【學(xué)習(xí)目標(biāo)】


【自主學(xué)習(xí)】


1．拋物線的幾何性質(zhì)


2.焦點弦


直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，由拋物線的定義知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，故|AB|＝ .


3．直線與拋物線的位置關(guān)系


直線與拋物線有三種位置關(guān)系： 、 和 ．


設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.


①k＝0時，直線與拋物線只有 交點；


②k≠0時，Δ＞0?直線與拋物線 ?有 公共點．


Δ＝0?直線與拋物線 ?只有 公共點．


Δ＜0?直線與拋物線 ? 公共點．


【小試牛刀】


1．拋物線關(guān)于頂點對稱．( )


2．拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心．( )


3．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同，但是其離心率都相同．( )


4．拋物線y2＝2px過焦點且垂直于對稱軸的弦長是2p．( )


5．拋物線y＝－eq \f(1,8)x2的準(zhǔn)線方程為x＝eq \f(1,32)．( )


【經(jīng)典例題】


題型一 拋物線性質(zhì)的應(yīng)用


把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)


(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負(fù)．


(2)關(guān)系：頂點位于焦點與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸．


(3)定值：焦點到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.


例1 (1)已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長等于2eq \r(3)，則拋物線的方程為________．


(2)如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求拋物線的方程．














[跟蹤訓(xùn)練]1 已知拋物線y2＝8x.


(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍；


(2)以坐標(biāo)原點O為頂點，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長．














題型二 直線與拋物線的位置關(guān)系


直線與拋物線交點問題的解題思路


(1)判斷直線與拋物線的交點個數(shù)時，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項系數(shù)是否為0.若該方程為一元二次方程，則利用判別式判斷方程解的個數(shù)．


(2)直線與拋物線有一個公共點時有兩種情形：(1)直線與拋物線的對稱軸重合或平行；(2)直線與拋物線相切．


例2 已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當(dāng)k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點．














[跟蹤訓(xùn)練]2若拋物線y2＝4x與直線y＝x－4相交于不同的兩點A，B，求證OA⊥OB.














題型三 中點弦及弦長公式


“中點弦”問題解題方法








例3 已知拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，




















[跟蹤訓(xùn)練]3 過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，求AB所在直線的方程．











題型四 拋物線的綜合應(yīng)用


例4 求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小距離．











[跟蹤訓(xùn)練]4 如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點為坐標(biāo)原點，點P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．


(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；


(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，證明：直線AB的斜率為定值．




















【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】


1．在拋物線y2＝16x上到頂點與到焦點距離相等的點的坐標(biāo)為( )


A．(4eq \r(2)，±2) B．(±4eq \r(2)，2)


C．(±2,4eq \r(2))D．(2，±4eq \r(2))


2．以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為( )


A．y2＝8x B．y2＝－8x


C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y


3．若拋物線y2＝2x上有兩點A、B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq \r(2)，則拋物線的焦點到直線AB的距離為( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,8)


4．設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))＝－4，則點A的坐標(biāo)是( )


A．(2，±2eq \r(2))B．(1，±2)


C．(1,2)D．(2,2eq \r(2))


5．過點P(0,1)與拋物線y2＝x有且只有一個交點的直線有( )


A．4條 B．3條


C．2條 D．1條


6．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|AB|＝________.


7．已知AB是過拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點的弦，若|AB|＝4，則AB的中點的縱坐標(biāo)是________．


8．已知拋物線x＝－y2與過點(－1,0)且斜率為k的直線相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB的面積等于eq \r(10)時，求k的值．














9.已知y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A，B兩點．


(1)若|AB|＝10，求實數(shù)m的值；


(2)若OA⊥OB，求實數(shù)m的值．

















10.已知拋物線的頂點在原點，x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為eq \f(π,4)的直線l被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

















【參考答案】


【自主學(xué)習(xí)】


x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) x軸 y軸 (0,0) 1 x1＋x2＋p 相離 相切 相交


一個 相交 兩個 相切 一個 相離 沒有


【小試牛刀】


× √ √ √ ×


【經(jīng)典例題】


例1 (1)y2＝3x或y2＝－3x [根據(jù)拋物線和圓的對稱性知，其交點縱坐標(biāo)為±eq \r(3)，交點橫坐標(biāo)為±1，則拋物線過點(1，eq \r(3))或(－1，eq \r(3))，設(shè)拋物線方程為


y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，則2p＝3，從而拋物線方程為y2＝3x或y2＝－3x.]


(2)[解] 如圖，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點E，D，


設(shè)|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a，


由定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，


∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，從而得a＝eq \f(4,3)，∵BD∥FG，∴eq \f(\f(4,3),p)＝eq \f(2,3)，p＝2.因此拋物線的方程是y2＝4x.


[跟蹤訓(xùn)練]1 解 (1)拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0.


