?專題01 解三角形（選擇題、填空題）
一、單選題
1．（江西省南昌市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）在中，，，，則
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知利用正弦定理可得，結(jié)合，可得B為銳角，可求．
【解析】∵，，，
∴由正弦定理，可得，
∵，B為銳角，∴．故選：C
2．（江蘇省揚州市江都區(qū)大橋高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)情調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題）已知船在燈塔北偏東85°且到的距離為，船在燈塔西偏北55°且到的距離為，則兩船的距離為
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦定理可得距離．
【解析】依題意可得，
在三角形中，由余弦定理可得：，
∴．
故選D．
【點睛】與解三角形相關(guān)的實際問題中，我們常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它們的差別．另外，把實際問題抽象為解三角形問題時，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，這樣才能確定用什么定理去解決．
3．（山西省晉中市祁縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中，若，那么角等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由余弦定理先求得，再得。
【解析】中，由題意，∴。
故選：C。
【點睛】本題考查余弦定理，考查用余弦定理求角。余弦定理公式較多，注意選用：如，變形為。
4．（江西省宜春市上高縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文科）試題）在中，，，，則為
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理得到答案．
【解析】根據(jù)正弦定理：即：
答案選D
【點睛】本題考查了正弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力．
5．（山東省濟寧市嘉祥縣第一中學(xué)2020屆高三第9次模擬考試數(shù)學(xué)試題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個內(nèi)角所對的邊分別為，面積為，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為
A． B．
C． D．2
【答案】D
【分析】由已知利用正弦定理可求得，進而可求得代入“三斜求積”公式即可求得結(jié)果．
【解析】，，，因為，
所以，，從而的面積為．
故選：D．
【點睛】本題考查正弦定理以及新定義的理解，考查分析問題的能力和計算求解能力，難度較易．
6．（河南省新鄉(xiāng)市2020屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊．已知且b＝，則a+c＝
A．4 B．3
C． D．2
【答案】D
【分析】利用余弦定理角化邊可得，再根據(jù)余弦定理可得，根據(jù)三角形面積公式可得，再根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果．
【解析】因為，所以，化簡得，
所以，因為，所以，
所以，所以，所以，
又，所以，所以，
所以．
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的面積公式、余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．
7．（江西省南昌市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）在高分辨率遙感影像上，陰影表現(xiàn)為低亮度值，其分布范圍反映了地物成像時遮光情況的二維信息，可以通過線段長度（如圖：粗線條部分）與建筑物高度的幾何關(guān)系來確定地表建筑物的高度數(shù)據(jù)．在不考慮太陽方位角對建筑物陰影影響的情況下，太陽高度角、衛(wèi)星高度角與建筑物高度、線段的關(guān)系如圖所示，在某時刻測得太陽高度角為，衛(wèi)星高度角為，陰影部分長度為L，由此可計算建筑物得高度為

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用直角三角形的定義的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解析】如圖所示，設(shè)，，

