1.2　函數(shù)的極值A組1.若函數(shù)f(x)=2x3-3x2+a的極大值為6,則a的值是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.0 B.1C.5 D.6解析:∵f(x)=2x3-3x2+a,∴f'(x)=6x2-6x=6x(x-1).令f'(x)=0,得x=0或x=1,經(jīng)判斷易知極大值為f(0)=a=6.答案:D2.函數(shù)y=x4-x3的極值點的個數(shù)為(　　)A.0 B.1C.2 D.3解析:y'=x3-x2=x2(x-1),由y'=0得x1=0,x2=1.當(dāng)x變化時,y',y的變化情況如下表:x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)y'-0-0+y↘無極值↘極小值↗ 因此函數(shù)只有一個極值點.答案:B3.下列函數(shù)中,x=0是其極值點的是(　　)A.y=-x3 B.y=-cos xC.y=sin x-x D.y=解析:A.y'=-3x2≤0恒成立,所以函數(shù)在R上是減少的,無極值點.B.y'=sinx,當(dāng)-π<x<0時函數(shù)是減少的,當(dāng)0<x<π時函數(shù)是增加的,且當(dāng)x=0時,y'=0,故B符合.C.y'=cosx-1≤0恒成立,所以函數(shù)在R上是減少的,無極值點.D.x=0不在y=的定義域內(nèi).答案:B4.已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在極大值又存在極小值,則實數(shù)m的取值范圍是(　　)A.(-1,2)B.(-∞,-3)∪(6,+∞)C.(-3,6)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析:由已知得方程f'(x)=0,即3x2+2mx+(m+6)=0有兩個不同的實數(shù)根,由Δ>0得m的取值范圍為(-∞,-3)∪(6,+∞).答案:B5.已知a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,若t=ab,則t的最大值為(　　)A.2 B.3C.6 D.9解析:∵f(x)=4x3-ax2-2bx+2,∴f'(x)=12x2-2ax-2b.又f(x)在x=1處取得極值,∴f'(1)=12-2a-2b=0,a2+24b>0.∴a+b=6,∴t=ab≤=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時等號成立),∴tmax=9,故選D.答案:D6.函數(shù)f(x)=(a∈R)的極大值等于　　　　　. 解析:f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e1-a,當(dāng)0<x<e1-a時,f'(x)>0;當(dāng)x>e1-a時,f'(x)<0,所以函數(shù)的極大值等于f(e1-a)==ea-1.答案:ea-17.若函數(shù)f(x)=x3+x2-ax-4在區(qū)間(-1,1)上恰有一個極值點,則實數(shù)a的取值范圍為　　　　　. 解析:由題意,f'(x)=3x2+2x-a,則f'(-1)f'(1)<0,即(1-a)(5-a)<0,解得1<a<5,另外,當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)=x3+x2-x-4在區(qū)間(-1,1)上恰有一個極值點,當(dāng)a=5時,函數(shù)f(x)=x3+x2-5x-4在區(qū)間(-1,1)沒有極值點.故實數(shù)a的取值范圍為[1,5).答案:[1,5)8.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1處取得極值.(1)求a,b的值;(2)求函數(shù)的另一個極值.解(1)因為f(x)=x3+ax2+bx+4,所以f'(x)=3x2+2ax+b.依題意可得f'(1)=0,f(1)=,即解得a=-,b=-2.(2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+4,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).令f'(x)=0,得x=-或x=1,當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗ 所以函數(shù)的另一個極值在x=-處取得,是極大值,極大值為f.9.導(dǎo)學(xué)號01844045已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx-1在x=-1處取得極值,且f(x)的圖像在點(0,-1)處的切線與直線2x-y=0平行.(1)求f(x)的解析式;(2)求函數(shù)g(x)=xf(x)+2x的極值.解(1)由f(x)=ax2+bx-1,得f'(x)=2ax+b.由題設(shè),可得即解得所以f(x)=x2+2x-1.(2)由(1),得g(x)=xf(x)+2x=x3+2x2+x,所以g'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1).令g'(x)=0,解得x=-1或x=-,當(dāng)x變化時,g'(x),g(x)的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1-g'(x)+0-0+g(x)↗極大值↘極小值↗ 所以g(x)的極大值為g(-1)=-1+2-1=0,極小值為g=-=-.B組1.