1．經(jīng)歷角的平分線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，初步掌握角的平分線的性質(zhì)定理；(重點)


2．能運用角的平分線性質(zhì)定理解決簡單的幾何問題．(難點)





一、情境導(dǎo)入


問題：在S區(qū)有一個集貿(mào)市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點建兩條路，一條到公路，一條到鐵路．


問題1：怎樣修建道路最短？


問題2：往哪條路走更近呢？





二、合作探究


探究點一：角平分線的性質(zhì)


【類型一】 利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等


如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，∠FDC＝∠BDE.試說明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.





解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點D到AB的距離等于點D到AC的距離，即DE＝DC.再根據(jù)△CDF≌△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分線的性質(zhì)可得△ADC和△ADE全等，從而得到AC＝AE，然后通過線段之間的相互轉(zhuǎn)化進行求解．


解：(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△CDF和△EDB中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠C＝∠DEB＝90°，,DC＝DE，,∠FDC＝∠BDE，))∴△CDF≌△EDB(ASA)．∴CF＝EB；


(2)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴∠CAD＝∠EAD，∠ACD＝∠AED＝90°.在△ADC和△ADE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠CAD＝∠EAD，,∠ACD＝∠AED，,AD＝AD，))∴△ADC≌


△ADE(AAS)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.


方法總結(jié)：角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個重要依據(jù)，在運用時一定要注意是兩條垂線段相等．


【類型二】 角平分線的性質(zhì)與三角形面積的綜合運用


如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是( )











A．6 B．5 C．4 D．3


解析：過點D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×4×2＋eq \f(1,2)AC×2＝7，解得AC＝3.故選D.


方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．


【類型三】 角平分線的性質(zhì)與全等三角形綜合





如圖所示，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).試說明：CE＝CF.


解析：由△DEC≌△DFC得出CD平分∠EDF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出CE＝CF.


解：∵CD是∠ACG的平分線，∴∠ECD＝∠FCD.在△DEC和△DFC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DEC＝∠DFC＝90°，,∠ECD＝∠FCD，,DC＝DC，))


∴△DEC≌△DFC(AAS)，∠EDC＝∠FDC.又∵DE⊥AC，DF⊥CG，∴CE＝CF.


方法總結(jié)：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件．


【類型四】 角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線性質(zhì)的綜合運用


如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.





(1)找出圖中相等的線段；


(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．


解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可得△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.


解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，AC＝BC＝AD＝BD；


(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝AD，,OC＝OD，,AO＝AO，))∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.


方法總結(jié)：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關(guān)鍵．


【類型五】 角平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)綜合的探究性問題


如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D.





(1)請你寫出圖中所有的等腰三角形；


(2)請你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由．


(3)如果BC＝10，求AB＋AE的長．


解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE為角平分線，可得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均為等腰三角形．由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也是等腰三角形；(2)BE是∠ABC的平分線，AE⊥AB，DE⊥BC，根據(jù)角平分線定理可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對稱，可得出BE⊥AD；(3)根據(jù)(2)，可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對稱，且△DEC為等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.


解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；


(2)AD與BE垂直．理由如下：由BE為∠ABC的平分線，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合，∴A、D是對稱點，∴AD⊥BE；


(3)∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠DBE，∵DE⊥BC，EA⊥AB，∴∠BAE＝∠BDE.在△ABE和△DBE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ABE＝∠DBE，,∠BAE＝∠BDE，,BE＝BE，))∴△ABE≌△DBE(AAS)，∴AB＝BD，AE＝DE.又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE為等腰直角三角形，∴DE＝DC＝AE，即AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.


探究點二：角平分線的畫法


如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E、F為圓心，大于eq \f(1,2)EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交CD于點M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度數(shù)．





解析：根據(jù)AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根據(jù)尺規(guī)作圖得出AM是∠CAB的平分線，即可得出∠MAB的度數(shù)．


解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°.由尺規(guī)作圖知AM是∠CAB的平分線，∴∠MAB＝eq \f(1,2)∠CAB＝30°.


方法總結(jié)：通過本題要掌握角平分線的作圖步驟，根據(jù)作圖明確AM是∠BAC的角平分線是解題的關(guān)鍵．


三、板書設(shè)計


1．角平分線的性質(zhì)：


角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．


2．角平分線的作法





本節(jié)課由于采用了動手操作以及討論交流等教學(xué)方法，從而有效地增強了學(xué)生對角以及角平分線的性質(zhì)的感性認識，提高了學(xué)生對新知識的理解與感悟，因而本節(jié)課的教學(xué)效果較好，學(xué)生對所學(xué)的新知識掌握較好，達到了教學(xué)的目的．不足之處是少數(shù)學(xué)生在性質(zhì)的運用上還存在問題，需要在今后的教學(xué)與作業(yè)中進一步的加強鞏固和訓(xùn)練

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初中數(shù)學(xué)北師大版七年級下冊電子課本 舊教材

3 簡單的軸對稱圖形

版本： 北師大版

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