1．（浙江省衢州二中2020屆高三（下）適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷題）設(shè)前n項(xiàng)積為T(mén)n的數(shù)列{an}，an＝λ﹣Tn（λ為常數(shù)），且是等差數(shù)列．
（1）求λ的值及數(shù)列{Tn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且bn＝（2n+3）Tn，求S2n﹣Sn﹣2n的最小值．
【答案】（1）， ；（2）.
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，整理得，由是等差數(shù)列，可得答案； （2）因?yàn)椋鶕?jù)前n項(xiàng)和的定義得到，，令，研究其單調(diào)性可得S2n﹣Sn﹣2n的最小值．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，即，
即，所以，
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，
令，所以，
所以數(shù)列{Tn}的通項(xiàng)公式為；
（2）因?yàn)椋?br /> 所以，
令，
所以，
所以，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，
即.所以S2n﹣Sn﹣2n的最小值為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，前n項(xiàng)和以及數(shù)列的增減性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
2．（內(nèi)蒙古赤峰二中2020屆普通高等學(xué)校招生第三次統(tǒng)一模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知數(shù)列和滿足.
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和
【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）
【分析】（1）根據(jù)遞推數(shù)列及等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和求解.
【解析】（1）由，
可得，即，
則是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列
（2）由（1）知，，

，
兩式相減得

【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推關(guān)系，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.
3．（安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）通過(guò)對(duì)變形可知 ，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；（2）通過(guò)可知，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得結(jié)論.
【解析】（1） 可得 ，
又，所以數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，
所以，即
（2），設(shè)
則
所以 ，
所以 .
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中?？贾R(shí)點(diǎn)，難度不大；常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類(lèi)似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類(lèi)似于，錯(cuò)位相減法類(lèi)似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.
4．（甘肅省天水一中2020屆高三高考數(shù)學(xué)（文科）二模試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）由得的遞推式，然后可證數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）由（1）求得，得出，用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和.
【解析】（1）由，
由，故，進(jìn)而：，
故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.
（2）由（1）知：，
故，
分別記數(shù)列，的前項(xiàng)和為，，則
，
，
相減得：，
所以，，
故.
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，分組求和法和乘公比錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用.
5．（浙江省嘉興市2019-2020學(xué)年高一（下）期末數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，且（）.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）對(duì)題中所給式子取倒數(shù)得：，可知數(shù)列是等差數(shù)列，最后得出的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，利用放縮法可得，
然后利用裂項(xiàng)相消法可求得的前n項(xiàng)和，進(jìn)而可得，又可得出，從而，最后可證明結(jié)論.
【解析】（1）對(duì)式子取倒數(shù)得：，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，即；
（2）
（），
故
，
另一方面：
，
從而，即，
綜上得：.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查利用數(shù)列性質(zhì)證明不等式，考查邏輯思維能力和推理能力，屬于?？碱}.
6．（2020年普通高等學(xué)校招生伯樂(lè)馬押題考試（三）理科數(shù)學(xué)試題）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求的表達(dá)式．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）由題意可得，從而可得，再利用等比數(shù)列的定義即可證明.
（2）由（1）可知，，從而可得，再利用分組求和以及等比、等差的前項(xiàng)和公式即可求解.
【解析】（1）因?yàn)?，故?br /> 則，則，
故，故是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知，，故，
故


．
【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的定義、分組求和、等比、等差的前項(xiàng)和公式，考查了考生的基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
7．（2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試伯樂(lè)馬模擬考試（二）文科數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足：，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求的前項(xiàng)和.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）由可得，兩式相減后化簡(jiǎn)得，然后利用累乘法可求出通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法可求出
【解析】（1）令，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
所以，所以，
所以，
因?yàn)?，所以，滿足此式，所以；
（2）因?yàn)椋?br /> 所以