由于，所以在中，．
在中，，
所以，解得，
所以
故選：B．
【點睛】本題考查解三角形的應(yīng)用，本題是直角三角形，只要利用直角三角形中邊角關(guān)系即可求解．
8．（湖南省懷化市2020屆高三下學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題）已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，，則角的值為
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】將的三條邊都用表示，再利用余弦定理求的值．
【解析】，，
，
，，
故選：C．
【點睛】本題考查余弦定理的運用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力．
9．（山西省朔州市懷仁縣懷仁一中云東校區(qū)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題）在銳角中，若，則的范圍是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可得，利用倍角公式和正弦定理可得，再根據(jù)的范圍可求的取值范圍．
【解析】因為，故即，
根據(jù)正弦定理可以得到即．
因為為銳角三角形，故，所以，
所以，故．
故選B．
【點睛】在解三角形中，邊的關(guān)系與已知的角的關(guān)系可以利用正弦定理來溝通，注意利用銳角三角形來限制最小角的范圍．
10．（江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，且2S＝（a+b）2﹣c2，則tanC＝
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用面積公式，以及余弦定理對已知條件進行轉(zhuǎn)化，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系，將正余弦轉(zhuǎn)化為正切，解方程即可求得．
【解析】△ABC中，∵S△ABC，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC，
且2S＝（a+b）2﹣c2，∴absinC＝（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），
整理得sinC﹣2cosC＝2，∴（sinC﹣2cosC）2＝4．
∴4，化簡可得3tan2C+4tanC＝0．
∵C∈（0，180°），∴tanC，
故選：C．
【點睛】本題考查余弦定理以及面積公式的使用，涉及同角三角函數(shù)關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．
11．（安徽省廬巢六校2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在銳角中，已知角的對邊分別為，，，且最短邊，則
A． B．4
C．2 D．8
【答案】B
【解析】由已知根據(jù)正弦定理得，
由余弦定理得．
于是，結(jié)合，即得．
由余弦定理得，又，，，
所以，即，解得或．
因為最短邊，所以．故選B．
12．（安徽省廬巢六校2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知的面積，且，則
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理和三角形的面積公式求出的值，再根據(jù)正弦定理和的值．
【解析】中，，
面積為，，
又，；
又，，
，．
故選：B．
【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（江蘇省揚州市江都區(qū)大橋高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)情調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則最短邊的長等于
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)大邊對大角可知最短邊的邊長為，由正弦定理可得，解得的值，從而得出結(jié)論．
【解析】邊最短．由正弦定理得．
故選A．
【點睛】本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．正弦定理是解三角形的有力工具，其常見方法有：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角和銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑．
14．（江蘇省蘇州市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知，，則
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】據(jù)正弦定理結(jié)合已知可得，
整理得
，故，由二倍角公式得．
【思路點晴】本題中用到了正弦定理實現(xiàn)三角形中邊與角的互化，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角公式，如，這要求學(xué)生對基本公式要熟練掌握解三角形時常借助于正弦定理，余弦定理，實現(xiàn)邊與角的互相轉(zhuǎn)化．
15．（河北省保定市曲陽縣第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中，設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，a，b，c成等比數(shù)列，則B的最大值為
A．90° B．60°
C．45° D．30°
【答案】B
【分析】由已知得；代入余弦定理結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得證．
【解析】因為，，成等比數(shù)列，所以；
而（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
又因為為三角形的內(nèi)角，所以；
故的最大值為
故選：B
【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．（山西省晉中市祁縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中，已知，，則
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】由正弦定理求得，進而求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【解析】因為，，所以由正弦定理得，
因為，所以，所以或，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
故選：D．
【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于?？碱}．
17．（安徽省阜陽市太和中學(xué)2020屆高三下學(xué)期最后一模文科數(shù)學(xué)試題）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，，則角的大小為
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理對條件進行化簡，可得，再由銳角中，可得角的大?。?br /> 【解析】由余弦定理可得，所以，
所以，即．
又為銳角三角形，所以．
故選：A
【點睛】本題考查余弦定理、由正弦值求角等解三角形等基本知識，考查運算求解能力和邏輯推理能力，屬于容易題目．
18．（2020屆廣東省東莞市高三下學(xué)期第二次統(tǒng)考6月模擬（最后一卷）數(shù)學(xué)（文）試題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosC+ccosB＝6，c＝3，B＝2C，則cosC的值為
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知利用二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦定理可得，利用兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理化簡已知等式可得，進而根據(jù)余弦定理即可求解的值．
【解析】，，，
由正弦定理，可得，可得，
，設(shè)的外接圓半徑為，
由正弦定理可得，
又，可得，
可得，，可得，
，則為銳角，解得．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了正余弦定理在解三角形中的運用，需要根據(jù)題意確定合適的三角函數(shù)公式互化求解，屬于中檔題．
19．（湖北省“荊、荊、襄、宜”四地七校聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，若，則△ABC的面積S是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由正弦定理求出，
【解析】是三角形內(nèi)角，，∴，
由正弦定理得，
又，即，
，（舍去），
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系．解三角形中公式較多，解題時需根據(jù)已知條件確定先選用哪個公式，再選用哪個公式．要有統(tǒng)籌安排，不致于凌亂．
20．（湖北省黃石市第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)（理）試題）已知橢圓C：（）的左，右焦點分別為，，點P是圓上一點，線段與橢圓C交于點Q，，，則橢圓C的長軸長為
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出橢圓焦點坐標(biāo)，易知P點所在圓圓心為，且，由橢圓定義可推出，再分別求出，，在中運用余弦定理即可求得a，從而求得橢圓C的長軸長．
【解析】橢圓C：中，所以
圓的圓心為，且半徑，
由橢圓定義可得，所以，
在中，，，
所以由余弦定理得，
整理得，解得，
所以橢圓C的長軸長為．
故選：C
【點睛】本題考查橢圓的定義及幾何性質(zhì)，圓的一般方程，余弦定理，屬于中檔題．
21．（廣西南寧三中2019-2020學(xué)年高一（下）期末數(shù)學(xué)試題）在銳角三角形中，已知，則的范圍是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦定理得到，計算，得到答案．
【解析】，又，，銳角三角形，
∴，故，故．
故選：C．
【點睛】本題考查了正弦定理，三角恒等變換，三角函數(shù)范圍，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力．
22．（江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，該三角形的面積為，則的值為
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)面積可求得，然后根據(jù)余弦定理得到，再由正弦定理的變形可得所求的值．
【解析】∵的面積為，，
∴，∴．
由余弦定理得，∴．
由正弦定理得．
故選A．
【點睛】正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式都能反應(yīng)三角形中的邊角關(guān)系，因此這些內(nèi)容常綜合在一起考查，成為命題的熱點．在解題是要注意公式的靈活應(yīng)用，特別是在應(yīng)用正弦定理時要注意公式的常用變形，如本題中所涉及的式子等．
23．（四川省資陽市2020屆高三模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題），，分別為內(nèi)角，，的對邊．已知，，則的面積的最大值為
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理化角為邊得到，利用基本不等式求出，利用面積公式求出最大值．
【解析】因為，
所以，又，所以，
則，所以的面積的最大值為．
故選：D
【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用與基本不等式的應(yīng)用，考查推理論證能力．
三角形中最值范圍問題的解題思路：
要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大．也可利用基本不等式求最值．
24．（湖北省武漢市2020屆高三下學(xué)期六月供題（二）文科數(shù)學(xué)試題）中，，為的中點，，，則
A． B．
C． D．2
【答案】D
【分析】在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得．
【解析】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，
在中，由余弦定理可得，
．
故選：D
【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力．
25．（江蘇省揚州市江都區(qū)大橋高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)情調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題）在ΔABC中，已知BC=2AC，B∈[π6，π4]，則角A的取值范圍為
A．[π4，π2) B．[π4，π2]
C．[π4，3π4) D．[π4，3π4]
【答案】D
【分析】由BC=2AC，根據(jù)正弦定理可得：sinA=2sinB，由角B范圍可得sinA的范圍，結(jié)合三角形的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的圖像即可得到角A的取值范圍
【解析】由于在ΔABC中，有BC=2AC，根據(jù)正弦定理可得sinA=2sinB，
由于B∈[π6，π4]，即sinB∈12，22，則sinA=2sinB∈22，1，即sinA∈22，1
由于在三角形中，A∈0，π，由正弦函數(shù)的圖像可得：A∈[π4，3π4]；
故答案選D
【點睛】本題考查正弦定理在三角形中的應(yīng)用，以及三角函數(shù)圖像的應(yīng)用，屬于中檔題．
26．（安徽省合肥市第一中學(xué)2020屆高三下學(xué)期最后一卷數(shù)學(xué)（理）試題）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】使用余弦定理可得，利用正弦定理邊化角可得，進一步使用正弦定理可得，最后利用換元并構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)最值即可．
【解析】由余弦定理得，
即，
，即，
，即
，
，，
即，則，
，
設(shè)，則，
，在上單調(diào)遞增，
則，所以．
所以的取值范圍為
故選：C．
【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，還考查通過構(gòu)造函數(shù)研究最值問題，考查分析能力以及計算能力，屬中檔題．
27．（湖北省武漢市外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，則角的取值范圍為
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由、、依次成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡，再利用余弦定理表示出，把得出關(guān)系式代入并利用基本不等式求出的范圍，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)確定出的范圍即可．
【解析】在中，、、依次成等比數(shù)列，
，利用正弦定理化簡得，
由余弦定理得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），因為，
則的范圍為，，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
28．（湖北省武漢市外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）設(shè)為的重心，且，則的值為
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直角三角形以及重心的性質(zhì)得出，由余弦定理得出，利用三角恒等變換以及正弦定理和余弦定理的邊角轉(zhuǎn)化將化簡，即可得出答案．
【解析】設(shè)的延長線交于點，為的重心，為的中點
又，
又，
由余弦定理得①
②
①②可得，即