設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則(　　)A.x=1為f(x)的極大值點B.x=1為f(x)的極小值點C.x=-1為f(x)的極大值點D.x=-1為f(x)的極小值點解析:求導(dǎo)得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)=ex(x+1)=0,解得x=-1,當(dāng)x<-1時,f'(x)<0;當(dāng)x>-1時,f'(x)>0,從而x=-1是函數(shù)f(x)的極小值點.答案:D2.已知函數(shù)f(x)=x3-px2-qx的圖像與x軸切于(1,0)點,則f(x)的極大值、極小值分別為(　　)A.,0 B.0,C.-,0 D.0,-解析:f'(x)=3x2-2px-q,由f'(1)=0,f(1)=0,得解得∴f(x)=x3-2x2+x.由f'(x)=3x2-4x+1=0,得x=或x=1,易得當(dāng)x=時f(x)取極大值.當(dāng)x=1時f(x)取極小值0.答案:A3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍是(　　)A.-1<a<2 B.-3<a<6C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6解析:f'(x)=3x2+2ax+a+6,∵f(x)有極大值與極小值,∴f'(x)=0有兩不等實根,∴Δ=4a2-12(a+6)>0,∴a<-3或a>6.答案:D4.直線y=a與函數(shù)f(x)=x3-3x的圖像有相異的三個公共點,則a的取值范圍是　　　　　. 解析:f'(x)=3x2-3,由3x2-3=0得x=1或x=-1,當(dāng)x<-1,或x>1時,f'(x)>0,f(x)是增加的;當(dāng)-1<x<1時,f'(x)<0,f(x)是減少的.∴當(dāng)x=-1時,f(x)取到極大值f(-1)=2,當(dāng)x=1時,f(x)取到極小值f(1)=-2,∴欲使直線y=a與函數(shù)f(x)的圖像有相異的三個公共點,應(yīng)有-2<a<2.答案:(-2,2)5.已知實數(shù)a,b,c,d成等比數(shù)列,且曲線y=3x-x3的極大值點坐標(biāo)為(b,c),則ad=　　　　　. 解析:y'=3-3x2,令y'=0得x=±1,且當(dāng)x>1時,y'<0,當(dāng)-1≤x≤1時,y'≥0,當(dāng)x<-1時,y'<0,故x=1為y=3x-x3的極大值點,即b=1.∵c=3b-b3=3×1-1=2,∴bc=2.又∵a,b,c,d成等比數(shù)列,∴ad=bc=2.答案:26.導(dǎo)學(xué)號01844046(2015重慶高考)已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-處取得極值.(1)確定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性.解(1)對f(x)求導(dǎo)得f'(x)=3ax2+2x,因為f(x)在x=-處取得極值,所以f'=0,即3a·+2·=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=ex,故g'(x)=ex+ex=ex=x(x+1)(x+4)ex.令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.當(dāng)x<-4時,g'(x)<0,故g(x)是減少的;當(dāng)-4<x<-1時,g'(x)>0,故g(x)是增加的;當(dāng)-1<x<0時,g'(x)<0,故g(x)是減少的;當(dāng)x>0時,g'(x)>0,故g(x)是增加的.綜上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)上是減少的,在(-4,-1)和(0,+∞)上是增加的.7.導(dǎo)學(xué)號01844047設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f'(x)-9x=0的兩個根分別為1,4.(1)當(dāng)a=3且曲線y=f(x)過原點時,求f(x)的解析式;(2)若f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)無極值點,求a的取值范圍.解由f(x)=x3+bx2+cx+d,得f'(x)=ax2+2bx+c.因為f'(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的兩個根分別為1,4,所以(*)(1)當(dāng)a=3時,由(*)式得解得b=-3,c=12.又因為曲線y=f(x)過原點,所以d=0.故f(x)=x3-3x2+12x.(2)因為a>0,所以“f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)內(nèi)無極值點”等價于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)內(nèi)恒成立”.由(*)式得2b=9-5a,c=4a.又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),解得a∈[1,9],即a的取值范圍是[1,9]. 

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