【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，考查累乘法求通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法，屬于基礎(chǔ)題
8．（四川省內(nèi)江市2020屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，是與的等比中項(xiàng).
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求的最小值.
【答案】（1）；（2）；.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件求出首項(xiàng)，進(jìn)而可求出結(jié)果；
（2）由（1）得到，根據(jù)錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和，進(jìn)而可得出其最值.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，即.
∵是與的等比中項(xiàng)，∴，
即，解得.
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）問(wèn)可知.
∴
.
兩式相減

.
∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，涉及等比中項(xiàng)的應(yīng)用 ，屬于?？碱}型.
9．（山西省太原市2019-2020學(xué)年高一年級(jí)下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列中，，，等比數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）（）；（2）（）.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比，進(jìn)而得到所求和．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，
所以，，
（）；
（2）由（1）得，，
，，所以，
（）.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．（湖北省武漢市新洲一中2019-2020學(xué)年高一6月月考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用累加法即可容易求得通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）中所求，利用裂項(xiàng)求和法即可容易求得結(jié)果.
【解析】（1）因?yàn)?，所以，累加?br /> ，所以，
又符合上式，所以
（2）由（1）知
所以
故數(shù)列的前項(xiàng)和
【點(diǎn)睛】本題考查利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬綜合基礎(chǔ)題.
11．（貴州省銅仁市思南中學(xué)2019-2020學(xué)年高二（下）期末數(shù)學(xué)（文科）試題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）本題首先可以根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，再然后將其帶入中，并根據(jù)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)以及即可通過(guò)運(yùn)算得出結(jié)果；（2）本題可以通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式得知數(shù)列是等差數(shù)列，最后通過(guò)等差數(shù)列求和公式即可得出結(jié)果．
【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，
所以令數(shù)列的公比為，，，
所以，解得(舍去)或，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，．
（2）因?yàn)?，所以，，?br /> 所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列求和公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，是簡(jiǎn)單題．
12．（四川省廣元市蒼溪縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列滿足且
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）將條件取倒數(shù)可得，從而得證；
（2）利用等差數(shù)列先求得，從而得解.
【解析】（1）由 ，得，所以，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2.
（2）由（1）可得，所以
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用遞推關(guān)系求證等差數(shù)列，采用了取倒數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題.
13．（河北省石家莊市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期8月線上考試（一）數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足：，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由可化為，令，推出，根據(jù)的特征即可求出.
（2）根據(jù)題意可得，與原式作差再由（1）即可求解.
【解析】（1）由可化為.
令，則，即.
因?yàn)椋?，所以，即，?
（2）由，
可知，
兩式作差得，即.
又當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故.
【點(diǎn)睛】本題考查了由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式以及與的關(guān)系，屬于中檔題.
14．（四川省綿陽(yáng)市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的公差為正數(shù),與的等差中項(xiàng)為,且.
求的通項(xiàng)公式；
從中依次取出第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng),， 第項(xiàng),按照原來(lái)的順序組成一個(gè)新數(shù)列,判斷是不是數(shù)列中的項(xiàng)？并說(shuō)明理由.
【答案】；是數(shù)列中的項(xiàng)，理由見(jiàn)解析.
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知與的等差中項(xiàng)為，利用等差數(shù)列的定義列出式子求出公差為，，進(jìn)而列出的通項(xiàng)公式；
寫(xiě)出，將代入驗(yàn)證即可.
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得與的等差中項(xiàng)為，
所以，又因?yàn)?，?
所以，，因?yàn)楣顬檎龜?shù),所以.
則，則.
的通項(xiàng)公式.
結(jié)合可知，，，，.
令，即，符合題意，即.
所以是數(shù)列中的項(xiàng).
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式的求法，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.
15．（北京市通州區(qū)2019-2020學(xué)年高二（下）期中數(shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列的公比，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和 ．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式解方程計(jì)算即可；
（2）先求出，再根據(jù)分組求和的方法求解即可得答案.
【解析】（1）根據(jù)題意得：，，
兩式相除得：，由于，故， ，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
（2）根據(jù)題意得：，
根據(jù)分組求和的方法得：
.
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，分組求和法，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.
16．（河南省蘭考縣第三高級(jí)中學(xué)衛(wèi)星試驗(yàn)部2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）在數(shù)列{an}中a1＝1，an＝3an﹣1+3n+4（，n≥2）.
（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）Sn2n
【分析】（1）遞推公式通過(guò)變形可得1，即可證明數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式通過(guò)變形即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式求解.
【解析】（1）證明：因?yàn)閍n＝3an﹣1+3n+4（，n≥2）.
∴an+2＝3（an﹣1+2）+3n（，n≥2）.∴1
所以數(shù)列{}是公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，
所以，則，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.
（2）令①
則②
②﹣①得