故選：D

【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，涉及了三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．
29．（吉林省長春市農(nóng)安縣實驗中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）下列命題中，不正確的是
A．在中，若，則
B．在銳角中，不等式恒成立
C．在中，若，則必是等邊三角形
D．在中，若，則必是等腰三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)正余弦定理以及有關(guān)知識，對各選項逐個判斷即可求解．
【解析】對A，因為，所以，又，所以，即，所以A正確；
對B，因為為銳角三角形，所以，即有，所以，B正確；
對C，因為，所以，即，而，所以是等邊三角形，C正確；
對D，由可得，，即，所以或，亦即或，
所以是等腰三角形或者直角三角形，D不正確．
故選：D
【點睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
30．（吉林省長春市農(nóng)安縣實驗中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且若，則的形狀是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用求出A的值，進一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判斷出三角形的形狀．
【解析】在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．
則：，
由于：0＜A＜π，故：A．
由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，
所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，
所以：△ABC為等邊三角形．
故選C．
【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．
31．（山西省晉中市祁縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）為了測量某塔的高度，某人在一條水平公路兩點進行測量．在點測得塔底在南偏西，塔頂仰角為，此人沿著南偏東方向前進10米到點，測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔的高度為
A．5米 B．10米
C．15米 D．20米
【答案】B
【分析】設(shè)出塔高為h，畫出幾何圖形，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系和余弦定理，即可求出h的值．
【解析】如圖所示：