(2)如圖所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點M，


又焦點F是△OAB的重心，則|OF|＝eq \f(2,3)|OM|.


因為F(2,0)，所以|OM|＝eq \f(3,2)|OF|＝3，所以M(3,0)．


故設(shè)A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；所以m＝2eq \r(6)或m＝－2eq \r(6)，


所以A(3,2eq \r(6))，B(3，－2eq \r(6))，所以|OA|＝|OB|＝eq \r(33)，所以△OAB的周長為2eq \r(33)＋4eq \r(6).


例2 解 聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)當(dāng)k＝0時，(*)式只有一個解x＝eq \f(1,4)，∴y＝1，∴直線l與C只有一個公共點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，此時直線l平行于x軸．


當(dāng)k≠0時，(*)式是一個一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．


①當(dāng)Δ>0，即k0)，則由點P(1,2)在拋物線上，得22＝2p×1，解得p＝2，


故所求拋物線的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線方程是x＝－1.


(2)證明：因為PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，所以kPA＝－kPB，即eq \f(y1－2,x1－1)＝－eq \f(y2－2,x2－1).


又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，所以x1＝eq \f(y\\al(2,1),4)，x2＝eq \f(y\\al(2,2),4)，從而有eq \f(y1－2,\f(y\\al(2,1),4)－1)＝－eq \f(y2－2,\f(y\\al(2,2),4)－1)，即eq \f(4,y1＋2)＝－eq \f(4,y2＋2)，得y1＋y2＝－4，故直線AB的斜率kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝－1.


【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】


1.D [拋物線y2＝16x的頂點O(0,0)，焦點F(4,0)，設(shè)P(x，y)符合題意，則有


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝16x，,x2＋y2＝?x－4?2＋y2))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝16x，,x＝2))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝±4\r(2).))所以符合題意的點為(2，±4eq \r(2))．]


2. C解析 設(shè)拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，


依題意得x＝eq \f(p,2)，代入y2＝2px或y2＝－2px得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.


∴拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.


3.A [線段AB所在的直線方程為x＝1，拋物線的焦點坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，則焦點到直線AB的距離為1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).]


4.B [由題意知F(1,0)，設(shè)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，則eq \(OA,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y\\al(2,0),4)，－y0))，由eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))＝－4得y0＝±2，∴點A的坐標(biāo)為(1，±2)，故選B.]


5. B解析 當(dāng)直線垂直于x軸時，滿足條件的直線有1條；


當(dāng)直線不垂直于x軸時，滿足條件的直線有2條，故選B.


6. 8解析 因為直線AB過焦點F(1,0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.


7.eq \f(15,8) [設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線2x2＝y(tǒng)，可得p＝eq \f(1,4).


∵|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－eq \f(1,4)＝eq \f(15,4)，故AB的中點的縱坐標(biāo)是eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(15,8).]


8.解 過點(－1,0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，


由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－y2，,y＝k?x＋1?，))消去x整理得ky2＋y－k＝0，Δ＝1＋4k2>0，


設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)之間的關(guān)系得y1＋y2＝－eq \f(1,k)，y1·y2＝－1.


設(shè)直線與x軸交于點N，顯然N點的坐標(biāo)為(－1,0)．


∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝eq \f(1,2)|ON||y1|＋eq \f(1,2)|ON||y2|＝eq \f(1,2)|ON||y1－y2|，


∴S△AOB＝eq \f(1,2)×1×eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2)＝eq \f(1,2)×eq \r(\f(1,k2)＋4)＝eq \r(10)，


解得k＝±eq \f(1,6).


9.解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,y2＝8x，))得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.


由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m

相關(guān)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第三章 圓錐曲線的方程3.3 拋物線優(yōu)秀學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第三章 圓錐曲線的方程3.3 拋物線優(yōu)秀學(xué)案，共10頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)習(xí)過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線精品第2課時學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線精品第2課時學(xué)案，共12頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，經(jīng)典例題，跟蹤訓(xùn)練，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)，參考答案等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線精品第1課時學(xué)案設(shè)計：

這是一份數(shù)學(xué)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線精品第1課時學(xué)案設(shè)計，共12頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，自主學(xué)習(xí)，小試牛刀，經(jīng)典例題，跟蹤訓(xùn)練，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)，參考答案等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線第2課時學(xué)案設(shè)計

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線第2課時學(xué)案設(shè)計
選擇性必修 第一冊第三章 圓錐曲線的方程3.3 拋物線第1課時導(dǎo)學(xué)案

選擇性必修 第一冊第三章 圓錐曲線的方程3.3 拋物線第1課時導(dǎo)學(xué)案
數(shù)學(xué)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線學(xué)案及答案

數(shù)學(xué)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線學(xué)案及答案
人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線導(dǎo)學(xué)案

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線導(dǎo)學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.3 拋物線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部