所以，所以.
【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的求和公式、錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.
17．（江蘇省南通市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答.
已知是公差不為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且、、成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得，根據(jù)所選條件求得的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)所選條件求得和的值，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為.
因?yàn)?，，成等比?shù)列，則，
故，化簡(jiǎn)得.
因?yàn)?，所以，所?
若選①，則，即，則；
若選②，則，即，則；
若選③，則，即，則；
（2）因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，
設(shè)數(shù)列的公比為，則.
若選①，則，故，，
所以，由，得.
又，則，所以，
所以.
若選②，則，故，，
所以，由，得.
又，則，所以，
所以.
若選③，則，故，，
所以，由，得.
又，則，所以，
則.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，同時(shí)也考查了分組求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
18．（2020年高考全國(guó)卷考前沖刺演練文科數(shù)學(xué)（二）試題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列中任意兩項(xiàng)之積是否仍是數(shù)列中的項(xiàng)？并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）（1）證明見(jiàn)解析；（2）不是，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解.
（2）（1），利用等比數(shù)列的定義求解；（2）設(shè)數(shù)列中任意兩項(xiàng)分別為，，由（1）得，假設(shè)是數(shù)列中的項(xiàng)，利用數(shù)的特征求解.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意，得，解得，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）（1）由，得，則，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（2）數(shù)列中任意兩項(xiàng)之積不是數(shù)列中的項(xiàng).
設(shè)數(shù)列中任意兩項(xiàng)分別為，，
由（1），得，則．
若，是數(shù)列中的項(xiàng)，則，
整理得，顯然該等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，矛盾，
所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，故數(shù)列中任意兩項(xiàng)之積不是數(shù)列中的項(xiàng)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的定義以及項(xiàng)與數(shù)列的關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
19．（2020高考命題專(zhuān)家預(yù)測(cè)密卷理科數(shù)學(xué)（二）試題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,.
（1）證明:為等比數(shù)列,求出的通項(xiàng)公式;
（2）若,求的前n項(xiàng)和,并判斷是否存在正整數(shù)n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析,;（2）不存在,理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明為等比數(shù)列，再根據(jù)和的關(guān)系 ，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)，可采取錯(cuò)位相減法求出的前n項(xiàng)和，然后代入得，，構(gòu)造函數(shù)()，利用其單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可判斷是否存在．
【解析】（1）∵，∴，
因?yàn)?，所以可推出?br /> 故，即為等比數(shù)列．
∵，公比為2，∴，即，
∵，當(dāng)時(shí)，，也滿足此式，
∴；
（2） 因?yàn)椋?br /> ∴，兩式相減得:
即，代入，得．
令()，在成立，
∴，為增函數(shù)，
而，所以不存在正整數(shù)n使得成立．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義的應(yīng)用以及其通項(xiàng)公式的求法，錯(cuò)位相減法，構(gòu)造函數(shù)法，零點(diǎn)存在性定理等的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．
20．（2020年高考全國(guó)卷考前沖刺演練精品密卷Ⅱ數(shù)學(xué)（理）試題）已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則，，是否成等差數(shù)列？并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）不能，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）設(shè)公比為（），代入已知條件可求出的值，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意求出數(shù)列以及前項(xiàng)和，判斷是否為0，可得出結(jié)果.
【解析】（1）設(shè)公比為（），則，，
代入，得，
因?yàn)?，得，結(jié)合，解得．
又，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
（2），則數(shù)列是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
所以．
，若，則，
即，所以，若，則，，不能組成等差數(shù)列．
【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，考查數(shù)列基本量的運(yùn)算，考查等差數(shù)列的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.
21．（2020高考命題專(zhuān)家預(yù)測(cè)密卷文科數(shù)學(xué)（二）試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，可求得，得通項(xiàng)公式，
由及可得通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，用分組求和法計(jì)算．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，，
∵，，成等比數(shù)列，∴，即．
整理得，解得（舍去）或，
∴．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，滿足上式，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）得，，
∴