設(shè)塔高為AB＝h，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，則BC＝AB＝h；
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，則BDh；
在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC?CDcos∠BCD，
即（h）2＝h2+102﹣2h×10×cos120°，
∴h2﹣5h﹣50＝0，解得h＝10或h＝﹣5（舍去）；
故選B．
【點睛】本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用問題，也考查了將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的應(yīng)用問題，是中檔題．
32．（山西省晉中市祁縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）設(shè)在中，角所對的邊分別為，若，則的形狀為
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得，從而可得結(jié)果．
【解析】因為，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形．
【點睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑．
33．（江西省宜春市上高縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文科）試題）滿足條件的三角形的個數(shù)是
A．1個 B．2個
C．無數(shù) D．不存在
【答案】B
【分析】利用余弦定理求得邊，再驗證滿足三角形的兩邊之和大于第三邊，即確定為解．
【解析】由余弦定理得，且，
即，即，∴或．
當(dāng)時，滿足；
當(dāng)時，滿足，，
故選：B．
【點睛】本題考查余弦定理解三角形，利用余弦定理求出邊后，可用兩邊之和大于第三邊確定符合三角形的條件．
34．（江西省宜春市上高縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文科）試題）在△ABC中，a2tanB=b2tanA，則△ABC是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦定理，化簡得到，得到答案．
【解析】，故，即．
故或，即或．
故選：．
【點睛】本題考查了正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的計算能力．
35．（黑龍江省哈爾濱市德強高中2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，，，則
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)正弦定理化邊得C為直角，再根據(jù)余弦定理得角B，最后根據(jù)直角三角形解得a．
【解析】因為，所以，C為直角，
因為，所以，
因此選B．
【點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的．
36．（黑龍江省哈爾濱市德強高中2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題）中三個角的對邊分別記為a、b、c，其面積記為S，有以下命題：
①；
②若，則是等腰直角三角形；
③；
④，則是等腰或直角三角形．
其中正確的命題是
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)恒等變換對各個命題進行判斷．
【解析】由得代入得，①正確；
若，
∴，，∵是三角形內(nèi)角，∴，即，為等腰三角形，②錯；
由余弦定理，
又，∴，③正確；
，
則，∴，
由正弦定理得，三角形中，
則，，∴或，
∴或，④正確．
故選：D．
【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查三角形形狀的判斷，由正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化在其中起到了重要的作用，解題時注意體會邊角轉(zhuǎn)換．
二、多選題
37．（江蘇省宿遷市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中，角、、的對邊分別為，，，若，，則使此三角形有兩解的的值可以是
A．5 B．
C．8 D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)三角形解的個數(shù)判斷，即為銳角時，三角形有兩解．
【解析】當(dāng)為銳角時，三角形有兩解．
，，
的值可以是，8，故選：BC．
【點睛】本題考查三角形解的個數(shù)的判斷，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
38．（江蘇省泰州市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末（重考卷）數(shù)學(xué)試題）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列條件中，能使△ABC的形狀唯一確定的有
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用正弦定理可判斷A；利用余弦定理可判斷B、D；利用三角形的內(nèi)角和以及正弦定理可判斷C．
【解析】對于A，根據(jù)正弦定理：，可得，
又因為，所以，所以或，故A不正確；
對于B，由余弦定理可得，解得，故B正確；
對于C，由三角形的內(nèi)角和可知，又，利用正弦定理，
可知均有唯一值，故C正確；
對于D，，三角形的三邊確定，三角形的形狀唯一確定，故D正確；
故選：BCD
【點睛】本題考查了利用正弦定理、余弦定理判斷三角形的形狀，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
39．（江蘇省蘇州市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)試題）在中，角，，所對的邊分別為，，．已知，，若添加下列條件來解三角形，則其中三角形只有一解的是
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用三角形的性質(zhì)：大邊對大角以及正弦定理即可求解．
【解析】對于A，由，所以，又由正弦定理：，
所以，所以只有一個銳角，故A正確；
對于B，，由正弦定理：，可得，
滿足條件的是銳角或鈍角，故B不正確’；
對于C，由正弦定理：，可得，即，
滿足題意，故C正確；
對于D，由正弦定理：，可得，
即無解，故D不正確．
故選：AC
【點睛】本題考查了正弦定理、三角形的性質(zhì)，需熟記定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題．
40．（遼寧省沈陽市第一七〇中學(xué)2019-2020學(xué)年高一聯(lián)合體期末考試數(shù)學(xué)試卷）在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是
A． B．是鈍角三角形
C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍 D．若，則外接圓半徑為
【答案】ACD
【分析】由已知可設(shè)，求得，利用正弦定理可得A正確；利用余弦定理可得，三角形中的最大角為銳角，可得B錯誤；利用余弦定理可得，利用二倍角的余弦公式可得：，即可判斷C正確，利用正弦定理即可判斷D正確；問題得解．
【解析】因為
所以可設(shè)：（其中），解得：
所以，所以A正確；
由上可知：邊最大，所以三角形中角最大，
又，所以角為銳角，所以B錯誤；
由上可知：邊最小，所以三角形中角最小，
又，
所以，所以
由三角形中角最大且角為銳角可得：，
所以，所以C正確；
由正弦定理得：，又
所以，解得：，所以D正確；
故選ACD
【點睛】本題主要考查了正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，還考查了二倍角的余弦公式及計算能力，考查方程思想及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
41．（江蘇省南通市海安高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知下列條件：
①；
②；
③；
④．
其中滿足上述條件的三角形有兩解的是
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】AB
【分析】①先求出頂點A到BC的距離，再與b，c兩邊比較大小可得結(jié)論；
②先求出頂點C到AB的距離，再與a，b兩邊比較大小可得結(jié)論；
③由正弦定理直接求解即可判斷，④由，可得，從而可判斷．
【解析】對于①，由，得，
所以，所以三角形有兩個解；
對于②，由得，，
所以，所以三角形有兩個解；
對于③，由結(jié)合正弦定理得，，所以角，所以三角形只有一個解；
對于④，由于，可知，這樣的三角形不存在，無解；
故選：AB
【點睛】此題考查正弦定理的應(yīng)用，三角形中大邊對大角，三角形解的個數(shù)的判斷方法，屬于中檔題．
42．（福建省南平市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）在中，已知，且，則
A．、、成等比數(shù)列 B．
C．若，則 D．、、成等差數(shù)列
【答案】BC
【分析】首先根據(jù)已知條件化簡得到，，再依次判斷選項即可得到答案．
【解析】因為，
所以，即．
又因為，
所以，
即，．
對選項A，因為，所以、、成等比數(shù)列，故A錯誤．
對選項B，因為，，所以，
即，故B正確．
對選項C，若，則，，
則，
因為，所以．
故，故C正確．
對選項D，若、、成等差數(shù)列，則．
又因為，則．
因為，設(shè)，，，，
則，故D錯誤．
故選：BC
【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同時考查了三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．
43．（江蘇省宿遷市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知中，，，，在上，為的角平分線，為中點下列結(jié)論正確的是
A． B．的面積為
C． D．在的外接圓上，則的最大值為
【答案】ACD
【分析】先由余弦定理算出，再計算面積，驗證B選項，在中，利用余弦定理求驗證A選項，用等面積法，求驗證C選項，用正弦定理表示，，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)驗證D選項．
【解析】在中，由余弦定理得，
因為，所以．
所以，故B錯誤；

