(60分鐘 100分)


基礎(chǔ)篇





1．(5分)若點(diǎn)P(a，1)在橢圓eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)＝1的外部，則a的取值范圍為( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))


B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))


D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))


2.(5分)已知點(diǎn)(3，2)在橢圓eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)上，則點(diǎn)(－3，3)與橢圓的位置關(guān)系是__________．


3．(5分)(多選)若直線y＝kx＋2與橢圓eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，則斜率k的值是( )


A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3)


C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3)


4．(5分)直線y＝x＋2與橢圓eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( )


A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)


C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)


5．(5分)若直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )


A．至多為1 B．2


C．1 D．0


6.(5分)若直線y＝2x＋b與橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1無公共點(diǎn)，則b的取值范圍為____________．


7．(5分)在橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1內(nèi)，通過點(diǎn)M(1，1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為( )


A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0


C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0


8．(5分)已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(3，0)，過F點(diǎn)的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為( )


A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1


C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1


9.(5分)橢圓x2＋4y2＝16被直線y＝eq \f(1,2)x＋1截得的弦長為__________．


10.(5分)橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq \f(\r(3),2)，且橢圓與直線x＋2y＋8＝0相交于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝eq \r(10)，則橢圓方程為_________________________．


提升篇





11.(5分)(多選)已知直線y＝kx＋1與橢圓eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1，則( )


A．直線y＝kx＋1恒過定點(diǎn)(0，1)


B．方程 eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1表示橢圓的條件為m>0


C．方程eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1表示橢圓的條件為0eq \f(2\r(3),3)或a0，n>0)上，則點(diǎn)(－3，3)與橢圓的位置關(guān)系是__________．


點(diǎn)在橢圓外 解析：因?yàn)辄c(diǎn)(3，2)在橢圓上，所以eq \f(9,m)＋eq \f(4,n)＝1，所以eq \f(9,m)＋eq \f(9,n)>1，故點(diǎn)(－3，3)在橢圓外．


3．(5分)(多選)若直線y＝kx＋2與橢圓eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，則斜率k的值是( )


A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3)


C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3)


AB 解析：把y＝kx＋2代入eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0.因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±eq \f(\r(6),3).


4．(5分)直線y＝x＋2與橢圓eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( )


A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)


C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)


B 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，)) 可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，


所以Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，解得m>1或m0且m≠3，所以m>1且m≠3.


5．(5分)若直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )


A．至多為1 B．2


C．1 D．0


B 解析：由題意知：eq \f(4,\r(m2＋n2))＞2，即eq \r(m2＋n2)＜2，


所以點(diǎn)P(m，n)在橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的內(nèi)部，故所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)．


6.(5分)若直線y＝2x＋b與橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1無公共點(diǎn)，則b的取值范圍為____________．


(－∞，－eq \r(17))∪(eq \r(17)，＋∞)


解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x＋b，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得eq \f(x2,4)＋(2x＋b)2＝1.


整理得17x2＋16bx＋4b2－4＝0，


Δ＝(16b)2－4×17(4b2－4)eq \r(17)或bb>0)的右焦點(diǎn)F(3，0)，過F點(diǎn)的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為( )


A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1


C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1


D 解析：由橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1得


b2x2＋a2y2＝a2b2，


設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，


則eq \f(x1＋x2,2)＝1，eq \f(y1＋y2,2)＝－1，


b2xeq \\al(2,1)＋a2yeq \\al(2,1)＝a2b2，①


b2xeq \\al(2,2)＋a2yeq \\al(2,2)＝a2b2.②


由①－②得b2(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋a2(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，


b2(x1－x2)(x1＋x2)＋a2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，


2b2(x1－x2)－2a2(y1－y2)＝0，


eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2,a2).


又直線的斜率為k＝eq \f(0－（－1）,3－1)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2).


因?yàn)閎2＝a2－c2＝a2－9，所以eq \f(a2－9,a2)＝eq \f(1,2)，


解得a2＝18，b2＝9.


故橢圓方程為eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.


9.(5分)橢圓x2＋4y2＝16被直線y＝eq \f(1,2)x＋1截得的弦長為__________．


eq \r(35) 解析：聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1，))


消去y并化簡得x2＋2x－6＝0.


設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，


則x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.


所以弦長|MN|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝


eq \r(\f(5,4)[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq \r(\f(5,4)×（4＋24）)＝eq \r(35).


10.(5分)橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq \f(\r(3),2)，且橢圓與直線x＋2y＋8＝0相交于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝eq \r(10)，則橢圓方程為_________________________．


eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 解析：因?yàn)閑＝eq \f(\r(3),2)，所以b2＝eq \f(1,4)a2，


所以橢圓方程為x2＋4y2＝a2.


將橢圓方程與x＋2y＋8＝0聯(lián)立，消去y，


得2x2＋16x＋64－a2＝0.


由Δ>0，得a2>32，


由弦長公式，得10＝eq \f(5,4)×[64－2(64－a2)]，


所以a2＝36，b2＝9，


所以橢圓方程為eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1.


提升篇





11.(5分)(多選)已知直線y＝kx＋1與橢圓eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1，則( )


A．直線y＝kx＋1恒過定點(diǎn)(0，1)


B．方程 eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1表示橢圓的條件為m>0


C．方程eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1表示橢圓的條件為0

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

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