★★★★必備知識(shí)★★★★


1．橢圓的定義


平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)．


集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)．


(1)當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是橢圓；


(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；


(3)當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在．


2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)


離心率表示橢圓的扁平程度.當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于a，從而b＝越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c越接近于0，從而b＝越大，因此橢圓越接近圓；當(dāng)e＝0時(shí)，c＝0，a＝b，兩焦點(diǎn)重合，圖形就是圓.


★★★★常用結(jié)論★★★★


1．焦半徑：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與左(下)焦點(diǎn)F1與右(上)焦點(diǎn)F2之間的線段的長(zhǎng)度叫做橢圓的焦半徑，分別記作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.


(1) (a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；


(2) (a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；


(3)焦半徑中以長(zhǎng)軸為端點(diǎn)的焦半徑最大和最小(近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn))．


2．焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓(a＞b＞0)中


(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大．


(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.


(3)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)．


3．焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)lmin＝.


4．AB為橢圓 (a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則


(1)弦長(zhǎng)l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；


(2)直線AB的斜率kAB＝－.


★★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★★


一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)


(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．( )


(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．( )


(3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓．( )


(4) (a≠b)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．( )


答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×


二、選填題


1．橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則△F1AB的周長(zhǎng)為( )


A．12 B．16


C．20D．24


解析：選C △F1AB的周長(zhǎng)為|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.


∵在橢圓中，a2＝25，即a＝5，


∴△F1AB的周長(zhǎng)為4a＝20.故選C.


2．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，則C的離心率為( )


A.B.


C. D.


解析：選D 不妨設(shè)橢圓C的方程為 (a＞b＞0)，則2a＝2b×3，即a＝3b.∴a2＝9b2＝9(a2－c2)．


即，∴e＝.故選D.


3．橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,1)，并且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )


A. B.


C. D.


解析：選D 由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a＞b＞0)，且另一個(gè)焦點(diǎn)為F2(0，－1)，


所以2a＝|PF1|＋|PF2|


＝ .


所以a＝2，又c＝1，


所以b2＝a2－c2＝3.


故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選D.


4．已知橢圓 (m＞0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m＝________.


解析：依題意有25－m2＝16，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3.


答案：3


5．若方程表示橢圓，則k的取值范圍是______________．


解析：由已知得


解得3＜k＜5且k≠4.


答案：(3,4)∪(4,5)


★★★★典型例題★★★★


eq \a\vs4\al(考點(diǎn)一 橢圓的定義及其應(yīng)用)


[典例精析]


(1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為( )


A. B.


C. D.


(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C： (a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝__________.


(3)已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是一定點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最大值為________，最小值為________．


[解析] (1)設(shè)圓M的半徑為r，


則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，


所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，


故所求的軌跡方程為.


(2)設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則


∴2r1r2＝(r1＋r2)2－()＝4a2－4c2＝4b2，


∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.


(3)橢圓方程化為，


設(shè)F1是橢圓的右焦點(diǎn)，則F1(2,0)，


∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，


又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立)，


∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.


[答案] (1)D (2)3 (3)6＋ 6－


eq \a\vs4\al([變式發(fā)散])


1．在本例(2)中增加條件“△PF1F2的周長(zhǎng)為18”，其他條件不變，則該橢圓的方程為________________．


解析：由原題得b2＝a2－c2＝9，


又2a＋2c＝18，


所以a－c＝1，解得a＝5，


故橢圓方程為.


答案：


2．(變條件)將本例(2)中的條件“⊥”“△PF1F2的面積為9”變?yōu)椤啊螰1PF2＝60° ”，“＝3”，則b的值為________．


解析：因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60° ，


所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60° ＝|F1F2|2，


即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，


所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，


所以|PF1||PF2|＝b2，


又因?yàn)椋絴PF1||PF2|sin 60° ＝×b2×＝b2＝3，


所以b＝3.


答案：3


[解題技法]


橢圓定義的應(yīng)用技巧


橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通過整體代入可求其面積等．


[過關(guān)訓(xùn)練]


1.如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是( )


A．橢圓B.雙曲線


C．拋物線D．圓


解析：選A 連接QA(圖略)．由已知得|QA|＝|QP|.


所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.


又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi)，所以|OA|＜|OP|，根據(jù)橢圓的定義，得點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．


2．(2018·惠州模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為( )


A.B.