在中，，所以，故A正確；
因為為的角平分線，
由等面積法得，
整理得，解得，故C正確；
在的外接圓上，如圖

則，
所以在中，記，，由正弦定理得，，又，
所以
，其中，
又因為，所以的最大值為，故D正確．
故選：ACD
【點睛】本題考查正余弦定理的綜合應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算能力，是中檔題．
44．（江蘇省蘇州市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，下列說法中正確的有
A．若，則一定是等邊三角形
B．若，則一定是等腰三角形
C．若，則一定是等腰三角形
D．若，則一定是鈍角三角形
【答案】ACD
【分析】根據(jù)正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用逐一判斷各個選項即可．
【解析】對于，若，則，即，即，即是等邊三角形，故正確；
對于，若，則由正弦定理得，即，則或，即或，則為等腰三角形或直角三角形，故錯誤；
對于，若，所以，所以，即，則是等腰三角形，故正確；
對于，中，，又，所以
角為鈍角，但一定是鈍角三角形，故正確；
故選：ACD．
【點睛】本題考查正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用等知識點，考查學(xué)生訓(xùn)練運用公式熟練變形的能力，屬于中檔題．
45．（江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，三個內(nèi)角分別為A，B，C，下列結(jié)論正確的是
A．
B．若，則三角形A，B，C是銳角三角形
C．
D．若，則A=B
【答案】AD
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為及正弦定理逐一判斷即可．
【解析】對A：，故正確；
對B：若，則A為銳角，但B或C可能是鈍角，故錯誤；
對C：，故錯誤；
對D：，則，故，故正確．
故答案為：AD．
【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角形中的恒等式，是基礎(chǔ)題．
三、填空題
46．（黑龍江省綏化市2019-2020學(xué)年高二期末考試數(shù)學(xué)（文科）試卷（A卷））在中，若，則的大小為________．
【答案】
【解析】∵∴∴∴∴
【考點定位】本小題主要考查的是解三角形，所用方法并不唯一，對于正弦定理和余弦定理此二者會其一都可以得到最后的答案
47．（湖南省懷化市2020屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，且，則________．
【答案】2
【分析】由余弦定理即可求出．
【解析】由余弦定理可得：
解得：（舍），故
【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．
48．（上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期線上教學(xué)評估數(shù)學(xué)試題）在△中，若，，，則________
【答案】
【分析】直接利用正弦定理，結(jié)合三角形解的個數(shù)判定，即可得到答案；
【解析】，
，，，
故答案為：．
【點睛】本題考查正弦定理\三角形解的個數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．
49．（河北省保定市曲陽縣第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且，，，則____________．
【答案】
【分析】由正弦定理化角為邊后，結(jié)合已知可求得，利用三角形面積公式可得，這樣由正弦定理可把用表示，用表示，代入求值式可得結(jié)論．
【解析】∵，∴由正弦定理得，
又，則，則，
又，∴，
由正弦定理得，，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查正弦定理、三角形面積公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題基礎(chǔ)．
50．（吉林省長春市農(nóng)安縣實驗中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞．若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點間的距離)，現(xiàn)取兩點C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為________．

【答案】80
【分析】在中，由正弦定理求得；在中，由正弦定理求得；再在中，由余弦定理求得．
【解析】由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝＝160sin15°＝40(－)．
在中，由余弦定理，
得AB2＝1600×(8＋4)＋1600×(8－4)＋2×1600×(＋)×(－)×
＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，
解得AB＝80．故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80．
故答案為：．
【點睛】本題考查利用正余弦定理求解距離問題，屬綜合基礎(chǔ)題．
51．（黑龍江省哈爾濱市德強高中2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題）△ABC中，已知b＝5，A＝60°，S△ABC＝，則c=___________
【答案】4
【分析】由題意結(jié)合三角形面積公式可得，解方程即可得解．
【解析】，，，
，解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
52．（福建省南平市2020屆高考數(shù)學(xué)三模（理科）試題）中，為平分線，若，且，則的周長為________．
【答案】
【分析】由角平分線的性質(zhì)得出，可得，再由弦化切思想以及正弦定理邊角互化思想得出，可得，利用余弦定理求得，進而可求得，利用三角形的面積公式可求得的值，由此可求得該三角形的面積．
【解析】在中，設(shè)角、、的對邊分別為、、，

為平分線，則，，
，即，
，即，，
由余弦定理得，，
，解得，
因此，的周長為．
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形周長的計算，同時也考了三角形面積的計算，考查計算能力，屬于中等題．
53．（江蘇省泰州市2020屆高三下學(xué)期5月高考模擬數(shù)學(xué)試題）在中，點在邊上，且滿足，，則的取值范圍為_______．
【答案】
【分析】作出圖形，由得出，利用正弦定理和三角恒等變換思想得出，然后利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可求得的取值范圍．
【解析】如下圖所示：

，，
，，，且為銳角，
在中，，
另一方面
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的取值范圍是．
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形中邊長比值的取值范圍的計算，考查了正弦定理、兩角和與差的正弦公式以及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題．
54．（江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在中，，，且的面積，則邊BC的長為________．
【答案】
【分析】利用面積公式，可求解，再由余弦定理
，可得解．
【解析】由面積公式：，
由余弦定理：
，
故答案為：
【點睛】本題考查了面積公式，余弦定理綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題．
55．（安徽省蚌埠市2020屆高三下學(xué)期第四次教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（文）試題）在△ABC中，設(shè)角A?B?C的對邊分別是a?b?c，若，則的最小值為__________．
【答案】
【分析】由正弦定理的角化邊公式以及余弦定理，結(jié)合基本不等式得出，進而得出的范圍，由，利用基本不等式，即可得出的最小值．
【解析】由正弦定理的角化邊公式可得

