時，，且，滿足題意；
當(dāng)，在上遞增，，在遞減，，
只要即可，所以，綜上，的最小值是1．故答案為；1．
75．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，則的取值范圍是__________；若不等式有解，則的取值范圍是__________．
【試題來源】山東省濟南市歷城區(qū)歷城第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考
【答案】
【解析】由題可得（），因為函數(shù)有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，
于是有解得．
若不等式有解，所以
因為
．
設(shè)，，
故在上單調(diào)遞增，故，
所以，所以的取值范圍是．
76．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，記的導(dǎo)數(shù)為．如果對x(a，b)，都有，則有如下性質(zhì)：，其中n，，，…，(a，b)．若，則＝__________；在銳角△ABC中，根據(jù)上述性質(zhì)推斷：sinA＋sinB＋sinC的最大值為__________．
【試題來源】山東省濰坊市五縣市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期階段性監(jiān)測
【答案】
【解析】設(shè)，，則，則，，
有如下性質(zhì)：．
則，
的最大值為，故答案為，．
77．已知，，記，則M的最小值為__________；當(dāng)M最小時，__________．
【試題來源】江蘇省南通市如東高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考
【答案】
【解析】因為的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點與直線上的點的距離的最小值的平方，由，可得，
而與直線平行的直線的斜率為，所以令得，
因此切點到直線的距離為，
即M的最小值為．過切點與直線垂直的直線為，由得．故答案為；．