C. D.


解析：選D 如圖，設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PF2，可得PF2⊥x軸，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故選D.


3．(2019·合肥質(zhì)量檢測(cè))如圖，橢圓 (a＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)H.若F1，H是線段MN的三等分點(diǎn)，則△F2MN的周長(zhǎng)為( )


A．20B.10


C．2D．4


解析：選D 由F1，H是線段MN的三等分點(diǎn)，得H是F1N的中點(diǎn)，又F1(－c,0)，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為c，聯(lián)立方程得得N，∴H，M.把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓方程得，化簡(jiǎn)得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由橢圓的定義知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周長(zhǎng)為|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故選D.


eq \a\vs4\al(考點(diǎn)二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程)


[典例精析]


(1)(2019·黃岡模擬)如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(－5,0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )


A. B.


C. D.


(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，(，)，則橢圓的方程為____________________．


(3)過點(diǎn)(，－)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________________．


[解析] (1)由題意可得c＝5，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接PF′(圖略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90° ，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，


由勾股定理，得|PF′|＝＝8，


由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，


從而a＝7，a2＝49，


于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，


∴橢圓C的方程為，故選C.


(2)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．


由解得m＝，n＝.


所以橢圓方程為.


(3)法一：定義法


橢圓的焦點(diǎn)為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.


由橢圓的定義，知2a＝，


解得a＝2.


由c2＝a2－b2可得b2＝4，


所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.


法二：待定系數(shù)法


∵所求橢圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，


∴其焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝25－9＝16.


設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a＞b＞0)．


∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①


又點(diǎn)(，－)在所求橢圓上，即.②


由①②得b2＝4，a2＝20，


∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.


[答案] (1)C (2) (3)


[解題技法]


根據(jù)條件求橢圓方程的2種方法





eq \a\vs4\al(考點(diǎn)三 橢圓的幾何性質(zhì))


[考法全析]


考法(一) 求橢圓的離心率的值(范圍)


[例1] (1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C： (a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為( )


A. B.


C. D.


(2)(2019·福州模擬)過橢圓C： (a＞b＞0)的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與l存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是( )


A.B.


C. D.


[解析] (1)如圖，作PB⊥x軸于點(diǎn)B.由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝


(2)由題設(shè)知，直線l：，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±，即圓的半徑r＝.又圓與直線l有公共點(diǎn)，所以≤，化簡(jiǎn)得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故選A.


[答案] (1)D (2)A


考法(二) 與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問題


[例2] P為橢圓上任意一點(diǎn)，EF為圓N：(x－1)2＋y2＝4的任意一條直徑，則的取值范圍是( )


A．[0,15]B.[5,15]


C．[5,21]D．(5,21)


[解析] 由題意知圓N的圓心N(1,0)恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，因?yàn)椋?)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，因?yàn)閍－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以的取值范圍是[5,21]．


[答案] C


[規(guī)律探求]


標(biāo)準(zhǔn)方程
(a＞b＞0)
(a＞b＞0)
圖形
性質(zhì)
范圍
x∈[－a，a]， y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)


B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)


B1(－b,0)，B2(b,0)
離心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2
定義法
根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓方程
待定系數(shù)法
待定系數(shù)法是根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的兩個(gè)系數(shù)a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系數(shù)法求出m，n的值即可
看個(gè)性
考法(一)求橢圓離心率的值(范圍)，其方法為


(1)定義法：根據(jù)條件求出a，c，直接利用公式e＝求解．


(2)方程法：根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次等式(不等式)，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時(shí)除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．


考法(二)與橢圓有關(guān)的最值(范圍)問題


與橢圓有關(guān)的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求與橢圓有關(guān)的相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系


[口訣記憶]


離心率，不用愁，


尋找等式消b求；


幾何圖形尋蹤跡，


等式藏在圖形中．
找共性
1.無(wú)論題型如何變化，都是圍繞橢圓的幾何性質(zhì)，外加其他條件來(lái)考查，所以理清橢圓的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(頂點(diǎn)、原點(diǎn)、焦點(diǎn)、對(duì)稱軸)和靈活應(yīng)用幾個(gè)公式，理清a，b，c的內(nèi)在聯(lián)系(a，b，c的關(guān)系式―→構(gòu)造a，c的齊次方程或不等式)，便可以不變應(yīng)萬(wàn)變．


2.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使畫不出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到一個(gè)圖形

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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