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則



當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
，
即
故答案為：
【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，涉及了基本不等式，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
56．（安徽省廬巢六校2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）年北京慶閱兵式上舉行升旗儀式，如圖，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最后一排的距離為10米，則旗桿的高度為______米．

【答案】
【解析】設(shè)旗桿的高度為米，如圖，可知，

，所以，
根據(jù)正弦定理可知，即，
所以，所以米．
【名師點睛】（1）解三角形實際應(yīng)用問題的一般步驟是：審題——建模(準(zhǔn)確地畫出圖形)——求解——檢驗作答．
（2）把生活中的問題化為二維空間解決，即在一個平面上利用三角函數(shù)求值．
（3）解三角形應(yīng)用題的兩種情形
①實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
②實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．
57．（湖北省2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在中，，，對應(yīng)邊分別為a，b，c，且，，，則的邊________．
【答案】6
【分析】由可知，然后由可求，再由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，由可求，結(jié)合同角平方關(guān)系可求，代入，進而可求，進而根據(jù)余弦定理可求的值．
【解析】，，
，可知，
，
由正弦定理，，
于是可得
，
，
，
又，可得，
，可得，
，
由余弦定理可得．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及和差角的三角公式的綜合應(yīng)用，同時考查了運算的能力，屬于中檔題．
58．（山西省晉中市祁縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中，，，，則的面積等于______．
【答案】
【分析】先用余弦定理求得，從而得到，再利用正弦定理三角形面積公式求解．
【解析】因為在中，，，
由余弦定理得，
所以
由正弦定理得
故答案為：
【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題．
59．（山西省晉中市祁縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，則的面積為_______．
【答案】
【分析】由正弦定理得，由平方關(guān)系和余弦定理可得，再利用面積公式即可得解．
【解析】由已知條件及正弦定理可得，
易知，所以，
又，所以，
所以，所以，即，，
所以的面積．
故答案為：．
【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
60．（吉林省通鋼一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中2020屆高三（5月份）高考數(shù)學(xué)（理科）模擬試題）設(shè)分別為內(nèi)角的對邊．已知，且，則_____．
【答案】2
【分析】首先利用正弦定理的角化邊得到，再根據(jù)余弦定理即可得到，解方程即可．
【解析】因為
所以
又因為，所以

即，解得
故答案為：
【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．
61．（陜西省西安市2020屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．的面積，若，則角的值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)面積公式得到和余弦定理得到，結(jié)合得到，化簡得到答案．
【解析】因為，又，所以
所以，由余弦定理得
所以
由結(jié)合正弦定理，得
所以，即，所以，
因為，所以得，或（舍去），所以．
故答案為：
【點睛】本題考查了面積公式，正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生對于三角公式的綜合應(yīng)用能力．
62．（江蘇省南京市玄武高級中學(xué)2020屆高三下學(xué)期最后一卷數(shù)學(xué)試題）已知等邊的邊長為1，點，，分別在邊，，上，且．若，，則的取值范圍為________．

【答案】
【分析】先根據(jù)，得到，再由，得到的關(guān)系式，再根據(jù)的關(guān)系式確定的范圍，再令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，求出取值范圍．
【解析】由題，
又，
，得，則，又，則，
，由，則，
則，
得，
又，，得，
則，得或，又，得，
得或，
設(shè)，則，或
令，或，

故在單調(diào)遞增，得，即，
故答案為：
【點睛】本題考查了三角形的面積公式，將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和值域，還考查了學(xué)生分析理解能力，轉(zhuǎn)化思想，運算能力，難度較大．
63．（浙江省杭州市富陽中學(xué)2020屆高三下學(xué)期6月三模數(shù)學(xué)試題）在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則____________，的面積的取值范圍是___________．
【答案】6，
【分析】根據(jù)得，再根據(jù)余弦定理便可解出的值及的值；由列出關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)為銳角三角形確定邊的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)思想處理的最值．
【解析】因為，則
又，得，所以．


又為銳角三角形，所以又，得，
所以，，所以．
故答案為：6，．
【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用及利用三角形中邊角關(guān)系求面積的最值問題，難點在于面積取值范圍的確定，解答時將面積最值轉(zhuǎn)化為處理函數(shù)最值來解決，注意邊長的取值范圍確定．
64．（重慶市育才中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面四邊形中，的面積為，，，則________，________．