．
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由數(shù)列前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，考查用分組求和法求數(shù)列的和．在中要注意，需驗(yàn)證是否符合這個(gè)表達(dá)式．
22．（遼寧省本溪滿族自治縣高級(jí)中學(xué)2020屆高三高考全真模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，然后將已知條件利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算可得答案.
（2）先計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和和裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算可得結(jié)果.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故，
∵，，成等比數(shù)列，∴，
∴，∴，∴；
（2）由（1）可得，
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，考查分組求和和裂項(xiàng)相消求和法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
23．（山西省太原市2019-2020學(xué)年高一年級(jí)下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，（）.
（1）證明：為等差數(shù)列；
（2）設(shè)（），求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）由可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知為等差數(shù)列；（2）求出和后，利用裂項(xiàng)求和公式可求得結(jié)果.
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，
是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）得，（），
（），


.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用定義證明等差數(shù)列，考查了裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.
24．（湖北省宜昌市天問(wèn)高中2019-2020學(xué)年高二（下）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，且是與的等比中項(xiàng).
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到，求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，求得，結(jié)合“裂項(xiàng)法”，即可求解.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，
因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即，
又由，即，整理得，解得或，
因?yàn)?，所?所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，等比中項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及“裂項(xiàng)法”求和，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及熟練應(yīng)用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.
25．（陜西省商洛市洛南中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.
【解析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16．
【點(diǎn)睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問(wèn)題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件.
26．（華大新高考聯(lián)盟名校2020屆高考預(yù)測(cè)考試5月數(shù)學(xué)文科試題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，的等差中項(xiàng)為10.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）將題中條件轉(zhuǎn)化為與等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，求出首項(xiàng)、公比即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可用裂項(xiàng)相消的形式求出.
【解析】（1），的等差中項(xiàng)為10,,
，解得，,
;
（2）由（1）可知，
，

.
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式的求法，并且考查了用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前項(xiàng)和，屬于綜合題.
27．（陜西省商洛市洛南中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，．
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）由題設(shè)，化簡(jiǎn)得，即可證得數(shù)列為等比數(shù)列．（2）由（1），根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）由題意，數(shù)列滿足，所以
又因?yàn)?，所以，即?br /> 所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1），根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得，即，
所以
，即．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
28．（四川省眉山車(chē)城中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和.求證：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解.
【分析】（1）由，整合、從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式
（2）根據(jù)已知條件知，進(jìn)而可求的前項(xiàng)和的一般式，判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定的范圍
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
，
∴
（2），
，
∴為單增函數(shù)，當(dāng)取1時(shí)，，
又∵，∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，及由數(shù)列間的關(guān)系式求新數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并根據(jù)單調(diào)性求范圍.
29．（四川省眉山車(chē)城中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：，，且，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）設(shè)為公差，為公比，由題意得，可求得，又由，可求得數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）由（1）得：，運(yùn)用分組求和法可求得.
【解析】（1）設(shè)為公差，為公比，
由題意得，即，
∵，∴，∴，
又，∴；
（2）由（1）得：，
所以