【答案】，
【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，從而求出，根據(jù)三角形的面積公式求出，在中，利用勾股定理即可求出．
【解析】在中，，，
由余弦定理可得，解得，
由正弦定理：，即，
解得，所以，
由，所以，
因為的面積為，所以，即，
所以．
故答案為：；
【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題．
65．（浙江省“山水聯(lián)盟”2020屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）《數(shù)書九章》卷五中第二題，原文如下：問有沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何？答曰：田積三百一十五頃．術(shù)曰：以少廣求之，以小斜冪（）并大斜冪（），減中斜冪（），并半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，以四約之，為實：以為從偶，開平方，得積（S）．譯成現(xiàn)代式子是這個式子稱為秦九韶三斜求積公式；已知三角形的三邊分別為5，6，7時，則面積為_________，最小角的余弦值為_________．
【答案】，
【分析】由題意可得、、，代入公式即可得面積；由三角形面積公式可得最小角滿足，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解．
【解析】由題意，，，
所以；
設(shè)最小角為，則，解得，
所以．
故答案為：；．
【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化及三角形面積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查了理解能力與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
66．（浙江省環(huán)大羅山聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知，，的面積為，則邊____________，角____________．
【答案】，
【分析】利用三角形的面積公式可求得的長，利用余弦定理求得邊的長，利用勾股定理逆定理可判斷出為直角三角形，由此可求得角的大小．
【解析】由三角形的面積公式可得，，
由余弦定理得，
，則，因此，．
故答案為：；．
【點睛】本題考查利用余弦定理、三角形的面積公式解三角形，同時也考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
67．（浙江省臺州市書生中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中，，A的角平分線AD交BC于點D，若，，則，_______，_______．
【答案】，
【分析】利用余弦定理可得BC的長，在中由正弦定理可得AD的長．
【解析】在中，由余弦定理，
，所以；
所以為等腰三角形，，，
在中，，
由正弦定理，，即，解得．
故答案為：；
【點睛】本題主要考查正余弦定理解三角形，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算求解能力，是一道容易題．
68．（浙江省超級全能生2020屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（B卷））在銳角中，角，，所對的邊分別是，，，，，，則______，______．
【答案】2，
【分析】先利用余弦定理解出，再利用正弦定理解出和，從而得到答案．
【解析】由得：或，因為銳角，所以；由可得：，，∴．
故答案為：2，．
【點睛】本題考查正、余弦定理的綜合運用，較易．當(dāng)利用余弦定理解某一邊出現(xiàn)兩解時，一定要根據(jù)題目條件合理取舍．
69．（浙江省金華市蘭溪市第三中學(xué)2020屆高三下學(xué)期寒假返校考試數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，，則________，________．
【答案】，
【分析】直接利用已知條件，利用正弦定理和三倍角公式及三角形的面積公式求出結(jié)果．
【解析】由于，則，解得，
由于，，利用正弦定理，
則，整理得，
解得，∴，
由，所以
所以
則．
故答案為：；．
【點睛】本題考查的知識要點：正弦定理和三倍角公式的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
70．（浙江省超級全能生2020屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（C卷））在凸四邊形中，已知，，，，，則______，_______．
【答案】，
【分析】在中，由余弦定理可求得，再運用余弦定理求得，由余弦的和角公式求得，根據(jù)余弦可求得的長．
【解析】在中，，，，由余弦定理得，
所以，所以，
因為，所以，
又，，所以是正三角形，所以，，
所以，
所以，在中，
，
所以，故答案為：；．

【點睛】本題考查運用余弦定理求解三角形，關(guān)鍵在于分析出邊角的關(guān)系，選擇合適的公式，屬于基礎(chǔ)題．
71．（浙江省紹興市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中，，則________，_________．
【答案】，
【分析】由正弦定理求，由兩角差的余弦公式求．
【解析】由正弦定理得，∴．
又中，，由，得，
∴．
故答案為：；．
【點睛】本題考查正弦定理，考查兩角差的余弦公式與同角間的三角函數(shù)關(guān)系，本題屬于中檔題．
72．（河南省開封市2020屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）在△中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則__________，△的面積為__________．
【答案】，
【分析】首先根據(jù)，切化弦整理得到，利用正弦和角公式以及誘導(dǎo)公式得到，再借助于正弦定理，利用題中所給的邊長，求得，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得，之后利用面積公式直接計算．
【解析】因為，所以，
，
即，，所以，
由正弦定理可得，
所以求得，又因為，所以，
，
故答案為：①；②．
【點睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的知識點有同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦和角公式，正弦定理，三角形面積公式，屬于簡單題目．
73．（江蘇省南通市如皋市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題）在中，，，，是邊上一點，且，則______，______．
【答案】，
【分析】作出圖形，計算出的大小和，利用兩角和的正弦公式求出，并求出，進而利用正弦定理可求得、的長，然后利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值．
【解析】如下圖所示：

在中，，，，
由余弦定理得，，
由正弦定理，得，
為銳角，所以，
在中，，
．
，
由正弦定理得，得．
由正弦定理，得，
由平面向量數(shù)量積的定義可得．
故答案為：；．
【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算，考查計算能力，屬于中等題．
74．（浙江省杭州師大附中2020屆高三下學(xué)期考前模擬數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角的對邊分別為且，則角的大小為____；若，，則的面積______．
【答案】，
【分析】①由得，進而可求得．
②通過正弦定理對進行角化邊，和及，可得，進而求得；通過求得，通過正弦定理求得，通過面積公式求面積即可．
【解析】①因為，所以，因為，所以．
②，，
由正弦定理得：，
又，，
化簡得：，，．
，
由正弦定理：，得，
．故答案為：；
【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)、正余弦定理、面積公式、兩角和的正弦公式，特殊角的三角函數(shù)值，考查學(xué)生的計算能力及對公式的熟練程度，屬于中檔題．
75．（浙江省浙南名校聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，∠BAC的平分線AD交BC于D，且AD=2，BD=2CD，則cosA=________，c=________．
【答案】，6
【分析】把代入，結(jié)合余弦定理，可求，故．由∠BAC的平分線AD交BC于D，BD=2CD，故，即，可得．在△ABD和△ADC中，利用余弦定理，可求，即求．
【解析】△ABC中，代入，
可得，又，，．
∠BAC的平分線AD交BC于D，BD=2CD，
，即．
又AD=2，在△ABD和△ADC中，
，
即，解得．．
故答案為：；6．
【點睛】本題考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．
76．（江蘇省徐州市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組的同學(xué)要測量學(xué)校地面上旗桿CD的高度(旗桿CD垂直于地面)，設(shè)計如下的測量方案：先在地面選定距離為30米的A，B兩點，然后在A處測得，在B處測得，，由此可得旗桿CD的高度為________米，的正切值為________．

【答案】，
【分析】先由題意，得到，，，根據(jù)正弦定理，求出，即可得出，根據(jù)正弦定理，求出，即可得出的正切值．
【解析】因為CD垂直于地面，所以，，
又，所以，
在中，，，所以，
又，由正弦定理可得：，
所以，解得：，即；
由正弦定理可得：，所以，
即
，
因此．
故答案為：；．
【點睛】本題主要考查解三角形的實際應(yīng)用，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型．
77．（河南省十所名校2019—2020學(xué)年高三畢業(yè)班階段性測試（六）文科數(shù)學(xué)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則________；若，，點P是的中點，點M，N分別在線段，上，，，則的面積為________．
【答案】，
【分析】首先根據(jù)正弦定理得到，再根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換得到，從而得到．分別在和中，利用正弦定理得到，，再利用正弦定理面積公式計算即可．
【解析】因為，
由正弦定理，得，
所以，

因為，所以，
又因為，所以．如圖所示：

在中，因為，，
所以，可得．
在中，，
由可得．
又，故．
故答案為：；
【點睛】本題考查正弦定理、三角形的面積公式、三角恒等變換，考查數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
78．（山東省德州市夏津第一中學(xué)2019-2020學(xué)年下學(xué)期高一7月月考數(shù)學(xué)試卷）在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知b＝1，c＝2且2cosA（bcosC+ccosB）＝a，則A＝__________；若M為邊BC的中點，則|AM|＝__________
【答案】，
【分析】利用正弦定理、兩角和的正弦公式、三角形內(nèi)角和定理化簡已知條件，求得的值，進而求得的大?。墒堑闹悬c，得到，兩邊平方后進行化簡，由此求得的長．
【解析】∵2cosA（bcosC+ccosB）＝a，
∴由正弦定理可得2cosA（sinBcosC+sinCcosB）＝sinA，
∴2cosAsin（B+C）＝2cosAsinA＝sinA，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴cosA＝，可得A＝．
∵M為邊BC的中點，b＝1，c＝2，∴則2＝，
兩邊平方可得4||2＝||2+||2+2?＝1+4+2×1×2×＝7，
∴解得||＝．故答案為：

【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查利用向量計算邊長，屬于中檔題．
79．（北京市大興區(qū)2019-2020學(xué)年高一（下）期末數(shù)學(xué)試題）在中，，．
①若，則角的大小為_____；
②若角有兩個解，則的取值范圍是_____．
【答案】，
【分析】①利用正弦定理求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果；
②作出圖形，結(jié)合圖形可得出角有兩個解時，滿足的不等式，進而可求得的取值范圍．
【解析】①由正弦定理可得，
，；
②在中，，，如下圖所示：

若使得角有兩個解，則，即．
故答案為：；．
【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，同時也考查了利用三角形多解求邊長的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題．
80．（浙江省舟山市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則______，點為邊上一點，且，則的面積為______．

【答案】，10
【分析】由已知結(jié)合正弦定理可求，然后結(jié)合二倍角關(guān)系可求，結(jié)合三角形的面積公式及等高三角形的面積比可轉(zhuǎn)化為底的比可求．
【解析】因為，，，
由正弦定理可得：，
所以，
則；，
，
由余弦定理可得：，
解可得（舍或，
所以，
．
故答案為：，10．
【點睛】本題考查正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用．
81．（湖南省永州市寧遠(yuǎn)、道縣、東安、江華、藍(lán)山、新田2020屆高三下學(xué)期六月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知銳角的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，則______；若，則的取值范圍為______．
【答案】，
【分析】利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合可得出關(guān)于角的三角等式，進而可求得的值；利用正弦定理以及三角恒等變換思想得出，根據(jù)為銳角三角形求得角的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍．
【解析】由及正弦定理，
得，
即，，
，，可得，，．
又是銳角三角形，，解得，
由正弦定理得，
，
，，，．
故答案為：；．
【點睛】本題考查利用正弦定理邊角互化思想求角，同時也考查了三角形邊長之和取值范圍的計算，考查三角恒等變換思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題．
82．（江蘇省蘇州市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，且，則角=________；若角的平分線為，則線段的長為________．
【答案】，
【分析】首先根據(jù)正弦定理，求得，將代入，得到，結(jié)合三角形的形狀，求得；利用內(nèi)角平分線定理得到，利用向量知識得到，利用向量的平方和向量模的平方相等，結(jié)合向量數(shù)量積公式求得結(jié)果．
【解析】根據(jù)正弦定理得，所以，
因為，所以，且三角形為銳角三角形，所以；
由三角形內(nèi)角平分線定理可得，
所以，
所以
，所以．
故答案為：①；②．
【點睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理，內(nèi)角平分線定理，三點共線的向量表示，屬于簡單題目．

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