.
所以.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查分組求和法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.
30．（四川省仁壽第一中學(xué)南校區(qū)2020屆高三仿真模擬（二）數(shù)學(xué)（理）試題）已知等差數(shù)列滿足，且是，的等比中項(xiàng).
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè).求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量結(jié)合等比中項(xiàng)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化已知條件，求得首項(xiàng)和公差，即可容易得到結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中所求，求得，再用裂項(xiàng)求和法即可求得結(jié)果.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，即，
，，，
∴，，，
∵是，的等比中項(xiàng)，
∴，即，解得
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）由（1）得
∴
。
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，以及用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬綜合中檔題.
31．（山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值．
【答案】（1）；，；（2）.
【分析】（1）由得出數(shù)列的遞推式，累乘法可得通項(xiàng)公式，然后設(shè)的公比為，求出后可得通項(xiàng)；（2）用裂項(xiàng)相消法求得和，由得是遞增的，從而得最小值．
【解析】（1）

即有，
上式對(duì)也成立，則；
為公比設(shè)為的等比數(shù)列，，．
可得，，則，即，
，；
（2），
前項(xiàng)和為，
，
即，可得遞增，則的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一是已知與的關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查累乘法，一是求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和及數(shù)列的單調(diào)性，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．
32．（四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)2019-2020學(xué)年高一6月月考數(shù)學(xué)試題）在公差為d的等差數(shù)列中，已知，且，，成等比數(shù)列.
（1）求d，；
（2）若，求.
【答案】（1）或；（）或（）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可得，求出公差d，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可得答案；
（2）由可得，再對(duì)分兩種情況討論，去絕對(duì)值，再進(jìn)行求和運(yùn)算；
【解析】（1）由題意得，且，
即，
整理得，解得或.
∴（）或（）.
（2）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為.
∵，由（1）得，，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí).
②當(dāng)時(shí)，，此時(shí).
綜上所述，.
【點(diǎn)睛】本題考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.
33．（山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題）已知公比為整數(shù)的正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，．
求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，，化為：，由，可得：，聯(lián)立解出即可；（2）由，利用錯(cuò)位相減法即可得出結(jié)果.
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，，，化為：，
由，可得：，聯(lián)立化為：
由，且為整數(shù)，可解得，故.
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
（2）由，
數(shù)列的前項(xiàng)和，
，
，
化為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
34．（四川省眉山市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項(xiàng)為5，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解得結(jié)果代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.
【解析】解析：（1）由題意可得：，∴
∵，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2） ∴，
，
上述兩式相減 可得，
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
35．（安徽省合肥一中2019-2020學(xué)年高二（下）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試題）下面四個(gè)圖案，都是由小正三角形構(gòu)成.設(shè)第n個(gè)圖形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)為.

（1）求出，，，；
（2）找出與的關(guān)系，并求出的表達(dá)式；
（3）求證：.
【答案】（1），，，；（2），；（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）觀察圖案的規(guī)律即可得到；（2）由（1）可知，第n個(gè)圖形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)等于第個(gè)圖形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)加上3再加個(gè)，即，利用累加法即可得到；（3），利用裂項(xiàng)相消法即可得到證明.
【解析】（1）由題意有：，
，，
，﹒
（2）由題意及（1）知，，
即.
∴


.
（3）∵，，

.
所以對(duì)于任意，原不等式成立.
【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，涉及到歸納推理、累加法求通項(xiàng)、等差數(shù)列求和以及數(shù)列不等式的證明，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道較為綜合的題.
36．（四川省三臺(tái)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2019-2020學(xué)年高一4月月考數(shù)學(xué)試題）已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為， 且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列．可得：，即，，聯(lián)立解得即可得出．（2）由（1）可得：，可得，．利用裂項(xiàng)相消法求和方法即可得出．
【解析】（1）因?yàn)楣畈粸榈牡炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，
且成等比數(shù)列．∴，即，即
， 即，
聯(lián)立解得：，∴ .
（2）由（1）可得： ，
∴，∴ ，
∴數(shù)列的前項(xiàng)和
.
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、裂項(xiàng)相消法求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

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